2020届二轮复习解析几何学案（全国通用）


[析考情·明重点]
小题考情分析
大题考情分析
常考点
1.双曲线的渐近线、离心率及焦点问题(5年4考)
2.椭圆的离心率问题，椭圆与直线、双曲线的综合问题(5年3考)
直线与圆锥曲线解答题是高考的热点也是重点部分，主要涉及以下两种考法：
(1)直线与椭圆有关范围、最值的综合问题；
(2)直线与抛物线有关范围、最值的综合问题.
偶考点
1.圆与不等式的交汇问题
2.抛物线的焦点、准线问题

第一讲 小题考法——直线与圆
考点(一)
直 线 的 方 程

主要考查直线方程、两条直线的位置关系及三个距离公式的应用.

[典例感悟]
[典例]　(1)已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为(　　)
A．－　　　　　　　 　B．0
C．－或0 D．2
(2)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是(　　)
A．(0,1) B.
C. D.
(3)过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)距离为2的直线方程为_________________________________________________________________.
[解析]　(1)由l1∥l2得1×(－a)＝2a(a＋1)，即2a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－.经检验，当a＝0或a＝－时均有l1∥l2，故选C.
(2)易知BC所在直线的方程是x＋y＝1，由消去x，得y＝，当a＞0时，直线y＝ax＋b与x轴交于点，结合图形(图略)知××＝，化简得(a＋b)2＝a(a＋1)，则a＝.∵a＞0，∴＞0，解得b＜.
考虑极限位置，即当a＝0时，易得b＝1－，故b的取值范围是.
(3)由得∴l1与l2的交点为(1,2)．当所求直线斜率不存在，即直线方程为x＝1时，显然不满足题意．
当所求直线斜率存在时，设所求直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，
∵点P(0,4)到直线的距离为2，
∴2＝，∴k＝0或k＝.
∴直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.
[答案]　(1)C　(2)B　(3)y＝2或4x－3y＋2＝0
[方法技巧]
解决直线方程问题的2个关注点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况．
(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意．
[演练冲关]
1．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)，B(－a,1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝(　　)
A．－4 B．－2
C．0 D．2
解析：选B　由题知，直线l的斜率为1，则直线l1的斜率为－1，所以＝－1，所以a＝－4.又l1∥l2，所以－＝－1，b＝2，所以a＋b＝－4＋2＝－2，故选B.
2．(2018·浙江名师预测卷)“m＝－1”是“直线l1：mx＋(2m－1)y＋1＝0与直线l2：3x＋my＋3＝0垂直”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　若直线l1：mx＋(2m－1)y＋1＝0与直线l2：3x＋my＋3＝0垂直，
则3m＋m(2m－1)＝0，即2m(m＋1)＝0，
解得m＝0或m＝－1，
则“m＝－1”是“直线l1：mx＋(2m－1)y＋1＝0与直线l2：3x＋my＋3＝0垂直”的充分不必要条件．故选A.
3．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由l1∥l2，得(a－2)a＝1×3，且a×2a≠3×6，解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以l1与l2间的距离为d＝＝.

考点(二)
圆 的 方 程

主要考查圆的方程的求法，常涉及弦长公式、直线与圆相切等问题.

[典例感悟]
[典例]　(1)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)
A.　　　　　　　　 　B.
C. D.
(2)(2018·广州模拟)若一个圆的圆心是抛物线x2＝4y的焦点，且该圆与直线y＝x＋3相切，则该圆的标准方程是______________．
[解析]　(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∴∴
∴△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－2x－y＋1＝0，圆心为，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为 ＝.
(2)抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝r2(r>0)，因为该圆与直线y＝x＋3，即x－y＋3＝0相切，所以r＝＝，故该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝2.
[答案]　(1)B　(2)x2＋(y－1)2＝2
[方法技巧]
圆的方程的2种求法
几何法
通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程
代数法
用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数
[演练冲关]
1．圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是(　　)
A．(x－)2＋(y－1)2＝4
B．(x－)2＋(y－)2＝4
C．x2＋(y－2)2＝4
D．(x－1)2＋(y－)2＝4
解析：选D　圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需求圆心(2,0)关于直线y＝x对称的点的坐标即可．设所求圆的圆心坐标为(a，b)，则解得所以圆(x－2)2＋y2＝4的圆心关于直线y＝x对称的点的坐标为(1，)，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4，故选D.
2．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程是(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8
C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8
解析：选A　根据题意，直线x－y＋1＝0与x轴的交点坐标为(－1,0)，即圆心为(－1,0)．因为圆C与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径r＝＝，则圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2，故选A.
3．圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为________________．
解析：设圆心坐标为(a，b)，半径为r.由已知又圆心(a，b)到y轴、x轴的距离分别为|a|，|b|，所以|a|＝r，|b|2＋3＝r2.综上，解得a＝2，b＝1，r＝2，所以圆心坐标为(2,1)，圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4
考点(三)
直线(圆)与圆的位置关系

