2020届二轮复习空间点、线、面的位置关系学案（全国通用）

第2讲　空间点、线、面的位置关系

[做真题]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
解析：选B．对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确．综上可知选B．
2．(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)

A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
解析：选B．取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝，CP＝，所以BM2＝MP2＋BP2＝()2＋()2＋22＝7，得BM＝，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，选B．
3．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选C．如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角．因为在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，AD1＝＝2，DM＝＝，DB1＝＝，所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C．
[明考情]
1．高考对此部分的命题较为稳定，一般为“一小一大”或“一大”，即一道选择或填空题和一道解答题或仅一道解答题．
2．选择题一般在第10～11题的位置，填空题一般在第14题的位置，多考查线面位置关系的判断，难度较小．
3．解答题多出现在第18或19题的第一问的位置，考查空间中平行或垂直关系的证明，难度中等．


空间线面位置关系的判定
[考法全练]
1．(2019·江西七校第一次联考)设m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(　　)
A．若m∥n，n⊂α，则m∥α
B．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n
C．若α∥β，m⊥α，则m⊥β
D．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β
解析：选C．若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，所以选项A不正确；若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n或m与n异面，所以选项B不正确；由面面平行的性质、线面垂直的性质及判定知选项C是正确的；若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β或α与β相交，所以选项D不正确．故选C．
2．(2019·武汉市调研测试)已知两个平面相互垂直，下列命题中，
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；
③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确命题个数是(　　)
A．3　　　　　　　　　 B．2
C．1 D．0
解析：选C．构造正方体ABCD­A1B1C1D1，如图，①，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，BD⊂平面ABCD，但A1D与BD不垂直，故①错；

②，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，l是平面ADD1A1内的任意一条直线，l与平面ABCD内同AB平行的所有直线垂直，故②正确；
③，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故③错；
④，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，过交线AD上的点作交线的垂线l，则l可能与另一平面垂直，也可能与另一平面不垂直，故④错．故选C．
3. (2019·福建省质量检查)如图，AB是圆锥SO的底面圆O的直径，D是圆O上异于A，B的任意一点，以AO为直径的圆与AD的另一个交点为C，P为SD的中点．现给出以下结论：

①△SAC为直角三角形；
②平面SAD⊥平面SBD；
③平面PAB必与圆锥SO的某条母线平行．
其中正确结论的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C．如图，连接OC，因为AO为圆的直径，所以AC⊥OC，因为SO垂直于底面圆O，AC⊂底面圆O，所以AC⊥SO，因为SO∩OC＝O，所以AC⊥平面SOC.又SC⊂平面SOC，所以AC⊥SC，所以△SAC为直角三角形，故①正确．由于点D是圆O上的动点，所以平面SAD不能总垂直于平面SBD，故②错误，连接DO并延长交圆O于E，连接SE，PO，因为P为SD的中点，O为DE的中点，所以OP∥SE.又OP⊂平面PAB，SE⊄平面PAB，所以SE∥平面PAB，故③正确，故选C．
4．(2019·福建五校第二次联考)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为1，点M在线段BC上(点M异于B，C两点)，点N为线段CC1的中点．若平面AMN截正方体ABCD­A1B1C1D1所得的截面为四边形，则线段BM的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．易知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1.若M为BC的中点，则MN∥AD1，所以此时截面为四边形AMND1，所以BM＝符合题意．若0