2020届二轮复习 空间向量在立体几何中的应用 教案（全国通用）

2020届二轮复习  空间向量在立体几何中的应用  教案（全国通用）

类型一、空间向量的运算

【例1】已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量。

【答案】单位法向量=±（，－，）.

【解析】设面ABC的法向量，则⊥且⊥，即

，即，解得，

令，则

∴单位法向量=±（，－，）.

【总结升华】一般情况下求法向量用待定系数法。由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把的某个坐标设为1，再求另两个坐标。平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解。

举一反三：

【变式】若＝(1,5,－1)，＝(－2,3,5)

（1）若，求实数k的值；

（2）若，求实数k的值；

（3）若取得最小值，求实数k的值。

【答案】

(1)

，即

由，解得；

(2)，

，

即，解得；

(3)

当时，取得最小值。

类型二：向量法证明平行或垂直

【例2】如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点

（Ⅰ）证明：直线；

（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。

【解析】作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系

,

(1)

设平面OCD的法向量为,则

即

取,解得

(2)设与所成的角为,

, 与所成角的大小为

(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,

由 , 得.

所以点B到平面OCD的距离为

【总结升华】1. 用向量证明线面平行的方法有：

(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；

(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；

(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．

2. 用向量法证垂直问题：

(1)证明线线垂直，只需证明两直线的方向向量数量积为0；

(2)证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直；

(3)证明面面垂直，只需证明两平面的法向量的数量积为0，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直．

举一反三：

【变式】ID 401056【高清视频空间向量在立体几何中的应用例题1】如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：

(1)DE∥平面ABC；

(2)B1F⊥平面AEF.

【解析】如图建立空间直角坐标系A－xyz，令AB＝AA1＝4，

则A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4)．

(1)取AB中点为N，则N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)，

∴＝(－2，4，0)，＝(－2，4，0)，

∴＝.∴DE∥NC，

又NC在平面ABC内，DE不在平面ABC内，故DE∥平面ABC.

(2)＝(－2，2，－4)，＝(2，－2，－2)，

＝(2，2，0)，

·＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，

则⊥，∴B1F⊥EF，

∵·＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.

∴⊥，即B1F⊥AF，

又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面AEF.

类型三：异面直线所成的角

【例3】正方体ABCD-EFGH的棱长为a，点P在AC上，Q在BG上，且AP=BQ=a, 求直线PQ与AD所成的角

【答案】90°

【解析】建立空间直角坐标系如图，则，

,

∴,，

∴

∴QP与AD所成的角为90°。

【总结升华】建立坐标系后，求出 可由求解。

举一反三：

【变式】如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，侧棱长为

（1）与能否垂直？请证明你的判断；

（2）当在上变化时，求异面直线与所成角的取值范围。

【答案】∵菱形中，于，设，

分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

设，则

（1）∵，

∴，∴与不能垂直。

（2）∵，∴，∵

∴，

，

∵，∴设，

又，∴

∵，∴

∴直线与所成角的取值范围是。

类型四：直线与平面所成的角

【例4】如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。试确定，使直线与平面所成角的正切值为；

­­【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).

所以

又由的一个法向量.

设与所成的角为，

则

依题意有，解得.

故当时，直线。

举一反三：

【变式】如图，三棱锥P-ABC中，∠ABC=，PA=1，AB=，AC=2，PA⊥面ABC．

(1)求直线AB和直线PC所成角的余弦值；

(2)求PC和面ABC所成角的正弦值；

【答案】

(1)以A为坐标原点，分别以AB、AP所在直线为y轴、z轴,以过A点且平行于BC直线为x轴建立空间直角坐标系.

在直角△ABC中,∵AB=，AC=2，∴BC=1

A(0,0,0)，B(0,,0)，C(1,,0)，P(0,0,1).

(0,,0)，(1,,),

cos<,>===

∴直线AB与直线PC所成的角余弦为.

(2)取平面ABC的一个法向量=(0，0，1)，

设PC和面ABC所成的角为，则

sin=|cos<，>|==.

∴PC和面ABC所成的角的正弦值为．

类型五：二面角

【例5】 ID 401056 【高清视频空间向量在立体几何中的应用例题2】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝.

(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；

(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；

(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．

【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点，依题意得A(2，0，0)，B(0，0，0)，C(，－，)，A1(2，2，0)，B1(0，2，0)，C1(，，)．

(1)易得＝(－，－，)，＝(－2，0，0)，

于是cos〈，〉＝＝＝，

所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.

(2)易知＝(0，2，0)，＝(－，－，)．

设平面AA1C1的一个法向量m＝(x，y，z)，则

即不妨令x＝，可得m＝(，0，)．

设平面A1B1C1的一个法向量n＝(x，y，z)，则

即不妨令y＝，可得n＝(0，，)．

则cos〈m，n〉＝＝＝，从而sin〈m，n〉＝，

所以二面角A－A1C1－B1的正弦值为.

