2020届二轮复习等比数列及其前n项和学案（全国通用）


2020届二轮复习 等比数列及其前n项和 学案（全国通用）
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　×　)
(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　×　)
(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　×　)
(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　×　)
(5)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　×　)
(6)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　×　)
题组二　教材改编
2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝______.
答案　
解析　由题意知q3＝＝，∴q＝.
3．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．
答案　27,81
解析　设该数列的公比为q，由题意知，
243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.
∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.
题组三　易错自纠
4．若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为________．
答案　－
解析　∵1，a1，a2,4成等差数列，
∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.
又∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，
则b＝1×4＝4，且b2＝1×q2>0，∴b2＝2，
∴＝＝－.
5．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________.
答案　－11
解析　设等比数列{an}的公比为q，
∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.
∴q3＋8＝0，∴q＝－2，
∴＝·
＝＝＝－11.
6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB)．
答案　48
解析　由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n，
则2n＝64×210＝216，∴n＝16.
即病毒共复制了16次．
∴所需时间为16×3＝48(分钟).

题型一　等比数列基本量的运算
1．(2018·开封质检)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于(　　)
A．2 B．1 C. D.
答案　C
解析　由{an}为等比数列，得a3a5＝a，
又a3a5＝4(a4－1)，所以a＝4(a4－1)，
解得a4＝2.设等比数列{an}的公比为q，
则由a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，
所以a2＝a1q＝.故选C.
2．(2018届河北衡水中学二调)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且<1，若a3＋a5＝20，a3a5＝64，则S4等于(　　)
A．63或120 B．256
C．120 D．63
答案　C
解析　由题意得
解得或
又<1，所以数列{an}为递减数列，故
设等比数列{an}的公比为q，则q2＝＝，
因为数列为正项数列，故q＝，从而a1＝64，
所以S4＝＝120.故选C.
思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
题型二　等比数列的判定与证明
典例 (2018·潍坊质检)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明　由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，
得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.
∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
又
由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．
∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，
故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．
(2)解　由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，
∴－＝，
故是首项为，公差为的等差数列．
∴＝＋(n－1)·＝，
故an＝(3n－1)·2n－2.
引申探究
若将本例中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不变，求数列{an}的通项公式．
解　由已知得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n.
∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，
∴an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，n≥2，(*)
又a1＝1，S2＝a1＋a2＝2a1＋2，即a2＋1＝2(a1＋1)，
∴当n＝1时(*)式也成立，
故{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.
思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．
(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．
跟踪训练 (2016·全国Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5＝，求λ.
(1)证明　由题意得a1＝S1＝1＋λa1，
故λ≠1，a1＝，a1≠0.
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan，由a1≠0，λ≠0得an≠0，
所以＝.
因此{an}是首项为，公比为的等比数列，
于是an＝n－1.
(2)解　由(1)得Sn＝1－n.
由S5＝得1－5＝，即5＝.
解得λ＝－1.
题型三　等比数列性质的应用
1．已知数列{an}为等比数列，且a2a3a4＝－a＝－64，则tan等于(　　)
A. B．－
C．－ D．±
答案　B
解析　由等比数列的性质可得a2a3a4＝a＝－64，
∴a3＝－4，a7＝a3q4<0，结合a＝64可得a7＝－8，
结合等比数列的性质可得a4a6＝a3a7＝32，
即tan＝tan π
＝tan＝tan π＝－.
故选B.
2．(2017·云南省十一校跨区调研)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于(　　)
A．40 B．60
C．32 D．50
答案　B
解析　由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60，故选B.
思维升华 等比数列常见性质的应用
等比数列性质的应用可以分为三类：
(1)通项公式的变形．
(2)等比中项的变形．
(3)前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．

分类讨论思想在等比数列中的应用
典例 (12分)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N＋)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：Sn＋≤(n∈N＋)．
思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；
(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明．
规范解答
(1)解　设等比数列{an}的公比为q，
因为－2S2，S3，4S4成等差数列，
所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，
可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.[2分]
又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为
an＝×n－1＝(－1)n－1·(n∈N＋)．[3分]
(2)证明　由(1)知，Sn＝1－n，
Sn＋＝1－n＋
＝[6分]
当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，
所以Sn＋≤S1＋＝＋＝.[8分]
当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，
所以Sn＋≤S2＋＝＋＝.[10分]
故对于n∈N＋，有Sn＋≤.[12分]


