2020届二轮复习统计与概率学案（全国通用）

2020高中数学精讲精练 第十一章 统计与概率
总体
抽样
分析
估计
简单随机抽样

系统抽样

分层抽样

样本分布
样本特征数

相关系数

总体分布
总体特征数

相关系数
统计
【知识图解】
















概

率
等可能事件
必然事件
随机事件
不可能事件
概率分布
随机变量
随机现象
概 率
独立性
数字特征
条件概率
事件独立性
数学期望
方 差
应 用
古典概型
几何概型
概率
互斥、对立事件




















【方法点拨】
1、 准确理解公式和区分各种不同的概念
正确使用概率的加法公式与乘法公式、随机变量的数学期望与方差的计算公式.注意事件的独立性与互斥性是两个不同的概念，古典概型与几何概型都是等可能事件，对立事件一定是互斥事件，反之却未必成立.
2、 掌握抽象的方法
抽象分为简单的随机抽样、系统抽样、分层抽样.系统抽样适用于总体较多情况，分层抽样适用于总体由几个差异明显的部分组成的情况.
3、 学会利用样本和样本的特征数去估计总体
会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，并体会它们各自特点，特别注意频率分布直方图的纵坐标为频率/组距；会计算样本数据平均数、方差（标准差），利用样本的平均数可以估计总体的平均数，利用样本的方差估计总体的稳定程度.
4、 关于线性回归方程的学习
在线性相关程度进行校验的基础上，建立线性回归分析的基本算法步骤.学会利用线性回归的方法和最小二乘法研究回归现象，得到的线性回归方程（不要求记忆系数公式）可用于预测和估计，为决策提供依据.


第1课 抽样方法
【考点导读】
1. 抽样方法分为简单随机抽样、系统抽样、分层抽样.
2 .系统抽样适用于总体个数较多情况，分层抽样适用于总体由几个差异明显的部分组成的情况.
【基础练习】
1．为了了解全校900名高一学生的身高情况，从中抽取90名学生进行测量，下列说法正确的是 ④ .
①总体是900 ②个体是每个学生 ③样本是90名学生 ④样本容量是90
2．对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则N的值为 120 .
3．高三年级有12个班，每班50人按1—50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为18的同学留下进行交流，这里运用的是 系统 抽样法.
4．某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生身体情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为 50
5.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0003，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第40个号码为 0795 ．
【范例解析】
例1：某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？
分析 简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法.
解法1：（抽签法）将100件轴编号为1，2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这个10个号签对应的轴的直径.
解法2：（随机数表法）将100件轴编号为00，01，…99，在随机数表中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开始，选取10个为68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，这10件即为所要抽取的样本.
点评 从以上两种方法可以看出，当总体个数较少时用两种方法都可以，当样本总数较多时，方法2优于方法1.
例2、某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，……，295，为了了解学生的学习情况，要按1：5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程.
分析 按1：5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，关键是确定第1段的编号.
解：按照1：5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5=59，我们把259名同学分成59组，每组5人，第一组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，59组是编号为291～295的5名学生.采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为k(1≤k≤5)，那么抽取的学生编号为k+5L(L=0,1,2,……，58)，得到59个个体作为样本，如当k=3时的样本编号为3，8，13，……，288，293.
点评 系统抽样可按事先规定的规则抽取样本. 本题采用的规则是第一组随机抽取的学生编号为k，那么第m组抽取的学生编号为k+5(m-1).
例3：一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3：2：5：2：3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程.
分析 采用分层抽样的方法.
解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法，具体过程如下：
（1）将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层.
（2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本.
300×3/15=60（人），300×2/15=40（人），300×5/15=100（人），300×2/15=40（人），300×3/15=60（人），因此各乡镇抽取人数分别为60人、40人、100人、40人、60 人.
（3）将300人组到一起，即得到一个样本.
点评 分层抽样在日常生活中应用广泛，其抽取样本的步骤尤为重要，应牢记按照相应的比例去抽取.
【反馈演练】
1. 一个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则某一特定个体被抽到的可能性是 0.1 .
2．为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取100名运动员；就这个问题，下列说法中正确的有 2 个.
①2000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的100名运动员是一个样本；
④样本容量为100；⑤这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样；⑥每个运动员被抽到的概率相等.
3．对于简单随机抽样，下列说法中正确的命题为 ①②③④ .
①它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析；②它是从总体中逐个地进行抽取，以便在抽取实践中进行操作；③它是一种不放回抽样；④它是一种等概率抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的概率相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的概率也相等，从而保证了这种方法抽样的公平性.
4．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 分层抽样法，简单随机抽样法 .
5.下列抽样中不是系统抽样的是 ③ .
①.从标有1～15号的15个球中，任选三个作样本，按从小号到大号排序，随机选起点，以后，（超过15则从1再数起）号入样；
②.工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验；
③.搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的人数为止；
④.电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相同）座位号为14的观众留下座谈．
6．为了解初一学生的身体发育情况，打算在初一年级10个班的某两个班按男女生比例抽取样本，正确的
抽样方法是 ③ .
①随机抽样 ②分层抽样 ③先用抽签法，再用分层抽样 ④先用分层抽样，再用随机数表法
7．写出下列各题的抽样过程
(1)请从拥有500个分数的总体中用简单随机抽样方法抽取一个容量为30的样本.
(2)某车间有189名职工，现在要按1：21的比例选派质量检查员，采用系统抽样的方式进行.
(3)一个电视台在因特网上就观众对某一节目喜爱的程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下： 　
很喜爱
喜爱
一般
不喜爱
2435
4567
3926
1072
打算从中抽取60人进行详细调查，如何抽取？
解：(1)①将总体的500个分数从001开始编号，一直到500号；
②从随机数表第1页第0行第2至第4列的758号开始使用该表；
③抄录入样号码如下：335、044、386、446、027、420、045、094、382、5215、342、148、407、349、322、027、002、323、141、052、177、001、456、491、261、036、240、115、143、402
④按以上编号从总体至将相应的分数提取出来组成样本，抽样完毕
(2)采取系统抽样 189÷21＝9，所以将189人分成9组，每组21人，在每一组中随机抽取1人，这9人组成样本
(3)采取分层抽样 总人数为12000人，12000÷60＝200，

