2020届二轮复习等差等比数列学案（全国通用）

培优点十  等差、等比数列1．等差数列的性质例1：已知数列，为等差数列，若，，则_______【答案】【解析】∵，为等差数列，∴也为等差数列，∴，∴． 2．等比数列的性质例2：已知数列为等比数列，若，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】与条件联系，可将所求表达式向，靠拢，从而，即所求表达式的值为．故选C． 3．等差、等比综合例3：设是等差数列，为等比数列，其公比，且，若，，则有（    ）A． B． C． D．或【答案】B【解析】抓住，和，的序数和与，的关系，从而以此为入手点．由等差数列性质出发，，，因为，而为等比数列，联想到与有关，所以利用均值不等式可得：；  （故，均值不等式等号不成立）所以．即．故选B．  一、单选题1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（    ）A．6斤 B．7斤 C．8斤 D．9斤【答案】D【解析】原问题等价于等差数列中，已知，，求的值．由等差数列的性质可知：，，则，即中间三尺共重9斤．故选D．2．设为等差数列的前项和，若，，则（    ）A．66 B．68 C．77 D．84【答案】C【解析】根据等差数列的求和公式，，化简得，根据等差数列通项公式得，解方程组得，．故选C．3．已知等比数列的前项和为，且满足，则的值为（    ）A．4 B．2 C． D．【答案】C 【解析】根据题意，当时，，故当时，，∵数列是等比数列，则，故；解得．故选C．4．已知等差数列的前项和为，，则（    ）A．140 B．70 C．154 D．77【答案】D【解析】等差数列的前项和为，，∴．故选D．5．已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则公比的值为（    ）A． B． C．1或 D．或【答案】C【解析】由题意知：，∴，即，∴或．故选C．6．公比不为1的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ）A． B．0 C．5 D．7【答案】A【解析】设的公比为，由，，成等差数列，可得，若，可得，解得，则，故选A．7．等比数列的各项均为正数，且，则（    ）A．12 B．10 C．8 D．【答案】B【解析】由等比数列的性质结合题意可知：，  且，据此结合对数的运算法则可得：．故选B．8．设公差为的等差数列，如果，那么等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由两式的性质可知：，则．故选D．9．已知等差数列的前项和为，且，则数列的第三项为（    ）A．3 B． C． D．6【答案】C【解析】设等差数列的公差为d，∵，∴，∴．故选C．10．等差数列的前项和为，若，则（    ）A．27 B．36 C．45 D．66【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴，故选D．11．设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论错误的是（    ）A．  B．C．  D．与均为的最大值【答案】C【解析】设等比数列，是其前项的积，所以，由此，， 所以，所以B正确，由，各项为正数的等比数列，可知，所以A正确，，可知，由，所以单调递减，在，7时取最小值，所以在，7时取最大值，所以D正确．故选C．12．定义函数如下表，数列满足，，若，则（    ）A．7042 B．7058 C．7063 D．7262【答案】C【解析】由题设知，，，，，，∵，，，∴，，，，，，……，∴是周期为6的周期数列，∵，∴，故选C． 二、填空题13．已知等差数列，若，则________【答案】4【解析】∵，∴，∴，  ∴，∴．故答案为4．14．已知等比数列的前项和为，若公比，且，则的值是___________．【答案】15【解析】已知，则，又代入得；∴．15．设是等差数列的前项和，若，则_______．【答案】2【解析】，又，代入得．16．在等差数列中，，则的值是_______．【答案】20【解析】根据等差数列性质，所以，根据等差数列性质，．三、解答题17．已知数列中，，．（1）求；（2）若，求数列的前5项的和．【答案】（1）；（2）77．【解析】（1），，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，；（2），  ．18．设是等差数列，其前项和为；是等比数列，公比大于0，其前项和为．已知，，，．（1）求和；（2）若，求正整数的值．【答案】（1），；（2）4．【解析】（1）设等比数列的公比为，由，，可得．因为，可得，故．所以．设等差数列的公差为．由，可得．由得，从而，，故，所以．（2）由（1），有．由，可得，整理得，解得（舍），或．所以的值为4．