2020届二轮复习 二项式定理 教案（全国通用）

2020届二轮复习  二项式定理  教案（全国通用）

类型一、求特定项和特定项的系数

【例1】已知二项式展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。

【思路点拨】本题要利用二项式展开式通项公式写出通项，要求有理项只需使整理后的x的幂指数为整数即可。

【解析】二项展开式的通项公式为

    由此得二项展开式中末三项的系数分别为，，

    依题意得

    注意到这里，故得n=8

    ∴

    设第r+1项为有理项，则有x的幂指数为整数，

    ∴ r=0，4，8，

    ∴ T1，T5，T9为有理项，

    又由通项公式得：

      ，

      ，

∴ 所求二项展开式中的有理项分别为，，

【总结升华】求解二项式展开式特定项步骤：

写出展开式的通项公式→合并同类项整理→令x的指数为整数k→根据0≤r≤n,r∈Z,求k →根据k值求出展开式的有理项。

【例2】在的展开式中，求：

（1）第4项的二项式系数；

（2）第4项的系数；

（3）常数项。

【思路点拨】利用展开式的通项公式求解。

【解析】展开式的通项：

（1），二项式系数为；

（2）由（1）知第4项的系数为；

（3）令, 得,

∴常数项为.

【总结升华】解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数。二者在特殊情况下方为同一数值。

举一反三：

【变式1】的展开式中的系数是（　　　）

A.6  B.12  C.24  D.48

【答案】C；

【解析】，

在中，x的系数为C·22=24.

∴的展开式中的系数为24。

【变式2】设展开式的第7项与倒数第7项的比为1：6，求展开式的第7项。

【解析】展开式的通项

∴

∴

∴，

类型二、二项式系数的性质

【例3】已知在的展开式中，第6项为常数项。

（1）求n；

（2）求含x2的项的系数；

（3）求展开式所有的有理项。

【思路点拨】写出展开式的通项公式→根据第6项为常数项求n→由n值令x的指数为2，求r→求出x2的项的系数→令x的指数为整数k→根据0≤r≤n,r∈Z,求k. →根据k值求出展开式的有理项。

【解析】（1）通项公式为

因为第6项为常数项，所以r=5时，有=0，即n=10.

（2）令=2，得，

∴所求的系数为。

（3）根据通项公式，由题意

令=k（k∈Z）,则10-2r=3k,即

∵r∈Z,∴k应为偶数。

∴k可取2，0，-2，即r可取2，5，8。所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为

【总结升华】（1）求二项式系数最大项：

①如果n是偶数，则中间一项（第（）项）的二项式系数最大；

②如果n是奇数，则中间两项（第项与第+1项）的二项式系数相等并最大。

（2）求展开式系数最大项：如求的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为且第r+1项系数最大，应用解出r来，即得系数最大项。

举一反三：

【变式1】已知。

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式中系数最大的项。

【解析】

（1）展开式的通项：，

故展开式中二项式系数最大的项为：

（2）设第项的系数最大，

则 ，化简得，

解得:， ∴，

故所求展开式中系数最大的项为：

【变式2】已知展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x的值.

【解析】由题意，

即，∴n=6.

∴第4项的二项式系数最大.

∴即.

∴x=10或.

类型三、多项式转化为二项式的问题

【例4】试求下列二项展开式中指定项的系数.

