2020届二轮复习函数学案（全国通用）
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一、基本知识
1、 反函数的概念：设函数y=f(x)的定义域为A，值域为C，由y=f(x)求出，若对于C中的每一个值y，在A中都有唯一的一个值和它对应，那么叫以y为自变量的函数，这个函数叫函数y=f(x)的反函数，记作，通常情况下，一般用x表示自变量，所以记作。
注：在理解反函数的概念时应注意下列问题。
（1）只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数；
（2）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；
2、求反函数的步骤
（1）解关于x的方程y=f(x)，达到以y表示x的目的；
（2）把第一步得到的式子中的x换成y，y换成x；
（3）求出并说明反函数的定义域（即函数y=f(x)的值域）。
3、关于反函数的性质
（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；
（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；
（3）y=f(x)和x=f-1(y)互为反函数，但对同一坐标系下它们的图象相同；
（4）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a)；
（5）f-1[f(x)]=x;
（6）若点P(a,b)在y=f(x)的图象上，又在y=f-1(x)的图象上，则P(b,a)在y=f(x)的图象上；
（7）证明y=f(x)的图象关于直线y=x对称，只需证得y=f(x)反函数和y=f(x)相同；
二、 例题选讲
例1：求下列函数的反函数
参考答案：
参考答案：
(书例2) 参考答案：见书
练习：（变式一）求下列函数的反函数
参考答案：
参考答案：
（书例1）例2．（1）设函数f（x）是函数的反函数，则的单调递增区间为（c）
A B C D
（2）已知函数y=ax+b的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，则a= 3 ,b= 1 。
练习：1.已知，则= -2 。
2.若f-1(x)为函数f(x)=lg(x+1)的反函数，则f-1(x)的值域是。
例4、给定实数a，且，设函数，证明这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形。
练习：若函数的图像关于直线y=x对称，确定a,b的关系。（参考答案：b=2a）
例5（书例3）
三、 小结
1、求反函数；
2、利用反函数的性质解题；
四、作业：优化设计
备例1、已知函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x)，求函数y=f(2x-1)+1的反函数。
练习：已知函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x)，求函数的反函数。
备例2、已知f(x+1)=2x，求。(=)
备例3设，f(x)为奇函数，且
（1）试求f(x)的反函数的解析式f-1(x)及f-1(x)的定义域；
（2）设，若时，f-1(x)恒成立，求实数k的取值范围。
练习：已知函数的反函数f-1(x)，设，若，求a的取值范围。
