2020届二轮复习(文)第2部分专题1解密高考①　三角函数问题重在“变”——变角、变式学案

解密高考①　三角函数问题重在“变”——变角、变式————[思维导图]————————[技法指津]————1．常用的变角技巧(1)已知角与特殊角的变换；(2)已知角与目标角的变换；(3)角与其倍角的变换；(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用．如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·，＝－.2．常用的变式技巧主要从函数名、次数、系数方面入手，常见的有：(1)讨论三角函数的性质时，常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论；(2)涉及sin x±cos x、sin x·cos x的问题，常做换元处理，如令t＝sin x±cos x∈[－，]，将原问题转化为关于t的函数来处理；(3)在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等．,母题示例：2019年全国卷Ⅲ，本小题满分12分△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin ＝bsin A.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.本题考查：本题主要考查正弦定理、诱导公式、三角恒等变换、三角形的面积公式，考查学生的数学运算、转化与化归等能力，考查学生的逻辑推理及数学运算等核心素养.[审题指导·发掘条件](1)看到asin＝bsin A，想到正弦定理，要求B，需求B的某一个三角函数值，可考虑将asin＝bsin A转化为与B的三角函数相关的等式求解．(2)看到求△ABC面积的范围，想到利用面积公式去求△ABC的面积，结合第(1)问，选择S＝acsin B，注意到条件c＝1，想到＝，△ABC为锐角三角形可建不等式．[规范解答·评分标准](1)根据题意asin＝bsin A，得sin Asin＝sin Bsin A因为0＜A＜π，故sin A＞0，消去sin A得sin＝sin B,0＜B＜π，0＜＜π，故＝B或者＋B＝π，而根据题意A＋B＋C＝π，＋B＝π不成立，所以＝B，又因为A＋B＋C＝π，代入得3B＝π，所以B＝.·······················6分(2)因为△ABC是锐角三角形，由(1)知B＝，A＋B＋C＝π得到A＋C＝π，故，解得＜C＜.··············8分又应用正弦定理＝，c＝1，由三角形面积公式有：S△ABC＝ac·sin B＝c2·sin B＝c2·sin B＝·＝·＝·＝＋.·············10分又因＜C＜，tan C＞，故＜＋＜，故＜S△ABC＜.故S△ABC的取值范围是.········12分 [构建模板·两种思路]1．利用正、余弦定理求解问题的思路为“角化边”“边化角”2．三角恒等变换的思路为“一角二名三结构”升幂(降幂)公式口诀：“幂降一次，角翻倍；幂升一次，角减半”．母题突破1：2019年昆明模拟在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,2acos A－bcos C＝ccos B.(1)求角A；(2)若a＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．[解]　(1)∵2acos A－bcos C＝ccos B，∴2sin Acos A－sin Bcos C＝sin Ccos B.∴2sin Acos A＝sin A，∵sin A≠0，∴cos A＝.∴A＝(2)S＝bcsin A＝.∴bc＝3.∵a2＝b2＋c2－2bccos A，∴b2＋c2＝6，∴(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝6＋6＝12，∴b＋c＝2∴△ABC的周长为a＋b＋c＝3.母题突破2：2019年泉州模拟已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝tan A＋tan B.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，求△ABC的面积的最大值．[解]　(1)在△ABC中，∵＝tan A＋tan B，∴＝＋，即＝，∴＝，则tan A＝，又0＜A＜π，∴A＝.(2)a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，又a＝2，∴4＝b2＋c2－bc.又b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时等号成立，∴bc≤4.∴△ABC面积的最大值Smax＝max＝×4×sin＝.