2020届二轮复习（理）专题七第1讲坐标系与参数方程学案

专题七 选修4系列
第1讲　坐标系与参数方程
「考情研析」　　　　高考中，该部分内容常以直线、圆锥曲线(主要是圆、椭圆)几何元素为载体，主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化；同时进一步考查利用相应方程形式或几何意义解决元素位置关系、距离、面积等综合问题．该部分试题难度一般不大.
核心知识回顾
1.极坐标与直角坐标的互化公式
设点P的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则
(ρ，θ)⇒(x，y)
(x，y)⇒(ρ，θ)


2．常见圆的极坐标方程
(1)圆心在极点，半径为r的圆：ρ＝r(0≤θ<2π)．
(2)圆心为M(a,0)，半径为a的圆：ρ＝2acosθ.
(3)圆心为M，半径为a的圆：ρ＝2asinθ(0≤θ≤π)．
3．常见直线的极坐标方程
(1)直线过极点，直线的倾斜角为α：θ＝α(ρ∈R)．
(2)直线过点M(a,0)，且垂直于极轴：ρcosθ＝a.
(3)直线过点M，且平行于极轴：ρsinθ＝a(0<θ<π)．
4．直线、圆与椭圆的参数方程

热点考向探究
考向1 极坐标方程及应用
例1　(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
解　(1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，
当θ0＝时，ρ0＝4sin＝2.
由已知得|OP|＝|OA|cos＝2.
设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．
在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.
经检验，点P在曲线ρcos＝2上，
所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.
(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，
即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，
所以θ的取值范围是.
所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈.

直角坐标与极坐标方程的互化及应用
(1)直角坐标方程化极坐标方程时，通常可以直接将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入即可．
(2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsinθ，ρcosθ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等．

(2019·武汉市高三调研)在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1：ρsin(θ＋)＝，C2：ρ2＝.
(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；
(2)曲线C1和C2的交点为M，N，求以MN为直径的圆与y轴的交点坐标．
解　(1)由ρsin(θ＋)＝得
ρ(sinθcos＋cosθsin)＝，
将代入上式得x＋y＝1.
即C1的直角坐标方程为x＋y＝1，
同理，由ρ2＝可得3x2－y2＝1，
∴C2的直角坐标方程为3x2－y2＝1.
(2)∵PM⊥PN，先求以MN为直径的圆，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由得3x2－(1－x)2＝1，即x2＋x－1＝0.

考向2 参数方程及应用
例2　(2019·四川省华文大教育联盟高三第二次质量检测)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为
(t为参数)．
(1)求曲线C和直线l的普通方程；
(2)直线l与曲线C交于A，B两点，若|AB|＝1，求直线l的方程．
解　(1)对曲线C：消去参数θ，得x2＋y2＝1.
对直线l：消去参数t，
当cosα＝0时，l：x＝2；
当cosα≠0时，l：y＝tanα(x－2)．
(2)把
代入x2＋y2＝1中，得t2＋4tcosα＋3＝0.
因为Δ＝16cos2α－12>0，所以cos2α>.
因为t1＋t2＝－4cosα，t1t2＝3，|AB|＝|t1－t2|＝1，
所以(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝16cos2α－12＝1，
所以cos2α＝，所以tan2α＝＝.
所以tanα＝±，即直线l的斜率为±.
所以直线l的方程为y＝x－或y＝－x＋.

参数方程化为普通方程消去参数的方法
(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．
(2)三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．
(3)常见消参数的关系式：
①t·＝1；
②2－2＝4；
③2＋2＝1.

(2019·太原市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
(1)若曲线C1方程中的参数是α，且C1与C2有且只有一个公共点，求C1的普通方程；
(2)已知点A(0,1)，若曲线C1方程中的参数是t,0<α<π，且C1与C2相交于P，Q两个不同点，求＋的最大值．
解　(1)∵ρ＝2cosθ，
∴曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
∵α是曲线C1：的参数，
∴C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝t2，
∵C1与C2有且只有一个公共点，
∴|t|＝－1或|t|＝＋1，
∴C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝(－1)2或x2＋(y－1)2＝(＋1)2.
(2)∵t是曲线C1：的参数，
∴C1是过点A(0,1)的一条直线，
设与点P，Q相对应的参数分别是t1，t2，
把代入(x－1)2＋y2＝1
得t2＋2(sinα－cosα)t＋1＝0，

考向3 极坐标与参数方程的综合应用
角度1　极坐标方程中极径几何意义的应用
例3　在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为x2＝4y＋4.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝8，求l的斜率．
解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得抛物线C的极坐标方程ρ2cos2θ－4ρsinθ－4＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)，
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2cos2α－4ρsinα－4＝0，
因为cos2α≠0(否则，直线l与抛物线C没有两个公共点)，于是ρ1＋ρ2＝，ρ1ρ2＝－，|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ＝＝，
由|AB|＝8得cos2α＝，
tanα＝±1，所以l的斜率为1或－1.

