2020届二轮复习 三角函数的性质及其应用 教案（全国通用）

2020届二轮复习  三角函数的性质及其应用_  教案（全国通用）

类型一、求函数(,)的单调区间

例1. 求函数的单调区间.

【思路点拨】利用正弦函数的单调区间，求出简单复合函数的单调区间.

【解析】解法一：化成.

∵的递增、递减区间分别为

（k∈Z），（k∈Z），

∴函数的递增、递减区间分别由下面的不等式确定，

，

即，

，

即，

∴函数的单调递减区间、单调递增区间分别为（k∈Z），（k∈Z）.

解法二：可看作是由与复合而成的.

又∵为减函数，

∴由，

，

即为的递减区间.

由，

即得

，

即为的递增区间。

综上可知：的递增区间为；

递减区间为.

【总结升华】熟练掌握函数的单调区间的确定的两种方法.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，然后通过同解变形或利用数形结合的方法来求解.

举一反三：

【变式1】求下列函数的单调递增区间.

（1），（2），（3）.

【解析】

（1）∵，∴递增区间为：()；

（2）画出的图象：

可知增区间为()；

（3）函数在区间()上是增函数.

【变式2】利用单调性比较，，的大小：

【解析】

∵，，且

∴

类型二、三角函数的图象及其变换

例2．已知函数

（1）用五点法作出它的图象；

（2）指出这个函数的振幅、周期、频率、初相和单调区间；

（3）说明该函数的图象可由的图象经过怎样的变换而得到？

【思路点拨】化简，令，分别求出对应的值，再描点作图，注意图象变换的时候每一个变换总是对字母而言的.

【解析】（1）.

列表描点绘图如下:

（2）如图可知，此函数的振幅是2，周期为，频率为，初相为.

单调增区间为 kZ  ，

单调减区间为kZ.

（3）法一：

法二：

【总结升华】

①五点法作(,)的简图时，五点取法是设，由取0、、、、来求相应的值及对应的值，再描点作图；

②由的图象变换出的图象一般先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现，无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少；

③此处的难点是函数图象的平移，可以选择画出图象后观察；也可以直接由函数式子利用特殊位置点（如：首点、波峰、波谷等）的坐标判定，但其前提是两个函数的名称以及的系数是相同的.

举一反三：

【变式1】由的图象得到的图象需要向     平移        个单位.

【答案】左，；

【解析】∵，

∴由的图象得到的图象需要向左平移个单位.

【变式2】试述如何由的图象得到的图象.

【解析】方法一：  

.

方法二：

.

【变式3】若函数的图象上的每个点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的，再将图象沿轴向右平移个单位，则新图象对应的函数式是(    )

A．             B．

C．        D．

【答案】A

【变式4】画出函数在区间上的图象.

【解析】由知道：

故函数在区间上的图象：

例3. 如图，它是函数的图象，由图中条件，写出该函数的解析式。

【思路点拨】结合图形易求得A，及.如何求呢？可以选择点的坐标代入函数解析式尝试一下，结合的范围求得.

【解析】 由图知A=5，

由，得

∴。此时。

下面介绍怎样求初相。

解法一：（单调性法）

∵点（π，0）在递减的那段曲线上，

∴。

由得，

∴。

∵，∴。

解法二：（最值点法）

将最高点坐标代入，得，

∴，∴。

又，∴。

解法三：（起始点法）

函数的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由解得的。故只要找出起始点横坐标x0，就可以迅速求得角。由图象易得，

∴。

解法四：（平移法）

由图象知，将的图象沿x轴向左平移个单位就得到本题图象，故所求函数解析式为

【总结升华】给出型的图象，求它的解析式，常从寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，要从图象的升降找准第一个零点的位置，例3中的解法三是我们常选用的方法这一.

举一反三：

【变式】下图是函数（，）的图象．则、的值是（    ）

A．，     B．，

C．，       D．，

【答案】C

【解析】由图象可得：

∵，由得，

由 ，得

∴ （）

由，得．满足时，或．

由此得到，．注意到，即，

因此，这样就排除了．

∴，

注意：因为函数是周期函数，所以仅靠图像上的三个点，不能完全确定A、、的值．本题虽然给出了，的条件，但是仅靠(0，1 )、两点，不能完全确定、的值．在确定的过程中，比较隐蔽的条件（）起了重要作用．

类型三：奇偶性与对称性

例4．已知函数

（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的对称性。

【思路点拨】正弦函数的定义域是，在考查与的关系；考查三角函数的对称性的时候，从对称轴和对称中心两个方面考虑.

【解析】（1）的定义域关于原点对称，

∵且，

∴函数不是奇函数也不是偶函数.

（2）∵令,则的图象的对称轴是，对称中心（），

∴函数的图象的对称轴是即（）

由得（），

∴函数的图象的对称中心是（）.

【总结升华】①先求定义域并判断在数轴上关于原点对称，再经过等值变形尽量转化为一个角的一个三角函数式（），再判断其奇偶性.函数的奇偶性与函数的对称性既有联系又有区别，用定义法，换元法。

②对于（）来说，对称中心与零点（平衡位置）相联系，对称轴与最值点（极值点）联系.

举一反三：

【变式1】判断下列函数的奇偶性

（1）；   （2）.

【解析】

（1）定义域关于原点对称，

又

∴ 函数为奇函数。

（2）∵从分母可以得出（），∴定义域在数轴上关于原点不对称。

∴ 函数为非奇非偶函数

【变式2】设函数的图象的一条对称轴方程是（   ）

A.        B.       C.       D.

【答案】A