所以从很喜爱的人中剔除145人，再抽取11人；从喜爱的人中剔除167人，再抽取22人；从一般喜爱
的人中剔除126人，再抽取19人；从不喜爱的人中剔除72人，再抽取5人


第2课 总体分布的估计
【考点导读】
1．掌握频率分布直方图、折线图表与茎叶图的做法，体会它们各自的特点.
2．会用频率分布直方图、折线图表与茎叶图对总体分布规律进行估计.
【基础练习】
1．一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为60，0.25，则n的值是 　　240　　　
2．用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是 ③
①总体容量越大，估计越精确 ②总体容量越小，估计越精确
③样本容量越大，估计越精确 ④样本容量越小，估计越精确
10
11
12
13
78
02223666778
0012234466788
0234
3． 已知某工厂工人加工的零件个数的茎叶图如右图所示
（以零件个数的前两位为茎，后一位为叶），那么工人生产
零件的平均个数及生产的零件个数超过130的比例分别是
120.5与10％ .


4．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
x
14
15
13
12
9
频率
0.4

0.2
0.1
0
40 50 60 70 80 时速
第三组的频数和频率分别是 14和0.14 .

5． 200辆汽车通过某一段公路时的时速频率
分布直方图如图所示，则时速在的汽
车大约有 60 辆.






【范例解析】
例1．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：

（1）这一组的频数、频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（分及以上为及格）.
解：（1）频率为：，频数：
（2）.
例2．在参加世界杯足球赛的32支球队中，随机抽取20名队员，调查其年龄为25，21，23，25，27，29，25，28，30，29，26，24，25，27，26，22，24，25，26，28.填写下面的频率分布表，据此估计全体队员在哪个年龄段的人数最多？占总数的百分之几？并画出频率分布直方图．



解： (1)
分组
频数
频率
［20.5,22.5)
2
0.1
［22.5,24.5)
3
0.15
［24.5,26.5)
8
0.4
［26.5,28.5)
4
0.2
［28.5,30.5］
3
0.15
合计
20
1













年龄
频率
组距
20.5 22.5 24.5 26.5 28.5 30.5
0.05
0.075
0.1
0.2
(2)





分组
频数
频率
［20.5,22.5)


［22.5,24.5


［24.5,26.5)


［26.5,28.5)


［28.5,30.5］


合计













（3）估计全体队员在24.5～26.5处人数最多，占总数的百分之四十.
【反馈演练】
1．对于样本频率直方图与总体密度曲线的关系，下列说法正确的是 ④
①频率分布直方图与总体密度曲线无关 　　　　 ②频率分布直方图就是总体密度曲线
③样本容量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线
④如果样本容量无限增大,分组的组距无限的减小,那么频率分布直方图就会无限接近于总体密度曲线
2．在某餐厅内抽取100人,其中有30人在15岁以下,35人在16至25岁,25人在26至45岁,10人在46岁
以上,则数 0．35 是16到25岁人员占总体分布的 ②
① 概率 ②频率 ③ 累计频率 ④ 频数
3．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是 15 ,17 , 14 , 10 , 15 , 17 ,17 , 16, 14 , 12．
设其平均数为a,中位数为b,众数为c，则a, b, c的大小关系为
4.已知样本：10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12,12则频率为0.3的范围是 ( 2 )

