2020届二轮复习 二项分布与正态分布 教案（全国通用）

2020届二轮复习 二项分布与正态分布 教案（全国通用）
【典型例题】
类型一、条件概率
【例1】甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是　　　　(写出所有正确结论的编号).
①；
②；
③事件B与事件A1相互独立；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关.
【思路点拨】根据事件互斥、事件相互独立的概念，条件概率及把事件B的概率转化为P(B)＝P(A1∩B)＋P(A2∩B)＋P(A3∩B)可辨析此题.
【解析】显然A1，A2，A3是两两互斥的事件，
有，，，
而
,且，
，
由
可以判定②④正确，而①③⑤错误.
答案：②④
【总结升华】本题考查相互独立事件，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握了相互独立事件的概率简洁公式，条件概率的求法，本题较复杂，正确理解事件的内蕴是解题的突破点。
举一反三：
【变式1】袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．
【答案】记“第一次取到白球”为事件A，
“第二次取到黄球”为事件B,
“第二次才取到黄球”为事件C,
则.
【变式2】甲乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天的比例，甲为20%，乙为18%，两市同时下雨的天数占12%. 求：
① 乙市下雨时甲市也下雨的概率；② 甲乙两市至少一市下雨的概率.
【答案】记事件A={甲下雨}，事件B={乙下雨}.
按题意有，，.
①乙市下雨时甲市也下雨的概率为：.
②甲乙两市至少一市下雨的概率为：.
【例2】在6道题中有4道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：
(1)第1次抽到理科题的概率；
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
【思路点拨】前两问利用古典概型解题步骤求解，第3问有不同方法：可以利用条件概率求解，也可以利用缩小样本空间的方法求解。
【解析】设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，
则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB．
（1）从6道题中不放回地依次抽取2道的事件数为，
根据分步乘法计数原理，得，
于是
(2) ∵
∴
(3)
法一：由(1)(2)可得，在第一次抽到理科题的情况下，
第二次抽到理科题的概率为
法二：∵，
∴
法三：
在第1次抽到理科题的条件下，
第2次抽到理科题相当于在3道理科题和2道文科题中抽到理科题的概率，
∴.
【总结升华】对于问题3，解法一是依据条件概率的定义去求；在实际应用中，解法二是一种重要的求条件概率的方法．
举一反三：
【变式】已知：男人中有5%患色盲，女中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一个.
（1）求此人患色盲的概率.
（2）如果此人是色盲，求此人是男人的概率.
【答案】
（1）此人患色盲的概率；
（2）事件A：从100个男人和100个女人中任选一人，此人患色盲；
事件B：从100个男人和100个女人中任选一人，此人是男人
P（A）=
故
类型二、相互独立事件
【例3】甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是乙机床产品的正品率是0.95.
（Ⅰ）从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）；
（Ⅱ）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用数字作答）.
【思路点拨】（Ⅰ）由题意知甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率和乙机床产品的正品率是定值，得到本题是一个独立重复试验，根据独立重复试验的公式得到结果．
（Ⅱ）则任取甲、乙两台机床的产品各1件，其中至少有1件正品包括三种结果，一是两个产品都是正品，二是甲生产的是正品且乙生产的是次品，三是甲生产的是次品且乙生产的是正品，这三种结果是互斥的，根据公式得到结果。
【答案】
（Ⅰ）任取甲机床的3件产品恰有2件正品的概率为：
（Ⅱ）
法一：记“任取甲机床的1件产品是正品”为事件A，“任取乙机床的1件产品是正品”为事件B，
则任取甲、乙两台机床的产品各1件，其中至少有1件正品的概率为：

法二：运用对立事件的概率公式，所求的概率为：
【解析】设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.
（1）∵P(A)=0.90,P(B)=P(C)=0.95，
∴.
因为事件A，B，C相互独立，
∴恰有一件不合格的概率为：



