2020届二轮复习数列、不等式学案（全国通用）

2020届二轮复习  数列、不等式   学案（全国通用）

二．【学习目标】

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).

2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.

3.会利用已知数列的通项公式或递推关系式求数列的某项.

4.会用数列的递推关系求其通项公式.

三．【方法总结】

1.利用通项公式，应用函数思想是研究数列特征的基本方法之一，应善于运用函数观点认识数列，用函数的图象与性质研究数列性质.

2.给出数列的常见途径有：列举、通项公式和递推关系式.

3.应用公式an＝是求数列通项公式或递推关系式的常用方法之一，同时应注意验证a1是否符合一般规律.

四．【题型方法总结】

（一）归纳猜想求通项

例1. ．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2016项与5的差，即（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：

n=1时，=2+3=×（2+3）×2；

n=2时，=2+3+4=×（2+4）×3；

…

由此我们可以推断：=2+3+…+（n+2）=[2+（n+2）]×（n+1）

∴=×[2+（2016+2）]×（2016+1）-5=1011×2015．故选：C．

练习1. 数列1， ，，……的一个通项公式为(   )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为所以令选项中的值分别为，不合题意，

所以可排除选项，故选D.

练习2. 在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第个三角形数为，则下面结论错误的是（   ）

A． B．

C．1024是三角形数 D．

【答案】C

【解析】∵，，，…，由此可归纳得，故A正确；

将前面的所有项累加可得，∴，故B正确；

令，此方程没有正整数解，故C错误；

，故D正确.

故选：C

练习3. ．按数列的排列规律猜想数列中的项，数列2，3，5，8，13，，34，55，…   则的值是(     )．

A．19 B．20 C．21 D．22

【答案】C

【解析】由数列数字特点可知：从第项开始，每一项都等于前两项的数字之和

，

可知满足题意

本题正确选项：

练习4. 两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，甲柱上有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图）.把这个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束，在移动的过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为，则当时，和满足 （   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】若甲柱有个盘，甲柱上的盘从上往下设为，其中，，

当时，将移到乙柱，只移动1次；

当时，将移到乙柱，将移到乙柱，移动2次；

当时，将移到丙柱，将移到丙柱，将移到乙柱，再将移到乙柱，将移到乙柱，；

当时，将上面的3个移到丙柱，共次，然后将移到乙柱，再将丙柱的3个移到乙柱，共次，所以次；

当时，将上面的4个移到丙柱，共次，然后将移到乙柱，再将丙柱的4个移到乙柱，共次，所以次；

……

以此类推，可知，

故选.

（二）分析变形求通项

例2. 数列，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记该数的前项和为，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意，熟练数列 ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，即该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，

则

，

即成立，

所以成立，故选B.

练习1.. 数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式是an=（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，，，…；明显地

，，，，…；显然数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式是，

答案选B

练习2. 数列2，22，222，2222，的一个通项公式an是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题意，数列{cn}：9，99，999，9999的通项是10n﹣1，

数列2，22，222，2222，…的每一项均是数列{cn}的，

则数列2，22，222，2222，的一个通项公式是an；

故选：D．

练习3. 有穷数列中的每一项都是-1，0，1这三个数中的某一个数，，且，则有穷数列中值为0的项数是（    ）

A．1000 B．1010 C．1015 D．1030

【答案】B

【解析】（a1+1）2+（a2+1）2+（a3+1）2+…+（a2015+1）2＝3870，

展开可得： +2（a1+a2+…+a2015）+2015＝3870，

把a1+a2+a3+…+a2015＝425，代入化简可得：＝1005，

∵数列a1，a2，a3，…，a2015中的每一项都是﹣1，0，1这三个数中的某一个数，

∴有穷数列a1，a2，a3，…，a2015中值为0的项数等于2015﹣1005＝1010．

故选：B．

（三）数阵

例3. 已知从2开始的连续偶数构成以下数表，如图所示，在该数表中位于第行、第列的数记为，如.若，则（    ）

A．20 B．21 C．29 D．30

【答案】A

【解析】由题意可得第1行有1个偶数，第2行有2个偶数，…第n行有n个偶数，则前n行共有个偶数，248在从2开始的偶数中排在第128位,

可得，，可得前15行共有个数，最后一个数为240，所以248在第16行，第4列，所以.

练习1. 已知数列的前项和为，将该数列按下列格式（第行有个数）排成一个数阵，则该数阵第行从左向右第个数字为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意，知，

当时，，当，所以，

又由数阵知，每一行的项数依次构成的数列，，，，，构成首项为，公比为的等比数列，

由等比数列的前项和公式知，该数阵第行从左到右第个数为数列的第项，所以该数为，故选B.

练习2.将正整数排列如下：

则图中数出现在（   ）

A．第行第列 B．第行第列

C．第行第列 D．第行第列

【答案】D

【解析】由题意可知，第行共有个数，且前行的个数为1+3+5++=，因为，，且，所以2019位于第45行，又第45行共有=89个数，所以2019-1936=83，故2019位于第45行第83列，故选D

练习3.将正奇数按如图所示的规律排列：

1

3   5   7

9   11   13   15   17

19  21   23   25   27   29   31

………………

则2019在第_____行，从左向右第______个数

【答案】32.    49.   