5.已知10个数据如下：63，65，67，69，66，64，66, 64, 65，68.根据这些数据制作频率直方图，其
中[64.5, 66.5)这组所对应矩形的高为 0.2
6．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三有280人，以每人被抽取的频率为0.2，向该
中学抽取一个样本容量为n的样本，则n=　　200 　
7. 一个容量为20的样本数据,分组后,组距与频数如下: ,2; , 3 ; , 4 ; , 5 ; , 4 ; , 2 .则样本在区间 上的频率为__ 0.7 ___
0.5
人数(人)
时间(小时)
20
10
5
0
1.0
1.5
2.0
15
(第9题)
8．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在的频率为　　0.3 　　
(第8题)
2400 2700 3000 3300 3600 3900 体重
0
0 001
频率/组距







9．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右上面的条形图表示． 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 0.9小时
10.从甲、乙两台机器生产的零件中随机抽取15个进行检验，相关指标的检验结果为：
甲：534，517，528，522，513，516，527，526，520，508，533，524，518，522，512；
乙：512，520，523，516，530，510，518，521，528，532，507，516，524，526，514.
8
87632
87642200
43
50
51
52
53
7
024668
013468
02
(1).画出上述数据茎叶图；
(2).试比较分析甲、乙两台机器生产零件的情况.
解（1）用指标的两位数作茎，然后作茎叶图：
（2）从图中可以看出，甲机器生产零件的指标
分布大致对称，指标平均在520左右，中位数
和众数均为522；乙机器生产零件的指标分布为
大致对称，指标平均在520左右，中位数和众数
分别为520和516，总的来看，甲机器生产的零
件的指标略大些..
点评 注意作茎叶图时，茎可以放两位数.

第3课 总体特征数的估计
【考点导读】
理解样本数据的方差、标准差的意义并且会计算数据的方差、标准差，使学生掌握通过合理抽样对总体稳定性作出科学的估计的思想.
【基础练习】
1．已知数据的平均数为，则数据，，…，的平均数为 22 .
2．若M个数的平均数是X, N个数的平均数是Y,则这M+N个数的平均数是
3．数据a1，a2，a3，…，an的方差为σ2，则数据2a1，2a2，2a3，…，2an的方差为 4σ2 .
4．已知同一总体的两个样本，甲的样本方差为，乙的样本方差为，则下列说法正确的是 ④ .
①甲的样本容量小 　　 ②乙的样本容量小　 ③甲的波动较小　　 ④乙的波动较小
【范例解析】
例1.下面是一个班在一次测验时的成绩，分别计算男生和女生的成绩平均值、中位数以及众数.试分析一下该班级学习情况.
男生：55，55，61，65，68，68，71，72，73，74，75，78，80，81，82，87，94；
女生：53，66，70，71，73，73，75，80，80，82，82，83，84，85，87，88，90，93，94，97.
解：17名男生成绩的平均值是72.9分，中位数是73分，众数为55和68.
20名女生成绩的平均值是80.3分，中位数是82分，众数为73，80和82.
从上述情况来看，这个班女生成绩明显好于男生成绩.
例2.为了比较甲，乙两位射击运动员的成绩，在相同的条件下对他们进行了10次测验，测得他们的环数如下：
环数
10
9
8
7
6
5
甲（次）
3
2
1
2
0
2
乙（次）
2
2
2
2
2
0
试根据以上数据，判断他们谁更优秀.
解：=8,=8, =3.4,=2, 所以乙更优秀
例3．某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，
称其重量，分别记录抽查数据如下：
甲：102，101，99，98，103，98，99；
乙：110，115，90，85，75，115，110．
（1）这种抽样方法是哪一种方法？
（2）计算甲、乙两个车间产品的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？
解：（1）采用的方法是：系统抽样；
（2）；
；
；

