2020届二轮复习已知函数增或减，导数符号不改变学案（全国通用）

【题型综述】

用导数研究函数的单调性

（1）用导数求函数的单调区间

求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求，得函数的单调递增（减）区间．

一般地，函数在某个区间可导，＞0在这个区间是增函数

一般地，函数在某个区间可导，＜0在这个区间是减函数

（2）单调性的应用（已知函数单调性）

一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增(减)函数≥。

常用思想方法：

函数在某区间上单调递增，说明导数大于或等于零恒成立．，而函数在某区间上单调递减，说明导数小于或等于零恒成立．

【典例指引】

例1．已知函数， ．

⑴ 若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；

⑵ 若函数在区间上单调，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）根据题意，对函数求导，由导数的几何意义分析可得曲线 在点处的切线方程，代入点，计算可得答案；
（2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；

若函数在区间上单调递增，则在恒成立，

，得； &

若函数在区间上单调递减，则在恒成立，

，得，

综上，实数的取值范围为

例2．已知函数．（x＞0）

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若在上是单调增函数，求实数a的取值范围．

【思路引导】

（1）函数求导，令得函数增区间，令得函数的减区间；

（2）函数为上单调增函数，只需在上恒成立即可．

点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．

例3．已知函数．

（1）若曲线在点处的切线的倾斜角为，求实数的值；

（2）若函数在区间上单调递增，求实数的范围

【思路引导】

（1）根据切线的倾斜角为得到切线的斜率，根据导数的几何意义可以知道处的导数即为切线的斜率，建立等量关系，求出a即可;
（2）根据函数在区间上单调递增，可转化成，对恒成立，将参数a分离，转化成当时，不等式恒成立，利用均值不等式求出不等式右边函数的最小值，进而得实数a的范围