2020届二轮复习数列的概念学案（全国通用）

数列的概念【考纲要求】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）. 2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.
3.掌握常见的求数列通项的一般方法；4.利用函数的观点去认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系；5.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题。【知识网络】【考点梳理】考点一：数列的概念数列的概念382418 知识要点】按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项.其中数列的第1项也叫作首项。要点诠释：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.考点二：数列的表示(1)列举法：如-2，-5，-8，… (2)图象法：由点组成的图象；是离散的点集。(3)解析式法：类似于函数的解析法，数列的解析法就是给出了数列的通项公式an=f(n)，n∈N*。 (4)递推：利用数列的第n项与它前面若干项的关系及初始值确定。如an=an-1+an-2(n≥3)，且a1=1，a2=1.要点诠释：①并不是每个数列都能写出它的数列通项公式；数列的通项如果存在，也不一定唯一。②数列的列举法与集合的列举法不一样，主要就是有序与无序的差别。③利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值。考点三：数列的分类（1）按项数：有限数列和无限数列（2）按单调性：常数列、摆动数列、单调数列(递增数列、递减数列)考点四：数列的通项公式与前项和公式如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.任意数列的前n项和，于是，所以有：要点诠释：由前n项和求数列通项时，要分三步进行：（1）求；（2）求出当n≥2时的；（3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。【典型例题】类型一：依据数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式数列的概念382418 例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是:(1) 0, ,,,…；(2) 1, ,,,…；(3) 9, 99,999, 9999,…；(4) 6, 1, 6,1,….【解析】（1）将数列改写为，，，，…，故.（2）此数列奇数项为正，偶数项为负，可用来表示；其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列，故.（3）将数列改写为, , , ，…，故.（4）将数列每一项减去6与1的平均值得新数列, -,, -,…，故或【总结升华】写通项时注意以下常用思路：①若数列中的项均为分数，则先观察分母的规律再观察分子的规律，特别注意有时分数是约分后的结果，要根据观察还原分数；②注意(－1)n或(-1)n+1〔或(-1)n-1〕在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现；③归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变形，使规律明朗化，在此处经常用到由特殊到一般的不完全归纳法，此时要联想到一些已经学习过的基本数列，如：，，，，，等。举一反三：【变式】求下列数列的一个通项公式:(1)1,-1,1,-1,…；(2)3,5,9,17,33,…；(3),2,,8,,…；(4)1,0,-,0,,0,-,0,….【答案】(1)an=(-1)n+1或an=cos(n+1)π.(2)an=2n+1.(3)an=.(4)an=.类型二：数列的递推关系式例2.(2017  全国Ⅲ高考) 已知各项都为正数的数列满足，. （I）求；（II）求的通项公式.【解析】（Ⅰ）由题意得，又，解得.又，解得. (Ⅱ)由得因为的各项都为正数，所以.故是首项为1，公比为的等比数列，因此.【总结升华】求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘外还应注意变形式是否是等差（等比）数列.举一反三：【变式1】根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想其通项公式：（1）；（2）对一切n∈N﹡，an＞0且【答案】（1）a1=a,a2=,a3=,a4=，猜想得an=；（2）令n=1得2＝a1+1得a1=1；令n=2得2＝a2+1得a2=3；令n=3得2＝a3+1得a3=5；令n=4得2＝a4＋1得a4=7，猜想得an=2n–1。【变式2】(2018 衡水四模)已知数列{an}满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{an}的通项公式为（　　）A．an= B．an= C．an=n+2 D．an=（n+2）3n【答案】B【解析】因为，且n∈N*）⇔，即，则数列{bn}为首项，公差为1的等差数列，所以bn=b1+（n﹣1）×1=3+n﹣1=n+2，所以，故选B【变式3】数列{an}中，a1=1，对于所有的n≥2，n∈N都有a1·a2·a3·…·an=n2，则a3+a5等于（   ）A.   B.   C.   D.【答案】A【解析】令n=2、3、4、5，分别求出a3=，a5=，∴a3+a5=.【变式4】若数列{an}满足，若，则的值为（）A．          B．          C．           D．【答案】选B；【解析】逐步计算，可得,这说明数列{an}是周期数列，而,所以。类型三：由数列的前n项和求数列的通项公式例3．数列{an}的前n项和Sn=n2-n+1,求{an}的通项公式.【解析】∵Sn=n2-n+1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2-n+1)-［(n-1)2-(n-1)+1］=2n-2.当n=1时,a1=S1=1,不适合上式.∴an=【总结升华】1.已知{an}的前n项和Sn,求an时应注意以下三点:(1)应重视分类讨论的应用,分n=1和n≥2两种情况讨论；特别注意an=Sn-Sn-1中需n≥2.(2)由Sn-Sn-1=an推得的an,当n=1时,a1也适合“an式”，则需统一“合写”.(3)由Sn-Sn-1=an推得的an,当n=1时,a1不适合“an式”,则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an=2.利用Sn与an的关系求通项是一个重要内容,应注意Sn与an间关系的灵活运用,同时要注意a1并不一定能统一到an中去.举一反三：【变式1】已知数列的前项和，求通项.【解析】当时，，当时，，∴.【变式2】已知数列的前项积，求通项【解析】当时，，当时，，∴.数列的概念382418 思考题二】【变式3】数列的前n项和，， ，求及【解析】由，得，所以，即是首项为，公比为的等比数列，所以所以所以，类型四：数列的单调性例4.已知数列,,判断数列的单调性，并给以证明.【解析】方法一：，∴为递增数列，下面给以证明:∵∴数列是递增数列. 方法二：由题意设（），则∵，∴∴（）单调递增，∴数列是递增数列.【总结升华】数列也是函数，可以用证明函数的单调性的方法来证明.举一反三：【变式1】数列中：,（）（1）写出它的前五项，并归纳出通项公式；（2）判断它的单调性.【解析】（1）,,, , ,∴；（2）方法一：∵，∴ 数列是递减数列.方法二：∵函数在上单调递减，∴ 数列是递减数列.【变式2】数列中：（，且为常数），判断数列的单调性.【解析】∵，当时， ∴数列是递减数列； 当时， ∴数列是递增数列. 例5.已知数列的通项(n∈N﹡)，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.【解析】∵an+1–an=(n+2)()n+1–(n+1)()n=∴当n＜9时，an+1-an＞0即an+1　＞an　；当n=9时an+1－an＝0，即an+1＝an；当n＞9时，an+1-an＜0即an+1＜an　故a1＜a2＜……＜a9=a10＞a11＞a12＞……，　　∴数列｛an｝中最大项为a9或a10，其值为10·（）9，其项数为9或10。【变式】已知Sn=1++…+,(n∈N*)，设f(n)=S2n+1－Sn+1,试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式:f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立.【解析】∵Sn=1++…+(n∈N*)∴f(n+1)＞f(n)∴f(n)是关于n的增函数∴对于一切大于1的自然数n，f(n)min=f(2)=∴要使一切大于1的自然数n，不等式f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立只要＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2成立即可由得m＞1且m≠2此时设［logm(m－1)］2=t，则t＞0，于是有，解得0＜t＜1由此得0＜［logm(m－1)］2＜1∴－1＜logm(m－1)＜1且logm(m－1)≠0解得m＞且m≠2。