∴ 故甲车间产品比较稳定．
点评 以样本估计总体，在生产生活经常用到，发现问题，解决问题，从而更好地指导实践.
【反馈演练】
1. 下列说法中，正确的是 ④ .
① 频率分布直方图中各小长方形的面积不等于相应各组的频率
②一组数据的标准差是这组数据的方差的平方
③数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半
④一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
2．从甲、乙两班分别任意抽出10名学生进行英语口语测验，其测验成绩的方差分别为S12= 13.2，S22=26．26，则 ① .
①甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐
②乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐
③甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐
④不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度
3 ．已知样本为101 ,98, 102, 100, 99，则样本标准差为
4 .某班45人，一次数学考试，班级均分72分.已知不及格人数为5人，他们的平均成绩是52分，则及格学生的平均分为 74 .5分 .
5．高三年级1000名学生进行数学其中测试.高三年级组随机调阅了100名学生的试卷（满分为150分），成绩记录如下：
成绩（分）
3
4
5
6
7
8
9
10
人数
6
8
10
15
15
35
8
3
求样本平均数和样本方差．
解：=6.77

=3.1171
6．两台机床同时生产直径为10的零件，为了检验产品质量，质量质检员从两台机床的产品中各抽取4件进行测量，结果如下：
机床甲
10
9.8
10
10.2
机床乙
10.1
10
9.9
10
如果你是质量检测员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求.
解：先考虑各自的平均数：设机床甲的平均数、方差分别为；机床乙的平均数、方差分别为.
，
∴两者平均数相同，再考虑各自的方差：


∵，∴机床乙的零件质量更符合要求.


第4课 案例分析
【考点导读】
1.会作两个有关联变量数据的散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.
2.知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，了解回归与分析的基本思想、方法及其初步应用.


【基础练习】
1．根据下表中的数据：可求出与的线性回归方程是

x
-1
0
1
2
y
-1
0
1
1


2．线性回归方程表示的直线必经过的一个定点是
3．设有一个直线回归方程为 ,则变量x 增加一个单位时 ③ .
① y 平均增加 1.5 个单位 ② y 平均增加 2 个单位
③ y 平均减少 1.5 个单位 ④ y 平均减少 2 个单位
4．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是 ③ .
①都可以分析出两个变量的关系 ②都可以用一条直线近似地表示两者的关系
③都可以作出散点图 ④都可以用确定的表达式表示两者的关系
5．对于两个变量之间的相关系数，下列说法中正确的是 ③ .
①|r|越大，相关程度越大
②|r|，|r|越大，相关程度越小，|r|越小，相关程度越大
③|r|1且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小
【范例解析】
例1．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．
（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）判断性别与休闲方式是否有关系．
解：（1）2×2的列联表
性别 休闲方式
看电视
运动
总计
女
43
27
70
男
21
33
54
总计
64
60
124
（2）假设“休闲方式与性别无关”
计算
因为，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，
即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”.
点评 对两个变量相关性的研究，可先计算的值，并根据临界表进行估计与判断.
例3. 一个车间为了为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次实验，测得如下数据：
零件数x (个)
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
加工时间y(分)
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122

(1) y与x是否具有线性相关关系？
(2) 如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程；
(3) 据此估计加工200个零件所用时间为多少？
解：（1）查表可得0.05和n-2相关系数临界，
由知y与x具有线性相关关系.
（2）回归直线方程为
（3）估计加工200个零件所用时间189分.
【反馈演练】
1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是 ④ .
①角度与它的余弦值 ②正方形的边长与面积
③正n边形的边数和顶点角度之和 ④人的年龄与身高
2．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立的做10次和15次试验，并且
利用线性回归方法，求得回归直线分布为和，已知在两人的试验中发现对变量x的观察数据的平均值
恰好相等都为s，对变量y的观察数据的平均值恰好相等都为t,那么下列说法正确的是 ① .
①直线和有交点（s,t） ②直线和相交，但是交点未必是（s,t）
③ 直线和平行 ④ 直线和必定重合
3．下列两个变量之间的关系是相关关系的是 ④ .
①正方体的棱长和体积 ②单位圆中角的度数和所对弧长
③单产为常数时，土地面积和总产量 ④日照时间与水稻的亩产量
4．对于回归方程y=4.75x+257,当x=28时,y的估计值为 390 .
5．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：

性别 专业
非统计专业
统计专业
男
13
10
女
7
20
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据
表中的数据，得到，因为，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为 5% .
6.为了研究失重情况下男女飞行员晕飞船的情况，抽取了89名被试者，他们的晕船情况汇总如下表，根据独立性假设检验的方法， 不能 认为在失重情况下男性比女性更容易晕船（填能或不能）

晕机
不晕机
合计
男性
23
32
55
女性
9
25
34
合计
32
57
89
7.打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关，下表是一次调查所得的数据，试问：每一晚都打鼾与患心脏病有关吗？