(1)几何意义：极径ρ表示极坐标平面内点M到极点O的距离．
(2)应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出弦长，结合根与系数的关系解题．

(2019·哈尔滨市第三中学高三第一次模拟)已知曲线C1：x＋y＝和C2：(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．
(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；
(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．
解　(1)∵C2的参数方程为(φ为参数)，
∴其普通方程为＋＝1，
又C1：x＋y＝，

角度2　直线参数方程中参数几何意义的应用
例4　(2019·山东高三模拟)在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数，α为直线l的倾斜角)，点P和F的坐标分别为(－1,3)和(1,0)；以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，且·＝22，求α的值．
解　(1)由ρ＝，得ρ2sin2θ＝4ρcosθ，即y2＝4x，
所以曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.
(2)将代入y2＝4x得，t2sin2α＋(6sinα－4cosα)t＋13＝0(sin2α≠0)，
由题意，得Δ＝(6sinα－4cosα)2－4×13sin2α>0，(*)
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝，
由点P在直线l上，得
·＝||·||＝|t1t2|＝，
22＝2||2＝2×()2＝26，
所以＝26，即sinα＝±，
结合0≤α≤π，所以α＝或α＝，将α代入(*)，
可知α＝不适合，α＝适合．
综上，α＝.

对直线参数方程(t为参数)，其中M0(x0，y0)为定点，α为直线倾斜角的理解
(1)几何意义：参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离，若t>0，则的方向向上；若t<0，则的方向向下；若t＝0，则点M与M0重合．
(2)应用：一般应用于过定点的直线与圆锥曲线交于A，B两点，与弦长|AB|及其相关的问题，解决的方法是首先用t表示出弦长，再结合根与系数的关系构造方程、函数式等解决问题．

(2019·广州市普通高中高三综合测试)在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcosθ＋8.
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|＝4，求直线l的倾斜角．
解　(1)因为直线l的参数方程为(t为参数)，当α＝时，直线l的直角坐标方程为x＝2.
当α≠时，
直线l的直角坐标方程为y－＝tanα(x－2)．
因为ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，
又因为ρ2＝2ρcosθ＋8，所以x2＋y2＝2x＋8.
所以C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－8＝0.
(2)因为曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－8＝0，
将直线l的参数方程代入曲线C的方程整理，得
t2＋(2sinα＋2cosα)t－5＝0.
因为Δ＝(2sinα＋2cosα)2＋20>0，所以可设该方程的两个根为t1，t2，则t1＋t2＝－(2sinα＋2cosα)，t1t2＝－5.
所以|AB|＝|t1－t2|＝
＝ ＝4.
整理得(sinα＋cosα)2＝3，故2sin(α＋)＝±.
因为0≤α<π，所以α＋＝或α＋＝，
解得α＝或α＝，
综上所述，直线l的倾斜角为或.
真题押题
『真题模拟』
1．(2019·大庆市高三第三次教学质量检测)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，射线l2的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)．
(1)求直线l1的倾斜角及极坐标方程；
(2)若射线l2与l1交于点M，与圆C交于点N(异于原点)，求|OM|·|ON|.
解　(1)消去方程中的参数t，整理得x＋y－4＝0，
∴直线l1的普通方程为x＋y－4＝0.
设直线l1的倾斜角为α，则tanα＝－，
∵0≤α<π，∴α＝.
把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x＋y－4＝0，可得直线l1的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝4.
(2)把θ＝代入l1的极坐标方程中得|OM|＝ρ1＝，
把θ＝代入圆的极坐标方程中得|ON|＝ρ2＝2，
∴|OM|·|ON|＝ρ1ρ2＝8.
2．(2019·江苏高考)在极坐标系中，已知两点A，B，直线l的方程为ρsin＝3.
(1)求A，B两点间的距离；
(2)求点B到直线l的距离．
解　(1)设极点为O.
在△OAB中，A，B，
由余弦定理，得
|AB|＝ ＝.
(2)因为直线l的方程为ρsin＝3，
所以直线l过点，倾斜角为.
又B，所以点B到直线l的距离为(3－)×sin＝2.
3．(2019·郴州市高三第三次质量检测)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，0≤α<π)，点M(0，－2)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cos（θ＋）.
(1)求曲线C2的直角坐标方程，并指出其形状；
(2)曲线C1与曲线C2交于A，B两点，若＋＝，求sinα的值．
解　(1)由ρ＝4cos（θ＋），得ρ＝4cosθ－4sinθ，
所以ρ2＝4ρcosθ－4ρsinθ，
即x2＋y2＝4x－4y，(x－2)2＋(y＋2)2＝8.
所以曲线C2是以(2，－2)为圆心，2为半径的圆．
(2)将代入(x－2)2＋(y＋2)2＝8，
整理得t2－4tcosα－4＝0，
设点A，B所对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝4cosα，t1t2＝－4.
＋＝＝
＝＝＝
＝.解得cos2α＝，则sinα＝.

