2020届二轮复习两条直线的交点与距离公式学案（全国通用）

一、走进教材1．(必修2P101A组T10改编)已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________。解析　由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1。答案　12．(必修2P114A组T10改编)已知直线3x＋y－3＝0与直线6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为(　　)A．4   B．C． D．解析　由两直线平行，可得m＝2，直线3x＋y－3＝0变形为6x＋2y－6＝0，所以两直线间的距离d＝＝。故选D。答案　D二、走近高考3．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离。当θ，m变化时，d的最大值为(　　)A．1　　　　B．2  C．3　　　　D．4解析　由题意可得d＝＝＝＝，因为－1≤sin(θ－φ)≤1，所以≤d≤，＝1＋，所以当m＝0时，d取最大值3。故选C。解法一：因为cos2θ＋sin2θ＝1，所以P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又x－my－2＝0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线，如图，可得点(－1,0)到直线x＝2的距离即为d的最大值。故选C。解法二：P是圆x2＋y2＝1上的动点，圆心(0,0)到直线x－my－2＝0的距离d＝≤2，所以点P到直线x－my－2＝0的距离的最大值为3。答案　C三、走出误区微提醒：①判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况；②求平行线间距离忽视x，y的系数相同。4．若直线l1：x＋y－1＝0与直线l2：x＋a2y＋a＝0平行，则实数a＝________。解析　因为直线l1的斜率k1＝－1，l1∥l2，所以a2＝1，且a≠－1，所以a＝1。答案　15．已知P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________。解析　先把两直线方程化为同系数方程：6x＋8y－24＝0和6x＋8y＋5＝0，|PQ|的最小值即为两平行直线间的距离，故d＝＝。答案　6．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为__________________。解析　过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0。答案　3x＋19y＝0考点一两条直线的平行与垂直问题【例1】　(1)已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3。若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为(　　)A．－10   B．－2C．0   D．8(2)已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________。解析　(1)因为l1∥l2，所以＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(经检验，l1与l2不重合)，因为l2⊥l3，所以2×1＋1×n＝0，解得n＝－2，所以m＋n＝－10。(2)l1的斜率k1＝＝a。当a≠0时，l2的斜率k2＝＝。因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·＝－1，解得a＝1。当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(－2,0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2。综上可知，实数a的值为1或0。答案　(1)A　(2)1或0 1．讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在。2．“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1或B1C2≠B2C1”，“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2＝0”。【变式训练】　(1)“a＝2”是“直线ax＋y－2＝0与直线2x＋(a－1)y＋4＝0平行”的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(2)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos的值为(　　)A． B．－C．2   D．－解析　(1)由直线ax＋y－2＝0与直线2x＋(a－1)y＋4＝0平行，得a(a－1)＝2，且4a＋4≠0，所以a＝2，所以a＝2是直线ax＋y－2＝0与直线2x＋(a－1)y＋4＝0平行的充要条件。(2)直线x＋2y－3＝0的斜率为－，因为倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，所以tanα＝2，则cos＝cos＝cos＝sin2α＝＝＝。故选A。答案　(1)A　(2)A考点二两条直线的交点与距离问题【例2】　(1)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________________。(2)(2019·广州模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________。(3)(2019·厦门模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________。解析　(1)由方程组得即P(0，2)。因为l⊥l3，所以直线l的斜率k＝－，所以直线l的方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0。(2)由题意得，点P到直线的距离为＝。又≤3，即|15－3a|≤15，解之得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0,10]。(3)依题意知，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，又两平行线之间的距离为，所以＝，解得c＝2或－6。答案　(1)4x＋3y－6＝0　(2)[0,10]　(3)2或－6【互动探究】　若将本例(1)中的“垂直”改为“平行”，如何求解？解　由方程组得即P(0,2)。因为l∥l3，所以直线l的斜率k＝，所以直线l的方程为y－2＝x，即3x－4y＋8＝0。解：因为直线l过直线l1和l2的交点，所以可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0。因为l与l3平行，所以3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0，且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)，所以λ＝，所以直线l的方程为3x－4y＋8＝0。 1．求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程。2．利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等。【变式训练】　(1)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________。(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________________。解析　(1)如图，已知直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2)。而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2,1)，斜率为k的动直线。因为两直线的交点在第一象限，所以两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，所以动直线的斜率k需满足kPA<k<kPB。因为kPA＝－，kPB＝。所以－<k<。(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0。由题意知＝，即|3k－1|＝|－3k－3|，所以k＝－，所以直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0。当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意。故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1。解析：当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0。当l过AB的中点时，AB的中点为(－1，4)，所以直线l的方程为x＝－1，故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1。 答案　(1)　(2)x＋3y－5＝0或x＝－1考点三对称问题【例3】　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)。求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程。解　(1)设A′(x，y)，由已知解得所以A′。(2)在直线m上取一点M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上。设M′(a，b)，则解得M′。设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)。又因为m′经过点N(4,3)，所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0。(3)设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，因为P′在直线l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0。 解决两类对称问题的关键解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解。【变式训练】　光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程。解　由得所以反射点M的坐标为(－1,2)。又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5,0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，由PP′⊥l可知，kPP′＝－＝。而PP′的中点Q的坐标为，又Q点在l上，所以3·－2·＋7＝0。由得根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0。解：设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则＝－，又PP′的中点Q在l上，所以3×－2×＋7＝0，由可得P点的横、纵坐标分别为x0＝，y0＝，代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0。所以所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0。1．(配合例1使用)已知b>1，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－(b－1)y－1＝0互相垂直，则a的最小值等于(　　)A．2－1   B．2＋1C．2＋2   D．2－2解析　因为直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－(b－1)y－1＝0互相垂直，所以(b2＋1)－a(b－1)＝0，又因为b>1，所以a＝＋＝b－1＋＋2≥2＋2，当且仅当b＝＋1时，等号成立。故选C。答案　C2．(配合例2使用)已知曲线y＝在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为2，则直线l的方程为(　　)A．2x＋y＋2＝0B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0C．2x－y－18＝0D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0解析　y′＝＝－，当x＝2时，－＝－2，因此kl＝－2。设直线l的方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由题意，得＝2，解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0。故选B。答案　B3. (配合例3使用)如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)A．3 B．6C．2 D．2解析　直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2。答案　C