(3)由N为棱B1C1的中点，得N(，，)．设M(a，b，0)，

则＝(－a，－b，)．因为MN⊥平面A1B1C1，

由(2)知平面A1B1C1的一个法向量为n＝(0，，)，所以∥n，

所以－a＝0，＝，

解得.故M(，，0)．因此＝(，，0)，所以线段BM的长||＝.

【总结升华】求两异面直线所成的角，用向量法就是求两直线上的两方向向量的夹角，但需注意二者范围的区别．同样地，利用向量法求二面角的大小，就是求两个半平面的法向量的夹角(或夹角的补角)，在具体求解中应适当选取或求解直线的方向向量及平面的法向量．在空间直角坐标系中，常采用待定系数法求平面的法向量．

举一反三：

【变式】如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°，，EF=2。

（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；

（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A—EF—C的大小为60°？

【解析】如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．

设，

则，，，，．

（Ⅰ）证明：，，，

所以，，从而，，

所以平面．

因为平面，所以平面平面．

故平面．

（Ⅱ）解：因为，，

所以，，从而

解得．所以，．

设与平面垂直，

则，，解得．

又因为平面，，

所以，得到．

所以当为时，二面角的大小为．

类型六：空间距离

【例5】如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求点A到平面MBC的距离．

【解析】

取CD中点O，连接OB，OM，

则OB⊥CD，OM⊥CD.

又平面MCD⊥平面BCD，

所以MO⊥平面BCD.

取O为原点，直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图．OB＝OM＝，则各点坐标分别为C(1，0，0)，M(0，0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)．

(1)设是平面MBC的法向量，则

＝(1，，0)，＝(0，，)．

由⊥得·＝0即x＋y＝0；

由⊥得·＝0即y＋z＝0.

取＝(，－1，1)，＝(0，0，2)，

则d＝＝＝.

故点A到平面MBC的距离为.

法二：(1)取CD中点O，连OB，OM，

则OB＝OM＝，OB⊥CD，MO⊥CD，

又平面MCD⊥平面BCD，

则MO⊥平面BCD，

所以MO∥AB，所以MO∥平面ABC，

故M，O到平面ABC的距离相等．

作OH⊥BC于H，连MH，则MH⊥BC.

求得OH＝OC·sin60°＝，

MH＝

＝.

设点A到平面MBC的距离为d，

由VA－MBC＝VM－ABC得

·S△MBC·d＝·S△ABC·OH.

即××2×d＝××2×2×，

解得d＝.

【总结升华】利用向量法求点到平面的距离的步骤如下：(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出以该点及平面内的某点为端点的线段对应的向量；(3)利用公式d＝求距离．

举一反三：

【变式】如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，，,求点E到平面ACD的距离。

【答案】以O为原点，如图建立空间直角坐标系，

则

设平面ACD的法向量为则

，令得是平面ACD的一个法向量。

又

点E到平面ACD的距离

类型七、利用空间向量解决立体几何中的探索问题

【例6】在四棱锥中，//，，，平面，. （Ⅰ）设平面平面，求证：//； （Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．

【证明】（Ⅰ） 因为//，平面，平面，

所以//平面.                 

因为平面，平面平面，

所以//.                          

（Ⅱ）：因为平面，，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，.

所以 ，，

，

所以，

.

所以 ，.

因为 ，平面，

平面，

所以 平面.                     

（Ⅲ）解：设（其中），，直线与平面所成角为.

所以 .

所以 .

所以 即.  

所以 .   

由（Ⅱ）知平面的一个法向量为.

因为 ，

所以 .

解得 .

所以 .     

【总结升华】空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断。在解题过程上中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解决更简单、有效，在立体几何二轮复习中，我们要善于运用这一方法。

举一反三：

【变式】

在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，， 平面，，，，，且是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得与所成的角为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.

【解析】（Ⅰ）取的中点，连接.

在△中，是的中点，是的中点，所以，

   又因为，

  所以且.

所以四边形为平行四边形，

所以.

又因为平面，平面，

 故平面.  

解法二：因为平面，，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.       ……1分                                             

由已知可得

（Ⅰ），  .     

设平面的一个法向量是.

  由得  

令，则.     

又因为，

  所以，又平面，所以平面.    

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的一个法向量是.

    因为平面，所以.

        又因为，所以平面.

     故是平面的一个法向量.

      所以，又二面角为锐角，

      故二面角的大小为.     

 （Ⅲ）假设在线段上存在一点，使得与所成的角为.

      不妨设（），则.

   所以，

   由题意得，

    化简得，

         解得.

        所以在线段上不存在点，使得与所成的角为.