患心脏病
未患心脏病
合计
每一晚都打鼾
30
224
254
不打鼾
24
1355
1379
合计
54
1579
1633
解：提出假设H0：打鼾与患心脏病无关，根据数据得
当H0成立时，的概率为1%，而这时
所以我们有99%的把握认为打鼾与患心脏病有关.
第5课 古典概型
【考点导读】
1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及概率与频率的区别.
2.正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等.
【基础练习】
1. 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率






（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？
分析：事件A出现的频数nA与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率.
解：（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
（2）由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89.
点评 概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之.
2．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是 随机 事件 （必然、随机、不可能）
3．下列说法正确的是 ③ .
①任一事件的概率总在（0.1）内 ②不可能事件的概率不一定为0
③必然事件的概率一定为1 ④以上均不对
4.一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是

5. 从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为
【范例解析】
例1. 连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
（1）写出这个试验的基本事件；
（2）求这个试验的基本事件的总数；
（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件?
解：（1）这个试验的基本事件Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}；
（2）基本事件的总数是8.
（3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）.
点评 一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件.

例2. 抛掷两颗骰子，求：
（1）点数之和出现7点的概率；
（2）出现两个4点的概率.
解：作图，从下图中容易看出基本事件空间与点集S={（x，y）|x∈N，y∈N，1≤x≤6，1≤y≤6}中的元
素一一对应.因为S中点的总数是6×6=36（个），所以基本事件总数n=36.

（1）记“点数之和出现7点”的事件为A，从图中可看到事件A包含的基本事件数共6个：（6，1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），所以P（A）=.
（2）记“出现两个4点”的事件为B，则从图中可看到事件B包含的基本事件数只有1个：（4，4）.所以P（B）=.
点评 在古典概型下求P（A），关键要找出A所包含的基本事件个数然后套用公式
变题 .在一次口试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求：
（1）他获得优秀的概率为多少；
（2）他获得及格及及格以上的概率为多少；
点拨：这是一道古典概率问题，须用枚举法列出基本事件数.
解：设这5道题的题号分别为1,2，3，4，5，则从这5道题中任取3道回答，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4）,（2，3，5），
（2，4，5），（3，4，5）共10个基本事件．
（1）记“获得优秀”为事件A，则随机事件A中包含的基本事件个数为3，故．
（2）记“获得及格及及格以上”为事件B，则随机事件B中包含的基本事件个数为9，故．
点评：使用枚举法要注意排列的方法，做到不漏不重.
例3. 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两
次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2），（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）.其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，
右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则
A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）] 事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）==

【反馈演练】
1.某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次环中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为 0.9 中10环的概率约为 0.2 .
分析：中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为=0.9，所以中靶的概率约为0.9．
解：此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次，中靶的概率为0.9；中10环的概率约为0.2．
2.一栋楼房有4个单元，甲乙两人被分配住进该楼，则他们同住一单元的概率是 0.25 .
3. 在第1,3,6,8,16路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第6
路或第16路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的
概率等于
4.把三枚硬币一起抛出，出现2枚正面向上，一枚反面向上的概率是
5.有5根细木棒，长度分别为1,3 ,5 ,7 ,9，从中任取三根，能搭成三角形的概率是
6. 从1，2，3，…，9这9个数字中任取2个数字，
（1）2个数字都是奇数的概率为
（2）2个数字之和为偶数的概率为
7. 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为
8. A、B、C、D、E排成一排，A在B的右边（A、B可以不相邻）的概率是
9．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是
10. 用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：

（1）3个矩形颜色都相同的概率；（2）3个矩形颜色都不同的概率.
解：所有可能的基本事件共有27个，如图所示.


（1）记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图知，事件A的基本事件有1×3=3个，故P（A）=.
（2）记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B的基本事件有2×3=6个，故P（B）=.
11. 甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时
掷一次.
（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少?
（2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率.
解：（1）甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故基本事件总数为6×6=36个.其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定.故共有6×1=6种不同的结果，即概率为.
（2）两个玩具的数字之和共有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共11种不同结果.从中可以看出，出现12的只有一种情况，概率为.出现数字之和为6的共有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）五种情况，所以其概率为.
12.现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．
解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有
10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，
因此，P(A)= =0.512．
（2）可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= ．

第6课几何概型
【考点导读】
1．了解几何概型的基本特点.
2．会进行简单的几何概率的计算.
【基础练习】
1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是
0.004
2. 取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率是
3. 在1万 km2的海域中有40 km2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率
是

(第5题)
4. 如下图，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是 .
(第4题)



5. 如下图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，则射线落在∠xOT内的概率是 .
【范例解析】
例1. 在等腰Rt△ABC中， (1)在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率.
（2）过直角顶点C在内作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM