2020届二轮复习利用空间向量求夹角学案（全国通用）
展开培优点十六 利用空间向量求夹角
1．利用面面垂直建系
例1：在如图所示的多面体中，平面平面，四边形为边长为2的菱形，
为直角梯形，四边形为平行四边形，且，，．
（1）若，分别为，的中点，求证：平面；
（2）若，与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）连接，∵四边形为菱形，∴．
∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面．又平面，∴．
∵，∴．∵，∴平面．
∵分别为，的中点，∴，∴平面．
（2）设，由（1）得平面，
由，，得，．
过点作，与的延长线交于点，取的中点，连接，，
如图所示，
又，∴为等边三角形，∴，
又平面平面，平面平面，平面，
故平面．
∵为平行四边形，∴，∴平面．
又∵，∴平面．
∵，∴平面平面．
由（1），得平面，∴平面，∴．
∵，∴平面，∴是与平面所成角．
∵，，∴平面，平面，∵，
∴平面平面．
∴，，解得．
在梯形中，易证，
分别以，，的正方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．
则，，，，，，
由，及，得，
∴，，．
设平面的一个法向量为，由得，
令，得
设平面的一个法向量为，由得，
令，得．∴，
又∵二面角是钝角，∴二面角的余弦值是．
2．线段上的动点问题
例2：如图，在中，，，，沿将翻折到的位置，
使平面平面．
（1）求证：平面；
（2）若在线段上有一点满足，且二面角的大小为，
求的值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）中，由余弦定理，可得．∴，
∴，∴．作于点，
∵平面平面，平面平面，∴平面．
∵平面，∴．
又∵，，∴平面．
又∵平面，∴．
又，，∴平面．
（2）由（1）知，，两两垂直，以为原点，以方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则，，．设，
则由，
设平面的一个法向量为，
则由，
取．平面的一个法向量可取，
∴．
∵，∴．
3．翻折类问题
例3：如图1，在边长为2的正方形中，为中点，分别将，沿，所在直线折叠，使点与点重合于点，如图2．在三棱锥中，为中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的大小．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【解析】（1）在正方形中，为中点，，，
∴在三棱锥中，，．
∵，∴平面．
∵平面，∴．
（2）取中点，连接，取中点，连接．
过点作的平行线．
∵平面，∴，．
∵，为的中点，∴．∴．
如图所示，建立空间直角坐标系．
，，，．
∵，为的中点，∴．
∵平面，平面，∴平面平面．
∵平面平面，平面，
∴平面．∵．
∴平面的法向量．．
设直线与平面所成角为，则．
∴直线与平面所成角的正弦值为．
（3）由（2）知，，．
设平面的法向量为，则有即，
令，则，．即．∴．
由题知二面角为锐角，∴它的大小为．
一、单选题
1．如图，在所有棱长均为的直三棱柱中，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设的中点，以，，为，，轴建立坐标系，
则，，，，
则，，
设与成的角为，则，故选C．
2．在三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，侧棱底面，点在棱上，
且，若与平面所成的角为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，建立空间直角坐标系，易求点．
平面的一个法向量是，∴，则．故选D．
3．如图，圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，，则空间中两条直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，
∵圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，，
∴可得，，，，
则，，
设空间两条直线与所成的角为，∴，
∴，即直线与所成的角为，故选B．
4．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，平面平面，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，，，，
则，，
∵是的中点，∴，
设平面的法向量，直线与平面所成角为，
则可取，，故选D．
5．如图，在直三棱柱中，，，点与分别是和的中点，点与分别是和上的动点．若，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
由于，∴，∴，
故，
∴当时，线段长度取得最小值，且最小值为．故选A．
6．如图，点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，平面的一个法向量为：，
由空间向量的结论可得：．故选C．
7．如图所示，五面体中，正的边长为1，平面，，且．
设与平面所成的角为，，若，则当取最大值时，平面与平面所成角的正切值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
取的中点，则，则平面的一个法向量为，
由题意，
又由，∴，解得，∴的最大值为，
当时，设平面的法向量为，
则，
取，由平面的法向量为，
设平面和平面所成的角为，
则，∴，∴，故选C．
8．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，
则与底面所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设在平面内的射影为，以为坐标原点，、分别为轴、轴建立空间直角坐标系如图．
设边长为1，则，，
∴．又平面的法向量为．
设与底面所成角为，则．
故直线与底面所成角的正弦值为．故选B．
9．如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，点在棱上，且，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以为坐标原点，以、、所在直线为、、轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，，∴，
设平面的一个法向量为，则，
取，得，平面的法向量为，
∴．∴平面与平面的夹角的余弦值为．故选B．
10．在正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系：
设正方体的棱长为1，可得，，，，
∴，，，
设是平面的一个法向量，∴，即，
取，得，∴平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，∴；
∴，即直线与平面所成角的余弦值是．故选C．
11．已知四边形，，，现将沿折起，使二面角
的大小在内，则直线与所成角的余弦值取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取中点，连结，，
∵．，∴，，且，，
∴是二面角的平面角，
以为原点，为轴，为轴，
过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
，，，
设二面角的平面角为，则，
连、，则，，
∴，，
设、的夹角为，则，
∵，∴，
故，∴．故选A．
12．正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以点为原点，、、所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点坐标为，
则，，
设、的夹角为，
则，
∴当时，取最大值，．
当时，取最小值，．
∵，∴与所成角的取值范围是．故选D．
二、填空题
13．如图，在直三棱柱中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________．
【答案】
【解析】在直三棱柱中，，，是的中点，∴，．
以为原点，为轴，为轴，过作的垂线为轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，
设异面直线与所成角为，则．
∴异面直线与所成角的余弦值为．
14．已知四棱锥的底面是菱形，，平面，且，点是棱的中点，在棱上，若，则直线与平面所成角的正弦值为__________．
【答案】
【解析】以点建立如图所示的空间直角坐标系，设菱形的边长为2，
则， ，，∴，
平面的一个法向量为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
15．设，是直线，，是平面，，，向量在上，向量在上，，，则，所成二面角中较小的一个的余弦值为________．
【答案】
【解析】由题意，∵，，
∴，
∵，，向量在上，向量在上，
∴，所成二面角中较小的一个余弦值为，故答案为．
16．在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，，，，则当变化时，直线与平面所成角的取值范围是__________．
【答案】
【解析】如图建立空间直角坐标系，得，，，，
设平面的法向量，，，
∴，得，
又，∴，
∴，
∴，则
三、解答题
17．如图所示：四棱锥，底面为四边形，，，，平面平面，，，，
（1）求证：平面；
（2）若四边形中，，是否在上存在一点，使得直线与平面
所成的角的正弦值为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）存在，．
【解析】（1）设，连接
，为中点
又，
平面平面，平面平面
平面，而平面
在中，由余弦定理得，
，而
平面．
（2）过作垂线记为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系：
，，，，
，，设
，
设平面法向量为，
∴，取，
设与平面所成角为，
，
解，．
18．如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）取的中点，连接，，
∵底面是边长为2的正三角形，∴，且，
∵，，，∴，
∴，又∵，∴，
∴，又∵，∴平面，又∵平面，
∴平面平面．
（2）如图所示，
以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，其中，
则，，，，
∴，，，
设为平面的法向量，
则，即，令，得；
设为平面的法向量，则，即，
令，得；∴，
∴二面角的正弦值为．
