2020届二轮复习导数与函数、不等式综合问题学案（全国通用）
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1. 导数的定义：2. 导数的几何意义：（1）函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率；（2）函数在点处的导数，就是物体的运动方程在时刻时的瞬时速度；3. 要熟记求导公式、导数的运算法则、复合函数的导数等。尤其注意：和。4. 求函数单调区间的步骤：（1）确定f（x）的定义域（2）求f（x）的导数（3）令y′>0（y′<0），解出相应的x的范围。当y′>0时，f（x）在相应区间上是增函数；当y′<0时，f（x）在相应区间上是减函数5. 求极值常按如下步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程＝0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法，检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。6. 设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，求f（x）在[a，b]上的最大（小）值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。7. 最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。 能力提升类例1 已知函数其中（Ⅰ）当时，求曲线处的切线的斜率；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。 一点通：（Ⅰ）把a＝0代入f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f '（x），因为曲线的切点为（1，f（1）），所以把x＝1代入f '（x）中求出切线的斜率，把x＝1代入f（x）中求出f（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；（Ⅱ）令f '（x）＝0求出x的值为x＝－2a和x＝a－2，分两种情况讨论：①当－2a＜a－2时和②当－2a＞a－2时，讨论f '（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最值。答案：（I）（II） 以下分两种情况讨论。（1）＞，则＜。当变化时，的变化情况如下表： ＋0－0＋ ↗极大值↘极小值↗ （2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表： ＋0－0＋ ↗极大值↘极小值↗ 点评：本题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 综合运用类例2 已知函数（），其中。（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。一点通：（Ⅰ）将a的值代入后对函数f（x）进行求导，当导函数大于0时求原函数的单调递增区间，当导函数小于0时求原函数的单调递减区间。（Ⅱ）根据函数f（x）仅在x＝0处有极值说明f '（x）＝0仅有x＝0一个根，从而得到答案。（Ⅲ）根据函数f（x）的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立，从而求出b的取值范围。答案：（Ⅰ）。当时，。令，解得，，。当变化时，，的变化情况如下表：02－0＋0－0＋↘极小值↗极大值↘极小值↗所以在，内是增函数，在，内是减函数。（Ⅱ），显然不是方程的根。为使仅在处有极值，必须成立，即有。解此不等式，得。这时，是唯一的极值。因此满足条件的的取值范围是。（Ⅲ）由条件，可知，从而恒成立。当时，；当时，。因此函数在上的最大值是与两者中的较大者。为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立。所以，因此满足条件的的取值范围是。点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力。 例3 已知函数（I）求在区间上的最大值（II）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。一点通：（I）本题考查的是定函数与动区间的问题，是一元二次函数中一动一定的问题，解题时要针对二次函数的对称轴与区间的关系进行讨论，即对称轴在区间上，或是在区间的左边或右边。（II）遇到关于两个函数的图象的交点个数的问题时，一般是构造新函数，将题目转化为研究函数的零点问题，通过导数得到函数的最值，把函数的最值同0进行比较，得到结果。 答案：（I） 当即时，在上单调递增， 当即时， 当时，在上单调递减， 综上， （II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。因为 所以， 当时，是增函数； 当时，是减函数； 当时，是增函数； 当或时， 于是， 当充分接近0时，当充分大时， 因此，要使的图象与轴的正半轴有三个不同的交点，必须且只须 即 所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为点评：本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。 思维拓展类例4 设函数，，其中，a、b为常数，已知曲线与在点（2，0）处有相同的切线。（I）求a、b的值，并写出切线的方程；（II）若方程有三个互不相同的实根0、、，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围。一点通：（I）利用曲线y＝f（x）与y＝g（x）在点（2，0）处有相同的切线l，可得f（2）＝g（2）＝0，f '（2）＝g '（2）＝1。即为关于a、b的方程，解方程即可。（II）把方程f（x）＋g（x）＝mx有三个互不相同的实根转化为、是的两相异实根。求出实数m的取值范围以及、与实数m的关系，再把f（x）＋g（x）＜m（x－1）恒成立问题转化为求函数f（x）＋g（x）－mx在x∈[、]上的最大值问题，综合在一起即可求出实数m的取值范围。答案： （I），由于曲线与在点（2，0）处有相同的切线l，故有，由此解得：；切线的方程：（II）由（I）得，依题意得：方程有三个互不相等的根，故是方程的两个相异实根，所以；又对任意的，恒成立，特别地，取时，成立，即，由韦达定理知：，故，对任意的，有，则：；又所以函数在上的最大值为0，于是当时对任意的，恒成立；综上：的取值范围是。点评：本题主要考查函数，导数，不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想。 利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式。利用导数解决不等式恒成立问题不等式恒成立问题，一般都会涉及求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m>f（x） （或m<f（x））恒成立，于是m大于f（x）的最大值（或m小于f（x）的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数最值问题。因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法。此外，无论是证明不等式，还是解不等式，只要在解题过程中需要用到函数的单调性或最值，我们都可以用导数作工具来解决。这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现。 已知曲线上的点P（0，0），求过点P的切线方程。错解：因为，所以函数在x＝0处不可导，因此过P点的切线不存在。正解：由切线的定义，时割线的极限位置为y轴，因此过P点的切线为x＝0 （答题时间：45分钟）一、选择题1. 设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝＋2x＋b（b为常数），则f（－1）＝A. 3 B. 1 C. －1 D. －32. 由曲线y＝，y＝围成的封闭图形的面积为[A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的一个区间是A. （－2，－1） B. （－1，0） C. （0，1） D. （1，2）4. 曲线在点（－1，－1）处的切线方程为A. y＝2x＋1 B. y＝2x－1 C. y＝－2x－3 D. y＝－2x－25. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记时刻五角星露出水面部分的图形面积为（），则导函数的图像大致为 A. B. C. D. 二、解答题：1. 设a≥0，f （x）＝x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）。（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1。2. 已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在＝－1处取得最小值m－1（m）。设函数（1）若曲线上的点P到点Q（0，2）的距离的最小值为，求m的值；（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点。3. 已知是函数的一个极值点。（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若直线与函数的图像有3个交点，求的取值范围。
一、选择题1. D因为为定义在R上的奇函数，所以有，解得，所以当时，，即，故选D2. A由题意得：所求封闭图形的面积为，故选A。3. B因为，，所以选B4. A ，所以，故切线方程为。5. A 二、解答题：1. （Ⅰ）解：根据求导法则有，故，于是，列表如下：20↘极小值↗故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值。（Ⅱ）证明：由知，的极小值。于是由上表知，对一切，恒有。从而当时，恒有，故在内单调增加。所以当时，，即。故当时，恒有。2. 解：（1）设，则； 又的图像与直线平行 ， 又在处取得极小值，， ，； ，设 则 ， （2）由， 得 当时，方程有一解，函数有一零点； 当时，方程有两解，若，， 函数有两个零点：；若， ，函数有两个零点：； 当时，方程有一解，，函数有一零点 3. 解：（Ⅰ）因为，所以。因此。当时，，由此可知，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，当时，是函数的一个极值点。于是，。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，。当时，，当时，，所以的单调增区间是，的单调减区间是。（Ⅲ）与的图象有个交点；等价于有个实数根；即有个实数根；此时，函数的图象与轴有个不同交点，令，则，令，解得或，，随的变化情况列表如下：00↗极大值↘极小值↗为极大值，为极小值。由表可得的示意图：为使的图象与轴有3个不同交点，必须的极大值大于零，极小值小于零。即可化为 解得∴。
