2020届二轮复习 函数的极值和最值（理） 学案（全国通用）
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函数的极值和最值【考纲要求】1.掌握函数极值的定义。2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值4.会求给定闭区间上函数的最值。【知识网络】 【考点梳理】要点一、函数的极值函数的极值的定义一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.要点诠释：求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点二、函数的最值1.函数的最大值与最小值定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。2.通过导数求函数最值的的基本步骤：若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根；（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.【典型例题】类型一：利用导数解决函数的极值等问题函数的极值和最值394579 例1.已知函数若函数处取得极值，试求的值，并求在点处的切线方程；【解析】因为处取得极值所以所以。又所以在点处的切线方程即.举一反三：【变式1】设为实数，函数．(1)求的单调区间与极值；(2)求证：当且时，． 【解析】（1）由知．令，得．于是当变化时，的变化情况如下表：－0+单调递减单调递增故的单调递减区间是，单调递增区间是，处取得极小值，极小值为(2)证明：设，于是，由(1)知当时，最小值为于是对任意，都有，所以在R内单调递增．于是当时，对任意，都有．而，从而对任意．即，故．【变式2】函数的定义域为区间（a，b），导函数在（a，b）内的图如图所示，则函数在（a，b）内的极小值有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】由极小值的定义，只有点B是函数的极小值点，故选A。类型二：利用导数解决函数的最值问题函数的极值和最值394579 典型例题三】例2（2017 东城区模拟）已知函数，．(Ⅰ)若在处取得极值，求的值；(Ⅱ)求在区间上的最小值；(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若，求证：当时，恒有成立．【解析】（Ⅰ）由，定义域为，得．因为函数在处取得极值，所以，即，解得．经检验，满足题意，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为．当时，有，在区间上单调递增，最小值为；当，由得，且．当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在区间上单调递增，最小值为；当时，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以函数在取得最小值．综上当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为．（Ⅲ）由得．当时，，，欲证，只需证， 即证，即．设，则．当时，，所以在区间上单调递增．所以当时，，即，故．所以当时，恒成立．举一反三：【变式】已知函数(),.(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.【解析】(1)由为公共切点可得:,则,, ,则,,① 又,,,即,代入①式可得:. (2),设 则,令,解得:,; ,, 原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增 ①若,即时,最大值为; ②若,即时,最大值为 ③若时,即时,最大值为. 综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为. 例3.（2018 东城区一模）已知函数 ，． (1)若 在 处取得极值，求 的值； (2)若 在区间 上单调递增，求 的取值范围； (3)讨论函数 的零点个数．【解析】 (1) 因为 ，由已知 在 处取得极值，所以 ，解得 ．经检验 时， 在 处取得极小值．所以 ．(2) 由（1）知，．因为 在区间 上单调递增．所以 在区间 上恒成立．即 在区间 上恒成立．因为 ． (3) 因为 ，所以 ，．令 ，得 ．令 ，． ．当 时，， 在区间 上单调递增，当 时，， 在区间 上单调递减．所以 ．综上，当 时，函数 无零点．当 或 时，函数 有一个零点，当 时，函数 有两个零点． 举一反三：【变式1】（2018 朝阳一模）已知函数 ，． (1)当 时，求函数 的最小值； (2)当 时，讨论函数 的零点个数．【解析】(1) 函数 的定义域为 ．当 时，． ．由 解得 ；由 解得 ．所以 在区间 单调递减，在区间 单调递增．所以 时，函数 取得最小值 ． (2) ，．（i）当 时， 时，， 为减函数； 时，， 为增函数．所以 在 时取得最小值 ．①当 时，，由于 ，令 ，，则 在 上有一个零点；② 当 时，即 时， 有一个零点；③ 当 时，即 时， 无零点．④ 当 时，即 时，由于 （从右侧趋近 ）时，； 时，，所以 有两个零点．（ii）当 时， 时，， 为增函数； 时，， 为减函数； 时，， 为增函数．所以 在 处取极大值，处取极小值． ．当 时，，即在 时，．而 在 时为增函数，且 时，，所以此时 有一个零点．（iii）当 时， 在 上恒成立，所以 为增函数．且 （从右侧趋近于 ）时，； 时，，所以 有一个零点．综上所述，当 或 时， 有一个零点；当 时， 无零点；当 时， 有两个零点．【变式2】已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。【解析】（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b由f（）＝，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：x（－，－）－（－，1）1（1，＋）f（x）＋0－0＋f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（－，－）与（1，＋），递减区间是（－，1）（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2。类型三：导数在研究实际问题中最值问题的应用例4.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元．设该容器的建造费用为千元． (1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的．【解析】(1)设容器的容积为V， 由题意知，又， 故． 由于，因此． 所以建造费用，因此，．(2)由(1)得，． 由于，所以， 当时，． 令，则m＞0，所以．①当即时， 当时，； 当时，； 当时，，所以是函数y的极小值点，也是最小值点．②当即时，当时，函数单调递减， 所以r=2是函数y的最小值点， 综上所述，当时，建造费用最小时，当时，建造费用最小时．举一反三：【变式】某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间;(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.【解析】(Ⅰ)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为 由题设有 期中均为1到200之间的正整数. (Ⅱ)完成订单任务的时间为其定义域为 易知,为减函数,为增函数.注意到 于是 (1)当时, 此时 , 由函数的单调性知,当时取得最小值,解得 .由于 . 故当时完成订单任务的时间最短,且最短时间为. (2)当时, 由于为正整数,故,此时易知为增函数,则 . 由函数的单调性知,当时取得最小值,解得.由于 此时完成订单任务的最短时间大于. (3)当时, 由于为正整数,故,此时由函数的单调性知, 当时取得最小值,解得.类似(1)的讨论.此时 完成订单任务的最短时间为,大于. 综上所述,当时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C三种部件的人数分别为44,88,68.
