2020届二轮复习 函数的最值与值域（理） 学案（全国通用）

函数的最值与值域

【考纲要求】

1. 会求一些简单函数的定义域和值域；

2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；

3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．

4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、函数最值的定义

1.最大值：如果对于函数定义域内的任意一个自变量，存在，使得成立，则称是函数的最大值．

注意：下面定义错在哪里？应怎样订正．

如果对于函数定义域内的任意一个自变量，都有，则称是函数的最大值．

2.最小值的定义同学们自己给出．

考点二、函数最值的常用求法

1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．

2.判别式法：主要适用于可化为关于的二次方程，由（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的的值．

3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换．

4.不等式法：利用均值不等式求最值．

5.利用函数的性质求函数的最值

6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法

7.利用导数求函数的最值。

要点诠释：

(1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值；

(2)一些能转化为最值问题的问题:

在区间D上恒成立函数

在区间D上恒成立函数

在区间D上存在实数使函数

在区间D上存在实数使函数

【典型例题】

类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值

例1.求函数的最值．

【解析】

令（注意的范围），这样所求函数就变为二次函数．

【总结升华】当式子中同时出现和时，都可以化为二次式．

举一反三：

【变式】求函数的值域．

解：平方再开方，得

类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值

例2. 求下列函数值域：

(1)；   1)x∈[5，10]；   2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；

(2)y=x2-2x+3；　  1)x∈[-1，1]；   2)x∈[-2，2].

【解析】 (1)2个单位，

再上移2个单位得到，如图

1)f(x)在[5，10]上单增，；

2)；

(2)画出草图

1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；

2).

举一反三：

【变式】已知函数.

(1)判断函数f(x)的单调区间；

(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.

【解析】

(1)

上单调递增，在上单调递增；

(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增

∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2

x=3时f(x)有最大值

∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.

类型三、含参类函数的最值与值域问题

例3.（2018 保定模拟）若函数在区间上的值域为，则       .

【答案】4

【解析】记

为奇函数，函数图像关于原点对称.

函数在区间上的最大值记为a,(a>0),则函数在区间上的最小值为-a

即即

故选D.

举一反三：

【变式】已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.

【解析】单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为，由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.

类型四、抽象函数的最值与值域问题

例4.若函数的值域是，则函数的值域是（       ）

A．     B．     C．      D．

【答案】

【解析】令，则，

举一反三：

【变式】设函数则的值为（     ）

A．    B．    C．     D．

【答案】A

【解析】∵，  ∴.

类型五：函数、导数、不等式知识在最值方面的综合应用

例5. （2017  全国新课标Ⅱ）(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，；

(Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．

【解析】（Ⅰ）的定义域为.

且仅当时，，所以在单调递增，

因此当时，

所以

(Ⅱ)

由（Ⅰ）知，单调递增，对任意

因此。存在唯一，使得，即，

当时，单调递减；

当时，单调递增。

因此在处取得最小值，最小值为

于是由单调递增，

所以，由得，

因为单调递增，对任意存在唯一的

使得所以的值域是

综上，当时，有，的值域是

【总结升华】本题重点考查函数的导数，函数，函数极值的判定，给定区间上二次函数的最值等基础知识的综合运用，考查数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力.

举一反三：

【变式】设函数（为常数，是自然对数的底数）.

(I)当时，求函数的单调区间；

(II)若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.

【解析】(I) 的定义域为，

当时，，

令则，

当时，，单调递减.

当时，，单调递增.

的单调递减区间为，的单调递增区间为.

(II)由(I)知，时，函数在内单调递减，

故在内不存在极值点.

当时，设函数.

当时，当时，，单调递增，故在内不存在两个极值点.

当时，得：

 时，，函数单调递减,

时，，函数单调递增,

的最小值为

函数在内存在两个极值点

解得

综上所述函数在内存在两个极值点时，的取值范围为：.

类型六：函数、不等数与数列知识在最值方面的综合应用

例6.设数列的前项和为，点均在函数的图像上.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.

【解析】（I）依题意得，即.

当时，;

当时，.

所以.

（II）由（I）得，

故.

因此，使得成立的必须满足，即,

故满足要求的最小整数为10.

【总结升华】与数列知识结合的函数、不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具, 结合函数知识,通过计算和推理来解决问题.

举一反三：

【变式1】已知函数f(x)=a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*)，且a1，a2，a3，…，an构成数列{an}，又f(1)=n2．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求证：．

【解析】

（1）由题意：f(1)=a1+a2+…+an=n2，(n∈N*)

n=1时，a1=1

n≥2时，an=(a1+a2+…+an)-(a1+a2+…+an-1)=n2-(n-1)2=2n-1

∴对n∈N*总有an=2n-1,

即数列{an}的通项公式为an=2n-1.

(2)

∴

∴

【变式2】已知数列的首项，，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）证明：对任意的，，；

（Ⅲ）证明：．

【解析】

（Ⅰ），，，

又，是以为首项，为公比的等比数列．

，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，

原不等式成立．

【另解】设，

则

，当时，；当时，，

当时，取得最大值．

原不等式成立．

由（Ⅱ）知，对任意的，有

．

令，

则，

．

原不等式成立．

类型五：解析几何在最值方面的综合应用

例7．设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（    ）

A．{9，10，11}    B．{9，10，12}    C．{9，11，12}    D．{10，11，12}

【解析】当t≠0时，直线AD的方程为，

分别与直线y=1，y=2，y=3交于点，。

同理直线BC的方程为分别与直线y=1，y=2，y3交于点

，，。

此时当时，直线y=1，y=2，y=3在平等四边形ABCD内部的线段上各有4个整点，

故此时N（t）=12；

当时，直线y=1，y=2在平行四边形ABCD内部的线段上各有4个整点，

而直线y=3在平行四边形ABCD内部的线段上只有3个整点，

此时N（t）=11。同理可得当时，N（t）=12；

当时，N（t）=11。

综上得  ，其中k∈Z）。

故选C。

【答案】C  当t=0时，平行四边形ABCD为正方形，不含边界的整点个数为9个。

【变式2】设直线x=t与函数，的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（    ）

A．1    B．    C．    D．

【答案】D  如图，，令，

∵，∴易知时，；

时，。

于是可判断当时，|MN|取得小值。