【解析】根据排列规律可知，第一行有1个奇数，第2行有3个奇数，第3行有5个奇数……

可得第n行有个奇数，

前n行总共有个奇数.

当时，共有个奇数，当时，共有个奇数.

所以2019是第1010个奇数，在第32行第49个数.

练习4.如图所示的数阵中，第64行第2个数字是________。

【答案】

【解析】由题意，从第2行开始，每一行的第2个数字的分母组成一个数列，其中，

则满足，

则

当时，则，

所以第64行的第2个数字为．

练习5.如图，它满足：（1）第n行首尾两数均为n，表中的递推关系类似杨辉三角，则第n（n>1）行第二个数是____.

【答案】

【解析】由题意，从第二行开始，取出数表中每一行的第二个数，构成数列满足 ，

则数列满足，且，

所以数表中第n行的第2个数字为数列的第项，

所以

，

即数表中第n行的第2个数字为．

练习6．把正整数排成如图的三角形阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图三角形阵，现将图中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列，若，则 _______；

【答案】

【解析】观察图（b），设其左边第一列数为，通过观察可知，故，.令，即，，当时上式成立此时，而，由可知，是这一行的第个数，前行的项数为项，故对应的为.

（四）数列的周期性

例4. 在数列中，已知，，且满足，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，可得.

又，，所以，

同理可得.

于是可得数列是周期数列且周期是.

因为，所以.故选B.

练习1. 设数列满足,记数列的前项之积为，则 （   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

∵，

∴a2＝，a3＝，a4＝＝﹣3，

a5＝＝2，…即an+4＝an，∴数列{an}是以4为周期的数列，

又a1•a2•a3•a4＝a5•a6•a7•a8＝…＝a2013•a2014•a2015•a2016＝1，

Tn为数列{an}的前n项之积，

∴T2018＝（a1•a2•a3•a4）•（a5•a6•a7•a8）…（a2013•a2014•a2015•a2016）•a2017•a2018

＝a1•a2＝，

故选：D．

练习2.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2019项的和为（    ）

A．672 B．673 C．1346 D．2019

【答案】C

【解析】由数列各项除以2的余数，

可得为，

所以是周期为3的周期数列，

一个周期中三项和为，

因为，

所以数列的前2019项的和为，

故选C.

练习3.在数列中，，则的值为（    ）

A． B． C． D．以上都不对

【答案】B

【解析】由题得，

所以数列的周期为3，

又2019=3×673，

所以.

故选:B

（五）构造法

例5 ．数列为1,1，2,1，1，2,3,1,1，2,1,1,2,3,4，...，首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是，，然后再复制前面所有的项1,1,2，再添加2的后继数3，于是，，， ,接下来再复制前面所有的项1,1,2,1,1,2,3，再添加4，...,如此继续，则（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】由数列的构造方法可知，可得，即，

故.

故选A

练习1. 已知函数的定义域为，当时，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由，令，，则

时，           

当时，令，则，即

又    当时，

令，则

，即

在上单调递减

又

令，；令，；令，

数列是以为周期的周期数列

，，，，

在上单调递减   

，，，

本题正确选项：

（六）数学文化与数列

例6. 大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则该数列第16项为（    ）

A．98 B．112 C．144 D．128

【答案】D

【解析】设该数列为，则，且，所以

，累加得到：

，故选D.

练习1.幻方，是中国古代一种填数游戏．阶幻方是指将连续个正整数排成的正方形数阵，使之同一行、同一列和同一对角线上的个数的和都相等．中国古籍《周易本义》中的《洛书》记载了一个三阶幻方（如图），即现在的如图．若某3阶幻方正中间的数是2018，则该幻方中的最小数为（   ）

A．2013 B．2014 C．2015 D．2016

【答案】B

【解析】由题意得3阶幻方正中间的数是5时，幻方中的最小数为1；

因此3阶幻方正中间的数是2018时幻方中的最小数为，选B.

练习2．一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为，当时，符合条件的共有（  ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】C

【解析】由题设a=3m+2=5n+3,m,n,则3m=5n+1

当m=5k,n不存在；

当m=5k+1，n不存在，当m=5k+2,n=3k+1，满足题意，当m=5k+3,n不存在；

当m=5k+4,n不存在；

故2≤a=15k+8≤2019,解,k∈Z,则k=0,1,2…134,共135个

故选：C

练习3.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为，当时， 符合条件的共有_____个．

【答案】

【解析】由题设a=3m+2=5n+3,m,n∈N*,则3m=5n+1

当m=5k,n不存在；

当m=5k+1，n不存在

当m=5k+2,n=3k+1，满足题意

当m=5k+3,n不存在；

当m=5k+4,n不存在；

故2≤a=15k+8≤2019,解则k=0,1,2…134,共135个

故答案为：135