主要考查直线(圆)与圆位置关系的判断、根据直线与圆的位置关系解决参数问题或与圆有关的轨迹问题.

[典例感悟]
[典例]　(1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A．内切　　　　　　　 　B．相交
C．外切 D．相离
(2)(2018·丽水、衢州、湖州高三联考)已知直线l1：2x－y＋1＝0，直线l2：4x－2y＋a＝0，圆C：x2＋y2－2x＝0.若圆C上任意一点P到两直线l1，l2的距离之和为定值2，则实数a＝________.
[解析]　(1)由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2，即圆M的圆心为(0,2)，半径为2.又圆N的圆心为(1,1)，半径为1，则圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，半径之和为3,1||，又直线与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，故0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
[解析]　(1)因为抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，
所以焦点F.
设M(x，y)，由抛物线的性质可得|MF|＝x＋＝5，
所以x＝5－.
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心横坐标为，又由已知可得圆的半径也为，故可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，所以M.将点M的坐标代入抛物线方程，得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.
(2)双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，则圆心A到此渐近线的距离d＝＝.又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin 60°＝，即＝，所以e＝＝.
[答案]　(1)C　(2)
[方法技巧]
1．椭圆、双曲线的离心率(离心率范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．
2．双曲线的渐近线的求法及用法
(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．
(2)用法：①可得或的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．
[演练冲关]
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.
C.或 D.或2
解析：选D　∵两条渐近线的夹角为60°，且两条渐近线关于坐标轴对称，∴＝tan 30°＝或＝tan 60°＝.
由＝，得＝＝e2－1＝，∴e＝(舍负)；由＝，得＝＝e2－1＝3，∴e＝2(舍负)．故选D.
2．(2018·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， ]∪[4，＋∞)
解析：选A　当0＜m＜3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，解得0＜m≤1.当m＞3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
3．如图，抛物线y2＝4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使|OA|＝|AC|，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为点E，G，则|EG|的最小值为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则y3＝2y1，y4＝y2，|EG|＝y4－y3＝y2－2y1.因为AB为抛物线y2＝4x的焦点弦，所以y1y2＝－4，所以|EG|＝y2－2×＝y2＋≥2＝4，当且仅当y2＝，即y2＝4时取等号，所以|EG|的最小值为4.
答案：4
考点(三)
圆锥曲线与圆、直线的综合问题

主要考查直线与圆锥曲线的位置关系以及圆锥曲线与圆相结合的问题.

[典例感悟]
[典例]　(1)已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)　
B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－3,0)
D．(－2,0)
(2)已知双曲线C：mx2＋ny2＝1(mn0，解得t>0或t0，n0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，P是双曲线C右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，若直线PF1与圆x2＋y2＝a2相切，则双曲线的离心率为(　　)
A.　　　　　　　　　 　B.
C．2 D．3
解析：选B　取线段PF1的中点为A，连接AF2，又|PF2|＝|F1F2|，则AF2⊥PF1，∵直线PF1与圆x2＋y2＝a2相切，∴|AF2|＝2a，∵|PF2|＝|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝2a＋2c，∴|PA|＝·|PF1|＝a＋c，则在Rt△APF2中，4c2＝(a＋c)2＋4a2，化简得(3c－5a)(a＋c)＝0，则双曲线的离心率为.
2．已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，则直线OM与直线l的斜率之积为(　　)
A．－9 B．－
C．－ D．－3
解析：选A　设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝＝－，yM＝kxM＋b＝，故直线OM的斜率kOM＝＝－，所以kOM·k＝－9，即直线OM与直线l的斜率之积为－9.

(一) 主干知识要记牢
圆锥曲线的定义、标准方程和性质
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)
||PF1|－|PF2||＝2a(2ab>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
图形



几何性质
轴
长轴长2a，短轴长2b　
实轴长2a，虚轴长2b

离心率
e＝＝ (0b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，点P的坐标是(x0，y0)．
(1)三角形的三个边长是|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0，|F1F2|＝2c，e为椭圆的离心率．
(2)如果△PF1F2中∠F1PF2＝α，则这个三角形的面积S△PF1F2＝c|y0|＝b2tan .
(3)椭圆的离心率e＝.
2．双曲线焦点三角形的2个结论
P(x0，y0)为双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，△PF1F2为焦点三角形．
(1)面积公式
S△PF1F2＝c|y0|＝r1r2sin θ＝(其中|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ)．
(2)焦半径
若P在右支上，|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a；
若P在左支上，|PF1|＝－ex0－a，|PF2|＝－ex0＋a.
3．抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB的4个结论
(1)xA·xB＝；
(2)yA·yB＝－p2；
(3)|AB|＝(α是直线AB的倾斜角)；
(4)|AB|＝xA＋xB＋p.
4．圆锥曲线的通径
(1)椭圆通径长为；
(2)双曲线通径长为；
(3)抛物线通径长为2p.
5．圆锥曲线中的最值
(1)椭圆上两点间的最大距离为2a(长轴长)．
(2)双曲线上两点间的最小距离为2a(实轴长)．
(3)椭圆焦半径的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c与a＋c分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离．
(4)抛物线上的点中顶点到抛物线准线的距离最短．
(三) 易错易混要明了
1．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a＜|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．
[针对练1]　△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．
解析：如图，设内切圆的圆心为P，过点P作AC，BC的垂线PD，PF，垂足分别为D，F，则|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，∴|CA|－|CB|＝|AD|－|BF|＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．
答案：－＝1(x>3)
2．解决椭圆、双曲线、抛物线问题时，要注意其焦点的位置．
[针对练2]　若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为________．
解析：当焦点在x轴上时，a2＝8＋k，b2＝9，e2＝＝＝＝，解得k＝4.
当焦点在y轴上时，a2＝9，b2＝8＋k，e2＝＝＝＝，解得k＝－.
答案：4或－
3．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在解决交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行．

A组——10＋7提速练
一、选择题
1．(2018·浙江高考)双曲线－y2＝1的焦点坐标是(　　)
A．(－，0)，(，0)　　　 　B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0,2)
解析：选B　∵双曲线方程为－y2＝1，
∴a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在x轴上，
∴c＝＝＝2，
即得该双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．
2．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，则它的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选A　由双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，可得＝，∴＋1＝，可得＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x.
3．(2018·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由圆心到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝ ＝.
4．(2018·温州适应性测试)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e∈(1,2]，则其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e∈(1,2]，所以1b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　法一：设P(x0，y0)，由题意知|x0|，解得e>，又00，y1＋y2＝，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝y1＋y2＋2＝.
答案：
12．(2018·浙江高考猜题卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，若直线l：y＝k(x－2 018)与双曲线C的右支有且仅有一个交点，则a－b＝_______；k的取值范围是________．
解析：因为双曲线的离心率e＝，所以＝，从而可得a＝b，即a－b＝0，故双曲线的渐近线方程为x±y＝0，其斜率为±1，易知直线l必过定点(2 018,0)，且直线l：y＝k(x－2 018)与双曲线C的右支有且仅有一个交点，所以由数形结合可知－1≤k≤1，即k的取值范围是[－1,1]．
答案：0　[－1,1]
13．已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足00)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若0)的左、右焦点分别是F1，F2，其离心率e＝，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，·＝0，求||＋||的取值范围．
解：(1)由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，
此时S△PF1F2＝|F1F2|·|OP|＝bc，
所以bc＝4，
因为e＝＝，所以b＝2，a＝4，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)由(1)得，F1的坐标为(－2,0)，
因为·＝0，所以AC⊥BD，
①当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得||＋||＝6＋8＝14.
②当直线AC的斜率k存在且k≠0时，
设其方程为y＝k(x＋2)，A(x1，y1)，C(x2，y2)，
由得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－48＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
||＝|x1－x2|＝，
此时直线BD的方程为y＝－(x＋2)．
同理由可得||＝，
||＋||＝＋＝，
令t＝k2＋1，则||＋||＝＝(t>1)，因为t>1,00)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于P，Q两点，且|PQ|＝8，线段PQ的中点到y轴的距离为3.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线C上相异的两点，满足x1＋x2＝2，且AB的中垂线交x轴于点M，求△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．
解：(1)设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，则PQ的中点坐标为.
由题意知＝3，∴xP＋xQ＝6，
又|PQ|＝xP＋xQ＋p＝8，∴p＝2，
故抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)当AB垂直于x轴时，显然不符合题意，
所以可设直线AB的方程为y＝kx＋b(k≠0)，
由消去y并整理，
得k2x2＋(2kb－4)x＋b2＝0，
∴x1＋x2＝＝2，得b＝－k，
∴直线AB的方程为y＝k(x－1)＋.
∵AB中点的横坐标为1，
∴AB中点的坐标为.
可知AB的中垂线的方程为y＝－x＋，
∴M点的坐标为(3,0)．
∵直线AB的方程为k2x－ky＋2－k2＝0，
∴M到直线AB的距离d＝＝.
由得y2－ky＋2－k2＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝，
∴|AB|＝ |y1－y2|＝.
设△AMB的面积为S，
则S＝4 .
设 ＝t，则0≤t0)的焦点为F，P为抛物线上的点(第一象限)，直线l与抛物线相切于点P.
(1)过P作PM垂直于抛物线的准线于点M，连接PF，求证：直线l平分∠MPF；
(2)若p＝1，过点P且与l垂直的直线交抛物线于另一点Q，分别交x轴、y轴于A，B两点，求＋的取值范围．
解：(1)证明：设P(x0，y0)，则y＝2px0，因为点P不是抛物线的顶点，所以直线l的斜率存在，设为k，则k＝，
所以切线l：y－y0＝(x－x0)，即y0y＝p(x＋x0)．
设切线l与x轴交于点C，
则C(－x0,0)，所以|FC|＝x0＋，
由抛物线的定义得|PF|＝|PM|＝x0＋，所以|PF|＝|FC|，
所以∠PCF＝∠FPC＝∠MPC，
因而直线l平分∠MPF.
(2)由(1)及已知得，过点P且与l垂直的直线的斜率为－＝－y0，因而其方程为y－y0＝－y0(x－x0)，
则A(x0＋1,0)，B(0，x0y0＋y0)．
由得y2＋y－2(x0＋1)＝0，
由y0和yQ为方程的两个根得，y0＋yQ＝－，
因而yQ＝＝.
所以＋＝＋＝＋＝2x0＋1，
因为x0>0，所以2x0＋1>1，
所以＋的取值范围为(1，＋∞)．
第四讲 大题考法——圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
题型(一)
定点问题

主要考查直线、曲线过定点或两条直线的交点在定曲线上.

[典例感悟]
[典例1]　(2018·宁波“十校”高三5月联考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P为椭圆E上一点．点A，B为椭圆E的上下顶点，动点M在第一象限内且坐标为(m,2)，过M作直线MA，MB分别交椭圆E于C，D两点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)问直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
[解]　(1)由e＝＝，a2＝b2＋c2，得a＝2b.①
把代入椭圆方程，得＋＝1.②
联立①②，解得a＝2，b＝1，
∴椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)由题意知，A(0,1)，B(0，－1)，则直线MA的方程为y＝＋1，直线MB的方程为y＝－1，
联立
得xC＝，xD＝，
∴C，D，
∴kCD＝＝，则直线CD的方程为y－＝，
即y＝x＋，
∴直线CD过定点.
[备课札记]　

　

[方法技巧]
动线过定点问题的两大类型及解法
(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．
(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
[演练冲关]
1.如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的点A(2,1)作斜率分别为k1，k2的直线，分别交抛物线E于B，C两点．
(1)求抛物线E的标准方程和准线方程；
(2)若k1＋k2＝k1k2，证明：直线BC恒过定点．
解：(1)设抛物线E的标准方程为x2＝ay，a>0，
将A(2,1)代入得，a＝4.
所以抛物线E的标准方程为x2＝4y，准线方程为y＝－1.
(2)证明：由题意得，直线AB的方程为y＝k1x＋1－2k1，直线AC的方程为y＝k2x＋1－2k2，
联立
消去y得x2－4k1x－4(1－2k1)＝0，
解得x＝2或x＝4k1－2，
因此点B(4k1－2，(2k1－1)2)，
同理可得C(4k2－2，(2k2－1)2)．
于是直线BC的斜率
k＝
＝＝k1＋k2－1，又k1＋k2＝k1k2，
所以直线BC的方程为y－(2k2－1)2＝(k1k2－1)·[x－(4k2－2)]，
即y＝(k1k2－1)x－2k1k2－1＝(k1k2－1)(x－2)－3.
故直线BC恒过定点(2，－3)．

题型(二)
定 值 问 题

主要以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，考查转化与化归思想和对定值问题的处理能力，常涉及式子、面积的定值问题.

[典例感悟]
[典例2]　已知抛物线C：y2＝2px(p>1)上的点A到其焦点的距离为，且点A在曲线x＋y2－＝0上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线C上异于原点的两点，Q(x0，y0)是线段MN的中点，点P是抛物线C在点M，N处切线的交点，若|y1－y2|＝4p，证明△PMN的面积为定值．
[解]　(1)设点A(xA，yA)，
∵点A到抛物线焦点的距离为，
∴xA＝－，y＝2pxA＝2p，
又点A在曲线x＋y2－＝0上，
∴－＋2p－＝0，
即p2－p＋1＝0，解得p＝2或p＝(舍去)，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：由(1)知M，N，|y1－y2|＝8，设抛物线C在点M处的切线的斜率为k(k≠0)，则该切线的方程为y－y1＝k，
联立方程得消去x，整理得
ky2－4y＋4y1－ky＝0，
∵M是切点，∴Δ＝16－4k(4y1－ky)＝0，
即4－4ky1＋k2y＝0，解得k＝，
∴直线PM的方程为y－y1＝，
即y＝x＋，
同理得直线PN的方程为y＝x＋，
联立方程得解得
∴P，
∵Q是线段MN的中点，∴y0＝，
∴PQ∥x轴，且x0＝＝，
∴△PMN的面积S＝|PQ|·|y1－y2|＝·|y1－y2|＝·|y1－y2|＝|y1－y2|3＝32，
即△PMN的面积为定值．
[备课札记]　

　

　
[方法技巧]
求解定值问题的两大途径
(1)首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明定值：即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关．
(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．
[演练冲关]
2．(2019届高三·湖南五市十校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过左焦点F且垂直于长轴的弦长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点P(m,0)为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，证明：|PA|2＋|PB|2为定值．
解：(1)由可得
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)证明：设直线l的方程为x＝y＋m，
代入＋＝1，消去x，并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－m，y1y2＝，
又易得|PA|2＝(x1－m)2＋y＝y，
同理可得|PB|2＝y.
则|PA|2＋|PB|2＝(y＋y)＝[(y1＋y2)2－2y1y2]＝＝41.
所以|PA|2＋|PB|2是定值．

题型(三)
存 在 性 问 题

主要以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，考查学生分析问题和解决问题的能力.

[典例感悟]
[典例3]　(2019届高三·浙江七校联考)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，直线l过椭圆右焦点F，且交椭圆于A，B两点，当直线l的倾斜角为时，|AB|＝.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)在直线x＝2上是否存在点D，使得△DAB为正三角形？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)由题意得解得
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)存在，理由如下：
设直线AB的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M.
联立消去x，整理，
得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝，x1＋x2＝，
故M，|AB|＝·|y1－y2|＝.
假设存在点D(2，t)使得△DAB为正三角形，
则D到直线AB的距离d＝，
由于△DAB为正三角形，则有
即
解得m＝±，则t＝±.
∴存在点D满足题意．
[备课札记]　




[方法技巧]
求解存在性问题的思路及策略
(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．
(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
[演练冲关]
3．(2018·惠州调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，点A在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
解：(1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1，
因为A在椭圆C上，
所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝2，
因此a＝，b2＝a2－c2＝1，
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)不存在满足条件的直线，证明如下：
设直线的方程为y＝2x＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
P，Q(x4，y4)，
由消去x，
得9y2－2ty＋t2－8＝0，
所以y1＋y2＝，
且由Δ＝4t2－36(t2－8)>0，得－30)的离心率为，右焦点为F，右顶点为E，P为直线x＝a上的任意一点，且(＋)·＝2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F且垂直于x轴的直线AB与椭圆交于A，B两点(点A在第一象限)，动直线l与椭圆C交于M，N两点，且M，N位于直线AB的两侧，若始终保持∠MAB＝∠NAB，求证：直线MN的斜率为定值．
解：(1)设P，F(c,0)，E(a,0)，则＝，＝，＝(c－a,0)，
所以(＋)·＝·＝2，即·(c－a)＝2，又e＝＝，
所以a＝2，c＝1，b＝，
从而椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由(1)知A，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
设MN的方程为y＝kx＋m，代入椭圆方程＋＝1，
得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
又M，N是椭圆上位于直线AB两侧的动点，若始终保持∠MAB＝∠NAB，
则kAM＋kAN＝0，即＋＝0，
(x2－1)＋(x1－1)＝0，
即(2k－1)(2m＋2k－3)＝0，得k＝.
故直线MN的斜率为定值.
4．(2018·镇海中学5月模拟)已知抛物线C1，C2的方程分别为x2＝2y，y2＝2x.
(1)求抛物线C1和抛物线C2的公切线l的方程；
(2)过点G(a，b)(a，b为常数)作一条斜率为k的直线与抛物线C2：y2＝2x交于P，Q两点，当弦PQ的中点恰好为点G时，试求k与b之间的关系．
解：(1)由题意可知，直线l的斜率显然存在，且不等于0，
设直线l的方程为y＝tx＋m.
联立消去y并整理得x2－2tx－2m＝0，
因为直线l与抛物线C1相切，
所以Δ1＝(－2t)2－4×(－2m)＝0，整理得t2＋2m＝0.①
同理，联立得2tm＝1.②
由①②，解得
所以直线l的方程为y＝－x－.
(2)由题意知直线PQ的方程为y－b＝k(x－a)，
即y＝k(x－a)＋b.联立
消去y得k2x2＋(－2k2a＋2kb－2)x＋k2a2＋b2－2kab＝0，
当k＝0时，直线PQ与抛物线C2：y2＝2x只有一个交点，故k≠0，
设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
所以由根与系数的关系得x1＋x2＝，
所以＝.
又y1＋y2＝k(x1－a)＋b＋k(x2－a)＋b
＝k(x1＋x2)－2ka＋2b＝－2ka＋2b
＝＝，
所以＝.
要满足弦PQ的中点恰好为点G(a，b)，根据中点坐标公式可知即所以kb＝1.
故k与b之间的关系是互为倒数．
5．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个焦点恰好与抛物线y2＝4x的焦点重合．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆的上顶点为A，过点A作椭圆C的两条动弦AB，AC，若直线AB，AC斜率之积为，直线BC是否恒过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．
解：(1)由题意知椭圆的一个焦点为F(1,0)，则c＝1.
由e＝＝得a＝，所以b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知A(0,1)，当直线BC的斜率不存在时，
设BC：x＝x0，设B(x0，y0)，则C(x0，－y0)，
kAB·kAC＝·＝＝＝≠，
不合题意．故直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y＝kx＋m(m≠1)，并代入椭圆方程，得：
(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0，①
由Δ＝(4km)2－8(1＋2k2)(m2－1)>0，
得2k2－m2＋1>0.②
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，
由根与系数的关系得，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
由kAB·kAC＝·＝得：
4y1y2－4(y1＋y2)＋4＝x1x2，
即(4k2－1)x1x2＋4k(m－1)(x1＋x2)＋4(m－1)2＝0，
整理得(m－1)(m－3)＝0，
又因为m≠1，所以m＝3，
此时直线BC的方程为y＝kx＋3.
所以直线BC恒过一定点(0,3)．
第五讲 专题提能——“解析几何”专题提能课
　
失误1
求圆锥曲线方程时忽视焦点的位置致误
[例1]　已知圆O：x2＋y2＝9，A(0,2)，P为动点，以线段AP为直径的圆内切于圆O，则动点P的轨迹方程是________．
[解析]　设线段AP的中点为M，N为切点，连接OM，MN，则|OM|＋|MN|＝|ON|＝3.
取A关于x轴的对称点A1，连接A1P，则|A1P|＋|AP|＝2(|OM|＋|MN|)＝6，
又|AA1|＝4b>0)的离心率为，椭圆C和抛物线y2＝x交于M，N两点，且直线MN恰好过椭圆C的右焦点F.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过点F的直线l和椭圆C交于A，B两点，交抛物线于C，D两点，P是抛物线的焦点，是否存在直线l，使得S△OCD＝S△PAB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)由＝和a2＝b2＋c2，可设a＝2λ，则c＝λ，b＝λ，其中λ>0.
由题意不妨设M(c，)，代入椭圆方程，得＋＝1，即＋＝1，解得λ＝，从而a＝2，b＝2，c＝2.
故所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在满足条件的直线l，结合已知条件易知直线l的斜率存在且不为零，可设直线l为y＝k(x－2)，k≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
由条件知P，F(2,0)，＝＝＝＝，故＝.
由得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－8＝0，Δ1＝32k2＋32>0，x1＋x2＝，x1x2＝，
则|AB|＝|x1－x2|＝.
由得k2x2－(4k2＋1)x＋4k2＝0，
Δ2＝8k2＋1>0，x3＋x4＝，x3x4＝4，
则|CD|＝|x3－x4|＝.
由＝，得＝，
即＝，
即81k4(1＋k2)＝2(1＋2k2)2(1＋8k2)，
整理得17k6＋9k4－24k2－2＝0，
即(k2－1)(17k4＋26k2＋2)＝0，解得k＝±1.
故存在直线l：y＝x－2或y＝－x＋2满足题意．
[微评]　求解本题第(2)问的常规思路是用关于k的代数式表示出△OCD，△PAB的面积，代入S△OCD＝S△PAB，判断所得方程是否有解．注意到此解法计算量较大，极易出错，甚至难以进行下去，故可先将面积比转化为弦长比，再进行计算，虽然转化过程较复杂，但计算量相对较小．在解答类似的综合问题时，一定要注意对已知条件进行转化，通过合理转化降低计算量，简化解题步骤.
失误3
因忽视直线的斜率是否存在而失分
[例3]　已知椭圆M：＋＝1(a>0)的一个焦点为F(－1,0)，左、右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
(1)求椭圆M的方程；
(2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值．
[解]　(1)因为F(－1,0)为椭圆M的焦点，所以c＝1，
又b＝，所以a＝2，
所以椭圆M的方程为＋＝1.
(2)法一：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，此时△ABD与△ABC的面积相等，即|S1－S2|＝0.
当直线l的斜率存在时，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，与椭圆M的方程联立，消去y，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，Δ>0恒成立，且x1＋x2＝－，
此时|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y1＋y2|＝2|k(x1＋1)＋k(x2＋1)|＝2|k(x1＋x2)＋2k|＝＝≤＝，
所以|S1－S2|的最大值为.
法二：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为x＝my－1，与椭圆M的方程联立，消去x，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，Δ>0恒成立，且y1＋y2＝，
故|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y1＋y2|＝＝≤＝，当且仅当m＝±时取等号，所以|S1－S2|的最大值为.
[微评]　(1)当直线l的斜率不存在时，可知直线方程为x＝－1；当直线l的斜率存在(显然k≠0)时，可设直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)．求解时一定要分直线l的斜率不存在与直线l的斜率存在两种情况作答，缺少任何一种情况，步骤都是不完整的．
(2)本题可将直线方程巧设为x＝my－1，用含m的式子表示出|S1－S2|，并求其最大值．显然，此法无需考虑直线的斜率是否存在，是解决此类问题的最佳选择．
　


策略1
点差法：解决中点弦问题
在圆锥曲线中，有关弦的中点条件，可利用点差法求解，即对于圆锥曲线ax2＋by2＝1来说，当两点M(x1，y1)，N(x2，y2)在曲线上时，一定满足从而两式相减得＝－＝－，其中(x0，y0)是MN的中点．
[例1]　已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为(　　)
A.＋＝1　　　　　 　B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[解析]　由题意知直线AB的斜率k＝＝，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①－②整理得＝－·，
即k＝－×＝，∴＝.
又a2－b2＝c2＝9，∴a2＝18，b2＝9.
∴椭圆E的方程为＋＝1.
[答案]　D
[微评]　本题利用“点差法”及“设而不求”思想求得a与b的关系，然后根据a2－b2＝c2，求得椭圆方程.
策略2
联立方程法：解决对称问题
圆锥曲线上存在两点，关于某条直线对称，求参数的取值范围，这类问题常见的解法是：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是圆锥曲线上关于直线y＝kx＋b对称的两点，则PQ的方程为y＝－x＋m，代入圆锥曲线方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，其中P，Q的横(或纵)坐标即为方程的根，故Δ>0，从而求得k(或b)的取值范围．
[例2]　已知抛物线C：y2＝x与直线l：y＝kx＋，要使C上存在关于直线l对称的两点，求实数k的取值范围．
[解]　设C上的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点关于直线l对称，线段AB的中点为M(x0，y0)，
则两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2.
∵y1＋y2＝2y0，AB⊥l，
∴kAB＝＝＝－，∴y0＝－.
代入y＝kx＋，得x0＝＝－－.
∵点M在抛物线内部，∴y0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求·＋·的取值范围．
解：(1)设T(x，y)，由题意知A(－4,0)，B(4，0)，
设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2，则k1＝，k2＝.
由k1k2＝－，得·＝－，
整理得＋＝1.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线PQ与椭圆方程联立，
得消去y，得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.
从而，·＋·＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＝－20＋.
所以－201，上式S＝24·＝24，
令2t＋1＝z(z>3)，
则S＝8＝8＝8.
∵z＋>(z>3)，∴3－10>0，∴S>8.
综上可得，S≥8，即四边形PMQN的面积的最小值为8.
22．(本小题满分15分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)的公共焦点为F2，抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|－1，且椭圆与抛物线的交点Q满足|QF2|＝.
(1)求抛物线的方程和椭圆的方程；
(2)过抛物线上的点P作抛物线的切线y＝kx＋m，交椭圆于A，B两点，求此切线在x轴上的截距的取值范围．
解：(1)∵抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|－1，
∴点M到直线x＝－1的距离等于点M到焦点F2的距离，
∴直线x＝－1是抛物线y2＝2px的准线，即－＝－1，解得p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x.
可知椭圆的右焦点F2(1,0)，
设椭圆的左焦点为F1，则F1(－1,0)，
由抛物线的定义及|QF2|＝，得xQ＋1＝，
∴xQ＝，
又∵y＝4xQ，∴Q，
由椭圆的定义得2a＝|QF1|＋|QF2|＝＋＝6，
∴a＝3，又∵c＝1，∴b2＝a2－c2＝8，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)显然k≠0，m≠0，
由消去x，得ky2－4y＋4m＝0，
由题意知Δ1＝16－16km＝0，得km＝1，
∵k≠0，m≠0，∴k＝.
由消去y，得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0，
由题意知Δ2＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)>0，
即9k2－m2＋8>0，
又∵k＝，∴m4－8m2－9