（1）的展开式中项的系数；

（2）的展开式中项的系数；

（3）的展开式中项的系数；

（4）的展开式中x项的系数；

（5）的展开式中项的系数；

【解析】

（1）借助“配方转化”：原式

∴原展开式中项的系数，即展开式中项的系数

又展开式的通项公式为

令得r=3

∴展开式中

∴ 所求原展开式中项的系数为-960；

（2）注意到的幂指数3较小，借助“局部展开”：

原式

∴展开式中的系数为

                      =-590

（3）

法一:求和转化

原式

∴ 所求原展开式中项的系数即为展开式中项的系数，

∴ 所求展开式中项的系数为

法二:集零为整

考察左式各部，展开式中项的系数为

（4）

法一：

上式中只有中含有的项，

∴所求原展开式中的系数是。

法二：(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5，

此展开式中含x的项由(x+1)5中常数项乘以(x+2)5中的一次项与(x+1)5中的一次项乘以(x+2)5中的常数项合并而来

∵

∴(x2+3x+2)5展开式中x的系数是240。

法三：利用求解组合应用题的思路

注意到

∴ 欲求展开式中x的一次项，只要从上式右边5个因式中有1个因式取3x，其余四个因式都取常数2即可。

∴ 原展开式中x的一次项为

∴ 所求原展开式中x的系数为240；

（5）

法一：两次利用二项展开式的通项公式

注意到

其展开式的通项          ①

又的展开式的通项        ②

依题意 ，

由此解得，，

∴ 由①、②得所求展开式中项的系数为

法二：利用因式分解转化

∴ 所求即为展开式中的系数，

于是利用“局部展开”可得其展开式中的系数为

=-168

【总结升华】多项展开式中某一项系数的主要求法

（1）等价转化：配方转化；求和转化；分解转化；化整为零。

（2）局部展开；

（3）两次利用二项式定理或两次利用二项展开式的通项公式；

（4）借助求解组合应用题的思想

举一反三：

【变式1】展开式中常数项为____。

【解析】

∴只要求(|x|-1)6展开式中的三项次即可

而(|x|-1)6展开式的通项为

令r=3

∴

从而原展开式的常数项为-20。

【变式2】在的展开式中的系数是（   ）

A. –14        B. 14       C. –28        D. 28

【解析】，

又的展开式中的系数为，的系数为

∴原展开式中的系数为 ，应选B。

类型四、赋值法的应用

【例5】设，求

①展开式中各二项式系数的和；

②展开式中各项系数的和；

③的值

④的值

⑤的值

【思路解析】本题级出二项式及其二项展开式求各系数和或部分系数和，可用赋值法，即令x取特殊值来解决。

【解析】令

①注意到这里n=200，故展开式中各二项式系数的和

②令，得

∴展开式中各项系数的和

③ 注意到

        ∴

∴

④仿③得

又

∴

⑤

法一：

由

∴

令，得

又

∴

法二：由二项式的展开式知，

∴

又，

∴

∴

【总结升华】对于二项展开式中各奇数项系数的和或各偶数项系数的和或其它有关多项式中系数的和，一般可根据问题的具体情况，对未知数x赋予适当的数值，运用特取法求出和式的值。

举一反三：

【变式】若，求值：

  (1)； 

(2)；

(3)

【解析】

（1）令，∴  

∴

（2）令，∴         

∴    ……… ①

（3）令， ∴

∴    ……… ②

①-②得：

类型五、二项式定理的综合应用

【例6】（1）求4×6n+5n+1被20除后的余数；

（2）7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1×7除以9，得余数是多少？

（3）根据下列要求的精确度，求1.025的近似值。①精确到0.01；②精确到0.001。

【思路点拨】利用二项式定理展开式解决题型：

（1）证明某些整除问题或求余数；

（2）证明有关不等式；

（3）进行近似计算；

【解析】（1）首先考虑4·6n+5n+1被4整除的余数。

∵5n+1=(4+1)n+1=4n+1+Cn+114n+Cn+124n-1+…+Cn+1n·4+1，

∴其被4整除的余数为1，

∴被20整除的余数可以为1，5，9，13，17，

然后考虑4·6n+1+5n+1被5整除的余数。

∵4·6n=4·(5+1)n=4(5n+Cn1·5n-1+Cn2·5n-2+…+Cnn-1·5+1)，

∴被5整除的余数为4，

∴其被20整除的余数可以为4，9，14，19。

综上所述，被20整除后的余数为9。

（2）  7n+Cn1·7n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1·7

     =(7+1)n－1=8n－1=(9-1)n－1

     =9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+(－1)n-1Cnn-1·9+(－1)nCnn-1

(i)当n为奇数时

原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+（－1）n-1Cnn-1·9－2

∴除以9所得余数为7。

(ii)当n为偶数时

原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+(－1)n-1Cnn-1·9

∴除以9所得余数为0，即被9整除。

（3）(1.02)5≈（1+0.02）5

           =1+c51·0.02+C52·0.022+C53·0.023+C540.024+C55·0.025

∵C52×0.022=0.004,C53×0.023=8×10-5

∴①当精确到0.01时，只要展开式的前三项和，1+0.10+0.004=1.104，近似值为1.10。

②当精确到0.001时，只要取展开式的前四项和，1+0.10+0.004+0. 0008=1.10408，近似值为1.104。

【总结升华】解题方法归纳：

（1）二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，。

（2）利用二项式定理还可以证明整除问题或求余数问题，在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除（数）展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧；

（3）由于的展开式共有n+1项，故可能对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的。而对于整除问题，关键是拆成两项利用二项式定理展开，然后说明各项是否能被整除。

【例7】化简：；

【思路点拨】将已知所给式子配凑成二项式定理展开式形式，然后再加以化简。

【解析】令，

则

∴ ，

即

故得

【总结升华】注意到二项展开式中各项的特征：，其中b的方幂与组合数上标相同。为利用二项式公式求解，依次对原式实施凑因子和凑项，即使各项中有关因子的方幂等于组合数上标，又使以原式为基础凑出的式子符合二项展开式的特征。

举一反三：

【变式1】求证：能被64整除。

【解析】

∴能被64整除

【变式2】。

【解析】原式

【变式2】化简

【解析】x=，

则

由

得

∴

故得

即