（2）
法一：至少有两件不合格的概率为：


法二：三件产品都合格的概率为P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)=0.90×0.952=0.812.
由（1）知，恰有一件不合格的概率为0.176，
所以至少有两件不合格的概率为1-(0.812+0.176)=0.012.
【总结升华】本题考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用互斥事件加法和相互独立事件乘法公式求解。
举一反三：
【变式】甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与.
（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.
【答案】
（Ⅰ）恰好命中一次的概率：；
（Ⅱ）四次投球中至少一次命中的概率：.
【例4】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．
（Ⅰ）求乙投球的命中率；
（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．
【思路点拨】（1）由题意知乙投球两次均命中的概率为p，根据乙投球两次均为命中的概率值，又有乙两次投球是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率写出关于p的方程，得到结果．
（2）甲投2次至少有1次命中的对立事件是甲投2次都不命中，甲投2次都不命中是一个相互独立事件同时发生的概率，根据对立事件的概率得到结果．
（3）甲乙两人各投2次，共命中2次包括甲和乙各命中一次，甲命中两次乙没有命中，甲没有命中乙命中2次，这3种情况是互斥的，根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率公式得到结果。
【解析】
（Ⅰ）
法一：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．
由题意得
解得或（舍去），所以乙投球的命中率为．
法二：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．
由题意得，于是或（舍去），
故．
所以乙投球的命中率为．
（Ⅱ）
法一：由题设和（Ⅰ）知．
故甲投球2次至少命中1次的概率为
法二：
由题设和（Ⅰ）知
故甲投球2次至少命中1次的概率为
（Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，
甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：
甲、乙两人各中一次, 概率为:，
甲中两次，乙两次均不中, 概率为:，
甲两次均不中，乙中2次,概率为:
所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为．
【总结升华】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率公式，是一个运算量比较大的题目，特别是第三问用到的数字比较多，容易出错。
举一反三：
【变式】某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？
解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击次
记事件＝“射击一次，击中目标”，则．
∵射击次相当于次独立重复试验，
∴事件至少发生1次的概率为．
由题意，令，∴，∴，
∴至少取5．
答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次
类型三、独立重复试验及其概率公式
【例5高清视频离散型随机变量及其分步列、均值与方差例题2】一名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有4个红灯,假设他在各路口遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是，遇到红灯停留的时间都是2分钟。
(1)求这名学生在途中到底三个路口时首次遇到红灯的概率；
(2)求这名学生在途中因遇到红灯停留的的总时间的分布列与期望。
【思路点拨】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果．
（2）由题意知变量的可能取值，根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望．
【解析】（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为.
（Ⅱ）由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.
事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0，1，2，3，4），
∴，
∴即的分布列是

0
2
4
6
8






∴的期望是.
【总结升华】相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不可能同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率。
【例6】某射击手射击1次，击中目标的概率为0.8，他连续射击5次，且各次射击是否击中相互之间没有影响．计算（结果保留到小数点后第2位）：
（1）5次射击中恰有2次击中的概率；
（2）5次射击中至少有2次击中的概率；
（3）5次射击中恰有2次击中，且其中第3次击中的概率．
【思路点拨】（1）5次射击中恰有2次击中的概率，即5次实验中恰有2次发生的概率，计算可得答案。
（2）分析可得，“5次射击中至少有2次击中”与“最多击中2次”为对立事件，计算“最多击中2次”的概率，即P5（0）+P5（1），再由对立事件的概率计算可得答案；
（3）根据题意，“5次射击中恰有2次击中，且其中第3次击中”即第3次击中与其余的4次试验中有恰有2次发生，进而计算可得答案。
【解析】根据题意，设P5（k）（0≤k≤5）为5次射击中恰有k次击中的概率，
（1）5次射击中恰有2次击中的概率P5（2）=C52×0.82（1-0.8）3=10×0.64×0.23≈0.05；
（2）“5次射击中至少有2次击中”与“最多击中2次”为对立事件，
则5次射击中至少有2次击中的概率P=1-P5（0）-P5（1）
=1-C500.80×（1-0.8）5-C51×0.81×（1-0.8）4≈0.99；
（3）5次射击中恰有2次击中，且其中第3次击中
即第3次击中与其余的4次试验中有恰有2次发生，
故其概率P=0.8×[C41×0.8×（1-0.8）3]≈0.02．
【总结升华】本题考查相互独立事件、对立的概率的乘法公式与n次重复试验中恰有k次发生的概率，概率问题经常涉及多个关系的事件组合，解题时要分清事件之间的关系。
举一反三：
【变式】某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留两个有效数字）：
（1）5次预报中恰有4次准确的概率；
（2）5次预报中至少有4次准确的概率
【解析】（1）记“预报1次，结果准确”为事件．预报5次相当于5次独立重复试验，根据次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率
（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即


【例7】乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.
（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；
（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；
（Ⅲ）求比赛局数的分布列。
【思路点拨】（I）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率，甲以4比1获胜，根据独立重复试验公式公式，列出算式，得到结果．
（II）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B．B包括乙以4：2获胜和乙以4：3获胜，根据独立重复试验公式列出算式，得到结果．
（III）设比赛的局数为，则的可能取值为4,5,6,7，根据独立重复试验公式计算出各自的概率即可得到分布列．
【解析】
（Ⅰ）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是
记“甲以4比1获胜”为事件，
则．
（Ⅱ）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件.
因为，乙以4比2获胜的概率为，
乙以4比3获胜的概率为，
所以 ．
（Ⅲ）设比赛的局数为，则的可能取值为4,5,6,7.
，
，
，
．
比赛局数的分布列为：

