2020届二轮复习考前冲刺必备三解题陷阱妙破学案（江苏专用）


必备三　解题陷阱妙破　



　　“陷阱”,顾名思义,是指人们在认识事物的过程中因认识的片面性而不知不觉地陷入其中的一种情况.数学中的陷阱题,往往针对某些概念、定理的掌握及运算中的薄弱环节,在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生思维的惯性或弱点来设置障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷设置问题.这些问题像现实生活中的陷阱那样,难以识别,可以有效地暴露与检测出考生数学知识掌握的缺陷.
陷阱一　混淆概念——理解概念抓本质
　　例1　若z=sin θ-35+cosθ-45i是纯虚数,则tanθ-π4的值为　　　　. 
易错分析　本题易混淆复数的相关概念,忽视虚部不为零的限制条件,导致所求tanθ-π4的值为多个,从而错解.
答案　-7
正确解析　由纯虚数的概念,可知sinθ-35=0,①cosθ-45≠0,②
由①,得sin θ=35,故cos θ=±1-sin2θ=±1-352=±45,而由②,可得cos θ≠45,故cos θ=-45,所以tan θ=sinθcosθ=-34,则tanθ-π4=tanθ-tanπ41+tanθtan π4=-34-11+-34×1=-7.
▲跳出陷阱　在解答概念类试题时,一定要仔细辨析所求的问题,在明确概念的前提下再解答.本题要搞清楚虚数、纯虚数、实数与复数的概念.
跟踪集训
1.已知向量a=(2,1),b=(λ,1),λ∈R,设a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是　　　　　　　　. 
陷阱二　错用结论——公式定理要记准
　　例2　将函数g(x)=4sin xcos x的图象向左平移π6个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数f(x)的图象,则f π4=　　　　. 
易错分析　该题易出现的问题有两个:一是不能确定函数解析式的变换与图象平移方向之间的关系;二是记错函数图象上点的横坐标的伸缩变化与函数解析式变换之间的对应关系.
答案　6+22
正确解析　将函数g(x)=4sin xcos x=2sin 2x的图象向左平移π6个单位长度后得到函数y=2sin 2x+π6=2sin2x+π3的图象,将该函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后所得图象对应的函数解析式为
f(x)=2sin12×2x+π3=2sinx+π3.
所以fπ4=2sinπ4+π3=
2sinπ4cosπ3+cosπ4sinπ3=
2×22×12+22×32=6+22.
▲跳出陷阱　解决三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握变换前后两个函数解析式之间的关系,熟记相关的规律.
跟踪集训
2.(2018宿迁剑桥国际学校高三月考)已知函数f(x)=sin2x+π6-cos2x+π3+2cos2x.
(1)求fπ12的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)函数f(x)的图象可由y=sin x的图象如何变换得来?请详细说明.












陷阱三　忽视验证——特例情况要谨记
　　例3　已知椭圆y29+x28=1的半焦距为c,曲线Γ上的任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比该点到y轴的距离大c.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)直线l过点F,交曲线Γ于A,B两点,过A,B分别作曲线Γ的切线交于点P,判断 PF·AB是不是定值.若是,请给予证明并求出该定值;若不是,请说明理由.
易错分析　直线l过点F交曲线Γ于A,B两点,由于思维定势,经常只考虑直线l的方程为y=k(x-1),k≠0的情况,从而漏掉了过点F的直线l与x轴垂直这一特殊情况,导致错解.
正确解析　(1)因为椭圆y29+x28=1的半焦距为c,
所以c=9-8=1,
因为曲线Γ上的任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比该点到y轴的距离大1,
所以曲线Γ上的任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离等于该点到直线x=-1的距离.
根据抛物线的定义,知曲线Γ为抛物线.
设曲线Γ的方程为y2=2px(p>0),
所以p2=1,解得p=2,所以曲线Γ的方程为y2=4x.
(2)PF·AB为定值.证明如下:
①当过点F的直线l与x轴垂直时,直线l的方程为x=1,
根据抛物线的对称性知,点P在x轴上,
所以PF⊥AB,所以PF·AB=0.
②当过点F的直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=k(x-1),k≠0,
由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
所以Δ=[-(2k2+4)]2-4k2·k2=16k2+16>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),P(xP,yP),y1>0,y20),得y=2x,y'=1x,所以过点A的切线PA的方程为y-y1=1x1(x-x1),即y=xx1+x1;
由y2=4x(y0,此时f '(x)1>0,
所以当x∈(0,1)时,g(x)>0,此时f '(x)a,导致错解.
正确解析　f '(x)=x-2ax+a-2=(x-2)(x+a)x(x>0).
(1)当a=1时, f(1)=-12,
f '(x)=(x-2)(x+1)x, f '(1)=-2,
所以所求的切线方程为y--12=-2(x-1),
即4x+2y-3=0.
(2)①当-a=2,即a=-2时,
f '(x)=(x-2)2x≥0, f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当00,故g(t)在(1,+∞)上为增函数.
所以t∈12,2时,g(t)∈2,52.
所以-2m∈2,52,故m∈-54,-1.
(3)对于f(x)=4x-2x+1m+m2-3, f(x)+f(-x)=0可化为
4x+4-x-2m(2x+2-x)+2m2-6=0.
令t=2x+2-x,t∈[2,+∞),则4x+4-x=t2-2,
从而t2-2mt+2m2-8=0在[2,+∞)上有解即可保证f(x)为“局部奇函数”.
令F(t)=t2-2mt+2m2-8,
①当F(2)≤0时,t2-2mt+2m2-8=0在[2,+∞)上有解,
由F(2)≤0,即2m2-4m-4≤0,
解得1-3≤m≤1+3;
②当F(2)>0时,t2-2mt+2m2-8=0在[2,+∞)上有解,等价于
Δ=4m2-4(2m2-8)≥0,m>2,F(2)>0,解得1+3-12,λ≠2,
所以λ的取值范围是λλ>-12且λ≠2.
陷阱二　错用结论——
公式定理要记准
跟踪集训
2.解析　(1)f(x)=sin2x+π6-cos2x+π3+2cos2x
=32sin 2x+12cos 2x-12cos 2x+32sin 2x+cos 2x+1
=3sin 2x+cos 2x+1=2sin2x+π6+1,
∴fπ12=2sin2×π12+π6+1=3+1.
(2)令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),解得kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z);令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2(k∈Z),解得kπ+π6≤x≤kπ+2π3(k∈Z).
∴f(x)的单调递增区间为kπ-π3,kπ+π6
(k∈Z),
f(x)的单调递减区间为kπ+π6,kπ+2π3
(k∈Z).
(3)变换步骤:(答案不唯一)
y=sin x
y=sin 2x
y=sin2x+π6
y=2sin2x+π6
y=2sin2x+π6+1.
陷阱三　忽视验证——
特例情况要谨记
跟踪集训
3.解析　(1)由题意知有三个点在椭圆C上,根据椭圆的对称性,则点(3,1),(3,-1)一定在椭圆C上,即9a2+1b2=1(a>b>0)①,
若点(-22,0)在椭圆C上,则点(-22,0)必为椭圆C的左顶点,而3>22,则点(-22,0)一定不在椭圆C上,故点(3,3)在椭圆C上,点(-22,0)在直线l上,
所以3a2+3b2=1②,
联立①②可解得a2=12,b2=4,
所以椭圆C的方程为x212+y24=1.
(2)证明:由(1)可得直线l的方程为x=-22,
设P(-22,y0),y0∈-233,233,
当y0≠0时,设M(x1,y1),N(x2,y2),显然x1≠x2,
联立x1212+y124=1,x2212+y224=1,则x12-x2212+y12-y224=0,即y1-y2x1-x2=-13·x1+x2y1+y2,
又PM=PN,即点P为线段MN的中点,
故直线MN的斜率为-13·-22y0=223y0,
又直线l'⊥MN,所以直线l'的方程为y-y0=-3y022(x+22),
即y=-3y022x+423,
显然直线l'过定点-423,0;
当y0=0时,直线MN为x=-22,此时直线l'为x轴,亦过点-423,0.
综上所述,直线l'过定点,且该定点的坐标为-423,0.
陷阱四　讨论漏解——
参数标准要恰当
跟踪集训
4.解析　(1)f(x)的定义域为(0,e-1)∪(e-1,+∞).
f '(x)=2ax(1+lnx)-ax2·1x(1+lnx)2
=2ax12+lnx(1+lnx)2,
令f '(x)>0,因为a>0,所以x>e-12,
因为e-12>e-1,
所以f(x)的单调增区间是(e-12,+∞).
(2)当a0,g(x)单调递增.
∴g(x)min=g(-ln 2)=ln 2-10,g(-1)=2e-1