2020届二轮复习随机变量的均值学案（全国通用）

随机变量的均值
学习目标　1.进一步熟练掌握均值公式及性质.2.能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题.

类型一　放回与不放回问题的均值
例1　在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：
(1)不放回抽样时，抽取次品数ξ的均值；
(2)放回抽样时，抽取次品数η的均值.
解　(1)方法一　P(ξ＝0)＝＝；
P(ξ＝1)＝＝；
P(ξ＝2)＝＝.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P



E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
方法二　由题意知P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2)，
∴随机变量ξ服从超几何分布，
n＝3，M＝2，N＝10，
E(ξ)＝＝＝.
(2)由题意知1次取到次品的概率为＝，
随机变量η服从二项分布η～B，
∴E(η)＝3×＝.
反思与感悟　本题中不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算.
跟踪训练1　已知袋中有5个大小相同的小球，其中有1个白球和4个黑球，每次从袋中任取1个球，每次取出黑球不再放回去，直到取出白球为止，求取球次数X的均值.
解　由题意可知X所有可能的取值为1,2,3,4,5.
P(X＝1)＝＝0.2.P(X＝2)＝×＝0.2.P(X＝3)＝××＝0.2.P(X＝4)＝×××＝0.2.
P(X＝5)＝××××1＝0.2.
∴随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2

∴E(X)＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2＝3.
类型二　与排列、组合有关的分布列的均值
例2　如图所示，从A1(1,0,0)，A2(2，0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1 (0，0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0).

(1)求V＝0的概率；
(2)求均值E(V).
解　(1)从6个点中随机选取3个点总共有C＝20种取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有CC＝12种，因此V＝0的概率为P(V＝0)＝＝.
(2)V的所有可能取值为0，，，，，
P(V＝0)＝，P(V＝)＝＝，
P(V＝)＝＝，
P(V＝)＝＝，P(V＝)＝＝.
因此V的分布列为
V
0




P





E(V)＝0×＋×＋×＋×＋×＝.
反思与感悟　解此类题的关键是搞清离散型随机变量X取每个值时所对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X取每个值时的概率，利用均值的公式便可得到.
跟踪训练2　某地举办知识竞赛，组委会为每位选手都备有10道不同的题目，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完一道题后，再抽取下一道题进行回答.
(1)求某选手在3次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；
(2)求某选手抽到体育类题目的次数X的均值.
解　从10道不同的题目中不放回地随机抽取3次，每次只抽取1道题，抽取方法的总数为CCC.
(1)某选手在3次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的方法数为CCC，
所以这位选手在3次抽取的题目中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率为＝.
(2)由题意可知X的取值可能为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
P



E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
类型三　与相互独立事件有关的分布列的均值
例3　某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核.每个项目只有一次补考机会，补考不及格者不能进入下一个项目的训练(即淘汰)，若该学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，假设每一次考核是否合格互不影响.
假设该生不放弃每一次考核的机会.用ξ表示其参加补考的次数，求随机变量ξ的均值.
解　ξ的可能取值为0,1,2.
设该学生第一次、第二次身体体能考核合格为事件A1，A2，第一次、第二次外语考核合格为事件B1，B2，
P(ξ＝0)＝P(A1B1)＝×＝，
P(ξ＝2)＝P(A2 B2)＋P(A2 )
＝×××＋×××＝.
根据分布列的性质，可知P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝.
所以其分布列为
ξ
0
1
2
P



E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
反思与感悟　若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率.
跟踪训练3　A，B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：
对阵队员
A队队员胜的概率
A队队员负的概率
A1对B1


A2对B2


A3对B3



现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，
设A队最后所得总分为随机变量X，求E(X).
解　由题意知X的可能取值为3,2,1,0.
P(X＝3)＝××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝0)＝××＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P





E(X)＝3×＋2×＋1×＋0×＝.
类型四　均值的实际应用

例4　根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10 000元.为保护设备，有以下3种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3 800元.
方案2：建保护围墙，建设费为2 000元，但围墙只能防小洪水.
方案3：不采取措施.
试比较哪一种方案好.
解　用X1, X2，X3分别表示方案1,2,3的损失.
采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800元，即
X1＝3 800.
采用第2种方案，遇到大洪水时，损失2 000＋60 000＝62 000元；没有大洪水时，损失2 000元，即
X2＝
同样，采用第3种方案，有
X3＝
于是，
E(X1)＝3 800，
E(X2)＝62 000×P(X2＝62 000)＋2 000×P(X2＝2 000)
＝62 000×0.01＋2 000×(1－0.01)＝2 600，
E(X3)＝60 000×P(X3＝60 000)＋10 000×P(X3＝10 000)＋0×P(X3＝0)
＝60 000×0.01＋10 000×0.25＝3 100.
采取方案2的平均损失最小，因此可以选择方案2.
反思与感悟　值得注意的是，结论是通过比较“平均损失”而得出的.一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：如果问题中的气象情况多次发生，那么采用方案2将会使损失减到最小.由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，因此对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的.
跟踪训练4　某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和均值.
解　记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}.由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立.
(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝ ，
于是P()＝P()P()＝×＝，
故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝.
(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.因为P(X＝0)＝P( )＝×＝，
P(X＝100)＝P(F)＝×＝，
P(X＝120)＝P(E)＝×＝，
P(X＝220)＝P(EF)＝×＝，
故所求的分布列为
X
0
100
120
220
P




E(X)＝0×＋100×＋120×＋220×＝＝＝140.

1.已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－1
0
1
P


m
若η＝aξ＋3，E(η)＝，则a＝________.
答案　2
解析　由分布列的性质，得＋＋m＝1，即m＝，
所以E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
则E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝.
即－a＋3＝，得a＝2.
2.设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为________.
答案　10
解析　设查得的次品数为随机变量X，
由题意得X～B，
所以E(X)＝150×＝10.
3.两封信随机投入A、B、C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数ξ的数学期望E(ξ)＝________.
答案　
解析　分布列如下表所示：
ξ
0
1
2
P



所以期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.
4.现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下.游戏规则为：若小球最终落入A槽，得10张奖票；若落入B槽，得5张奖票；若落入C槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次.

(1)求投球一次，小球落入B槽的概率；
(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X，求X的分布列及均值.
解　(1)由题意可知投一次小球，落入B槽的概率为()2＋()2＝.
(2)落入A槽的概率为()2＝，
落入B槽的概率为，
落入C槽的概率为()2＝.
X的所有可能取值为0,5,10，
P(X＝0)＝()3＝，
P(X＝5)＝＋×＋()2×＝.
P(X＝10)＝＋×＋()2×＝.
所以X的分布列为
X
0
5
10
P



E(X)＝0×＋5×＋10×＝.

1.实际问题中的均值问题
均值在实际中有着广泛的应用，如体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计.
2.概率模型的解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些.
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值.
(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.

一、选择题
1.签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签，从中任取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为(　　)
A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.5
答案　B
解析　由题意可知，X可以取3,4,5,6，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝.
由数学期望的定义可求得
E(X)＝5.25.
2.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取2个，则其中含红球个数的数学期望是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　记X为同时取出的两个球中含红球的个数，则
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
3.某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B，则E(－X)的值为(　　)
A. B.－
C. D.－
答案　D
解析　∵X～B，∴E(X)＝5×＝，
∴E(－X)＝－E(X)＝－.
4.甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X，Y的分布列分别是
X
0
1
2
3
P
0.7
0.1
0.1
0.1

Y
0
1
2
3
P
0.5
0.3
0.2
0
据此判定(　　)
A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好
C.甲与乙质量一样 D.无法判定
答案　A
解析　E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.
显然E(X)