4
5
6
7





【总结升华】本题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，考查概率思想的应用意识和创新意识。
举一反三：
【变式】十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？
【解析】从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次
∴从低层到顶层停不少于3次的概率


设从低层到顶层停次，则其概率为，
∴当或时，最大，即最大，
答：从低层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次概率最大．
【例8】现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率:
(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率:
(Ⅲ)用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望.
【思路点拨】本小题主要考查古典概型及其计算公式,互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
【解析】依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件,则.
(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为.
(2)设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件,则,由于与互斥,故

所以这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.
(3)的所有可能的取值为,由于与互斥,与互斥,故

所以的分布列为

0
2
4




随机变量的数学期望.
【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点,近年来都通过概率问题来考查,且常考常新,对于此类考题,要注意认真审题,从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型,独立事件、互斥事件等概率模型求解,因此对概率型应用性问题,理解是基础,转化是关键。
举一反三：
【变式1】某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）
【解析】记事件＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验
1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率，
1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率，
所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为

答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为．
“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法
【变式2】加工某种零件需经过三道工序。设第一、二、三道工序的合格率分别为、、，且各道工序互不影响。
(1) 求该种零件的合格率；
(2) 从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率。
【解析】（Ⅰ）；
（Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为，由独立重复试验的概率公式得：
恰好取到一件合格品的概率为 ，
至少取到一件合格品的概率为
解法二：
恰好取到一件合格品的概率为，
至少取到一件合格品的概率为
类型四、二项分布
【例9】设服从二项分布B～（n，p）的随机变量ξ的期望和方差分别是2.4与1.44，则二项分布的参数n、p的值为（　　）
A．n=4，p=0. B．n=6，p=0
C．n=8，p=0.3 D．n=24，p=0.1
【思路点拨】根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n和p的方程组，解方程组得到要求的两个未知量。
【解析】∵ξ服从二项分布B～（n，p），由Eξ=2.4=np，Dξ=1.44=np（1-p），可得1-p==0.6，
∴p=0.4，n==6．所以选B。
【总结升华】题主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量。
【例10】为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立.
（Ⅰ）求4人恰好选择了同一家公园的概率；
（Ⅱ）设选择甲公园的志愿者的人数为，试求的分布列及期望．
【思路点拨】（I）本题是一个等可能事件的概率，每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有34种等可能的情况．满足条件的事件A所包含的等可能事件的个数为3，可列举出结果．
（II）选择甲公园的志愿者的人数为X，则X可取的值为0，1，2，3，4，4人中选择甲公园的人数X可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数，得到随机变量X服从二项分布．根据二项分布概率公式，写出分布列和期望．
【解析】（Ⅰ）设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A.
每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有种等可能的情况.
事件A所包含的等可能事件的个数为3，
所以，.
即：4人恰好选择了同一家公园的概率为
（Ⅱ）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C，则.
4人中选择甲公园的人数可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数，因此，随机变量服从二项分布.
可取的值为0，1，2，3，4.
， .
的分布列为:

0
1
2
3
4






的期望为．
【总结升华】题主要考查二项分布，每次试验中，事件发生的概率是相同的，各次试验中的事件是相互独立的，每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，随机变量是这n次独立重复试验中实件发生的次数。
举一反三：
【变式】一名学生骑自行车上学，从他的家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是。
(Ⅰ)求这名学生首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率；
(Ⅱ)求这名学生在途中遇到红灯数ξ的期望与方差。
【思路点拨】(Ⅰ)可以利用相互独立事件同时发生概率公式求解。
(Ⅱ) 学生在途中遇到红灯数ξ服从二项分布，利用二项分布求解。
【答案】
(Ⅰ)由于该学生在各交通岗遇到红灯的事件是独立的，利用相互独立事件的概率，
其首次遇到红灯前已经过了两个交通岗的概率．
(Ⅱ)依题意该学生在途中遇到红灯数ξ服从二项分布
则期望望，
方差
【总结升华】本题解题的关键是看出变量符合二项分布，利用二项分布的分布列和期望公式得到结论。
【例11】在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是．
（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；
（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；
（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？
【解析】（Ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.
依条件可知X~B(6，).
()
X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
6
P







所以=.
或因为X~B(6，)，所以. 即X的数学期望为4．
（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，
则
答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为
（Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B，
则.
即教师乙在这场比赛中获奖的概率为.
显然，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．
类型五、正态分布的性质
【例12】若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为
(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；
(2)求正态总体在(－4,4]的概率．
【思路点拨】要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关。
【解析】(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由＝，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是
(2)P(－4