2020届二轮复习数列中一类元素交并问题学案（全国通用）
展开专题14 数列中一类元素交并问题
数列中一类元素交并问题，实际考查思想方法，如最小公倍数、余数分析法，二项式定理应用.
类型一 两个等差数列取交集数列问题
典例1. 若数列的通项公式为，数列的通项公式为．
设集合，．若等差数列任一项是中的最大数，且，求的通项公式．
【答案】
【解析】对任意，，∴，∴
∵是中的最大数，∴，设等差数列的公差为，则
∴，即，又是一个以为公差等差数列，
∴，∴，∴．
类型二 一个等差数列和一个二次型数列取交集数列问题
典例2已知数列{}的通项公式为，数列{}的通项公式为．若将数列{}，{}中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{}，则数列的通项公式为____．
【答案】
【解析】解：设，考察模7的余数问题；
若时经验证可得：
当时，存在满足条件的存在
故{}中的项目依次为：
可求得数列{}的通项公式为：
类型三 一个等差数列和一个指数型数列取交集数列问题
典例3 已知数列和的通项公式分别为，.将与中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为.
（1）试写出，，，的值，并由此归纳数列的通项公式；
（2）证明你在（1）所猜想的结论.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】解：（1），，，，
由此归纳：.
（2） 由，得，
，由二项式定理得
，
当为奇数时，有整数解， .
1. 设数列{an}的通项公式为，数列{bn}的通项公式为bn＝3n－2．集合A
＝{x∣x＝an，n∈N*}，B＝{x∣x＝bn，n∈N*}．将集合A∪B中的元素从小到大依次排列，
构成数列c1，c2，c3，…，则{cn}的通项公式为___________.
【答案】
【解析】解：因为 ，
；
所以 ，
即当时，；当
，当时，，
当时，
所以的通项公式是
即：
2. 已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0，设是公比为q的等比数列的前三项，
（1）若k=7，
（i）求数列的前n项和Tn；
（ii）将数列和的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列，设其前n项和为Sn，求的值；
（2）若存在m>k,使得成等比数列，求证k为奇数.
【答案】(1) （i）（ii）1（2）见解析
【解析】
(1) 因为，所以成等比数列，又是公差的等差数列，
所以，整理得，又，所以，
，，所以，
①用错位相减法或其它方法可求得的前项和为；
① 因为新的数列的前项和为数列的前项的和减去数列前项的和，所以.
所以=1．
(2) 由，整理得，
因为，所以，所以.
因为存在m＞k,m∈N*使得成等比数列，所以，
又在正项等差数列{an}中，，
所以，又因为，有，
因为是偶数，所以也是偶数，即为偶数，所以k为奇数.
3. 设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列.
① 当时，求的数值；②求的所有可能值；
（2）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列.
【答案】(1) ①或②（2）见解析
【解析】本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。
（1）①当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0
若删去，则，即化简得，得
若删去，则，即化简得，得
综上，得或
②当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现连续三项。
若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；
当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，
（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得 （*）
由知，与同时为0或同时不为0
当与同时为0时，有与题设矛盾
故与同时不为0，所以由（*）得
因，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数
于是对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列
例如n项数列1，，，……，满足要求
4.在数列中，，且对任意的，成等比数列，其公比为
，成等差数列，其公差为，设.
（1）若，求的值；
（2）求证：数列为等差数列；
（3）若，设，是否存在、，使得、、成等比数列．若存在，求出所有符合条件的、的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 或.（2）见解析（3），
【解析】解：（1）∵，∴, 又，
解得或.
（2）∵成等差数列, ∴，
而,故，则.
得，所以，即.
故数列是公差为1的等差数列.
（3）由得，则.
∴. 则．
假设存在、，使得、、成等比数列，
则，即．
整理得 ．
因为，所以．
解得．
因为，所以，此时．
故存在，，使得、、成等比数列．
5. 在数列中，,且对任意的,成等比数列，其公比为.
（1）若，求；
（2）若对任意的,，，成等差数列，其公差为，设
① 求证：成等差数列，并指出其公差；
② 若,试求数列的前项的和.
【答案】(1) （2）①见解析②或
【解析】解：(1) 因为,所以,故是首项为1,公比为4的等比数列,所以
(2) ① 因为成等差数列,所以,
而,所以,则
得,所以,即,
所以是等差数列,且公差为1
② 因为,所以,则由,解得或
(ⅰ)当时, ,所以,则,即,
得,所以,
则
所以,则,故
(ⅱ)当时, ,所以,则,即得,
所以,
则,所以,从而.
综上所述,或
6. 数列的各项均为正数.若对任意的，存在，使得成立，则称数列为“型”数列.
（1）若数列是“型”数列，且，求；
（2）若数列既是“型”数列，又是“型”数列，证明：数列是等比数列.
【答案】(1) （2）见解析
【解析】解：（1）由题意得，，，，…成等比数列，且公比，．
（2）证明：由{}是“型”数列，得
，，，，，，…成等比数列，设公比为.
由{}是“型”数列，得
，，，，，…成等比数列，设公比为；
，，，，，…成等比数列，设公比为；
，，，，，…成等比数列，设公比为；
则，，．
所以，不妨记，且．
于是，
，
，
所以，故{}为等比数列．
7. 设为部分正整数组成的集合，数列的首项，前项的和为，已知对任意整数，当时，都成立．
（1）设，，求的值；
（2）设，求数列的通项公式
【答案】(1)8 （2）
【解析】解：（1）由题设，当，，
从而的值为8
（2）由题设知，当
，两式相减
所以当成等差数列，且也成等差数列
从而当时， （*）
且，
即成等差数列，
从而，
故由（*）式知
当时，设
当，从而由（*）式知
故
从而，于是
因此，对任意都成立，又由可知，
解得
因此，数列为等差数列，由
所以数列的通项公式为