1．(2017·福建漳州八校联考)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于(　　)
A．－3 B．5 C．－31 D．33
答案　D
解析　设等比数列{an}的公比为q，则由已知得q≠1.
∵S3＝2，S6＝18，∴＝，得q3＝8，∴q＝2.
∴＝＝1＋q5＝33，故选D.
2．(2017·武汉市武昌区调研)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于(　　)
A．－2 B．－1
C. D.
答案　B
解析　由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍去)或q＝，将q＝代入S2＝3a2＋2中得a1＋a1＝3×a1＋2，解得a1＝－1，故选B.
3．(2018届河南洛阳联考)在等比数列{an}中，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，则的值为(　　)
A．－ B．－
C. D．－或
答案　D
解析　由a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，可得a2＋a16＝－6，a2×a16＝2，显然两根同为负值，aq16＝2，即有a＝2，则的值为a9＝±.故选D.
4．(2017·安阳一中模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，n∈N＋，则(　　)
A．{an}是递增的等比数列
B．{an}是递增数列，但不是等比数列
C．{an}是递减的等比数列
D．{an}不是等比数列，也不单调
答案　B
解析　∵Sn＝3n－2，∴Sn－1＝3n－1－2，∴an＝Sn－Sn－1＝3n－2－(3n－1－2)＝2×3n－1(n≥2)，当n＝1时，a1＝S1＝1不适合上式．∴an＝∵a1＝1，a2＝6，当n≥2时，＝＝3.∴数列{an}从第二项起构成首项为6，公比为3的等比数列．综上可得，数列{an}是递增数列，但不是等比数列．
5．(2017·广元模拟)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于(　　)
A．5 B．9 C．log345 D．10
答案　D
解析　由等比数列的性质知a5a6＝a4a7，
又a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，
则原式＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝10.
6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(　　)
A．192里 B．96里 C．48里 D．24里
答案　B
解析　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q＝，
由题意得＝378，
解得a1＝192，则a2＝192×＝96，
即第二天走了96里，故选B.
7．已知{an}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且S2＝3，S4＝15，则a3＝________.
答案　4
解析　S4－S2＝a3＋a4＝12，S2＝a1＋a2＝3，
∴＝q2＝＝4，q＝2或q＝－2(舍去)，
∴a3＋a4＝a3(1＋q)＝3a3＝12，a3＝4.
8．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．
答案　4
解析　因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4，得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，q2＝－1(舍去)，a6＝a2q4＝1×22＝4.
9．已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和为________．
答案　2n－1
解析　设等比数列的公比为q，则有
解得或
又{an}为递增数列，∴
∴数列{an}的前n项和为＝2n－1.
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝1(n∈N＋)，则通项an＝________.
答案　
解析　∵an＋Sn＝1，①
∴an－1＋Sn－1＝1(n≥2)，②
由①－②，得an－an－1＋an＝0，即＝(n≥2)，
又a1＝，
∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列，
则an＝×n－1＝.
11．(2016·全国Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
解　(1)由题意，得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以an＋1≠0，
所以＝.
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，
因此an＝.
12．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N＋.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；
(2)求T2n.
解　(1)∵an·an＋1＝n，
∴an＋1·an＋2＝n＋1，
∴＝，即an＋2＝an.
∵bn＝a2n＋a2n－1，
∴＝＝＝，
∵a1＝1，a1·a2＝，
∴a2＝，∴b1＝a1＋a2＝.
∴{bn}是首项为，公比为的等比数列．
∴bn＝×n－1＝.
(2)由(1)可知，an＋2＝an，
∴a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，以为公比的等比数列，
∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)
＝＋＝3－.

13．(2017·新乡三模)若数列{an＋1－an}是等比数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，则an＝________.
答案　
解析　∵a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴q＝3，
∴an＋1－an＝3n－1，∴an－a1＝a2－a1＋a3－a2＋…＋an－1－an－2＋an－an－1＝1＋3＋…＋3n－2＝，
∵a1＝1，∴an＝.
14．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋an＋1＝(n＝1,2,3，…)，则S2n＋3＝________.
答案　
解析　由题意，得S2n＋3＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2n＋2＋a2n＋3)＝1＋＋＋…＋
＝.

15．设{an}是等比数列，公比q＝，Sn为{an}的前n项和，记Tn＝，n∈N＋，设为数列{Tn}的最大项，则n0＝________.
答案　4
解析　由等比数列的前n项和公式得Sn＝，
则Tn＝
＝
＝，
令()n＝t，则Tn＝
≤，
当且仅当t＝，即t＝4时等号成立，
即()n＝4，n＝4时，Tn取得最大值．
16．(2017·武汉市武昌区调研)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋＝(－1)nan(n∈N＋)，则数列{Sn}的前9项和为________．
答案　－
解析　因为Sn＋＝(－1)nan，
所以Sn－1＋＝(－1)n－1an－1(n≥2)．
两式相减得Sn－Sn－1＋－
＝(－1)nan－(－1)n－1an－1，
即an－＝(－1)nan＋(－1)nan－1(n≥2)，
当n为偶数时，an－＝an＋an－1，
即an－1＝－，
此时n－1为奇数，所以若n为奇数，
则an＝－；
当n为奇数时，an－＝－an－an－1，
即2an－＝－an－1，
所以an－1＝，此时n－1为偶数，
所以若n为偶数，则an＝.
所以数列{an}的通项公式为
an＝
所以数列{Sn}的前9项和为S1＋S2＋S3＋…＋S9＝9a1＋8a2＋7a3＋6a4＋…＋3a7＋2a8＋a9＝(9a1＋8a2)＋(7a3＋6a4)＋…＋(3a7＋2a8)＋a9
＝－－－－－＝－＝－.