解　(1)由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ，
所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，
M2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，
M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ.
(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知
若0≤θ≤，则2cosθ＝，解得θ＝；
若≤θ≤，则2sinθ＝，解得θ＝或θ＝；
若≤θ≤π，则－2cosθ＝，解得θ＝.
综上，P的极坐标为或或或.
『金版押题』
5．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin2θ)＝4，曲线C2：(θ为参数)．
(1)求曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；
(2)极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B都在曲线C1上，求＋的值．
解　(1)由题意可得，曲线C1的直角坐标方程为＋y2＝1，C2的普通方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)由点A，B在曲线C1上，得
ρ＝，ρ＝，
则＝，＝，
因此＋＝＋＝.
配套作业
1．(2019·广西八市高三联合考试)已知曲线l的参数方程为(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos（θ－）.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设P(2,1)，直线l与曲线C交于点A，B，求|PA|·|PB|的值．
解　(1)由ρ＝4cos（θ－），得ρ＝4cosθ＋4sinθ，
∴ρ2＝4ρcosθ＋4ρsinθ，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
∴x2＋y2＝4x＋4y，
即曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.
(2)将代入C的直角坐标方程，得
t2＋（－t－1）2＝8，∴t2＋t－7＝0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，∴t1t2＝－7.
则|PA|·|PB|＝|t1t2|＝7.
2．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是2ρsin＝5，射线OM：θ＝，在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为
(φ为参数)．
(1)求圆C的普通方程及极坐标方程；
(2)射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
解　(1)由圆C的参数方程(φ为参数)知，圆C的圆心为(0,2)，半径为2，
所以圆C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，
将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋(y－2)2＝4，
得圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ.
(2)设P(ρ1，θ1)，则由解得ρ1＝2，θ1＝.
设Q(ρ2，θ2)，则由
解得ρ2＝5，θ2＝，
所以线段PQ的长|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝3.
3．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ－4sinθ＝0.
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点P(1,0)．若点M的极坐标为，直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．
解　(1)∵直线l的参数方程为(t为参数)，
∴直线l的普通方程为y＝tanα·(x－1)．
由ρcos2θ－4sinθ＝0得ρ2cos2θ－4ρsinθ＝0，即x2－4y＝0.
∴曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.
(2)∵点M的极坐标为，
∴点M的直角坐标为(0,1)．
∴tanα＝－1，直线l的倾斜角α＝.
∴直线l的参数方程为(t为参数)．
代入x2＝4y，得t2－6t＋2＝0.
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2.
∵Q为线段AB的中点，
∴点Q对应的参数值为＝＝3.
又点P(1,0)，则|PQ|＝＝3.
4．(2019·兰州市高三二诊)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ.
(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0<α<π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．
解　(1)由曲线C1的参数方程为(φ为参数)，
消去参数得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，
因为曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，所以ρ2＝4ρsinθ.
所以C2的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，
整理得x2＋(y－2)2＝4.

5．在直角坐标系xOy中，已知圆C：(θ为参数)，点P在直线l：x＋y－4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求圆C和直线l的极坐标方程；
(2)射线OP交圆C于点R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|·|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．
解　(1)圆C的极坐标方程ρ＝2，直线l的极坐标方程为ρ＝.
(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，
因为ρ1＝，ρ2＝2，
又因为|OP|2＝|OR|·|OQ|，即ρ＝ρ·ρ2，
所以ρ＝＝×，
所以Q点轨迹的极坐标方程为ρ＝.
6．(2019·青岛市高三一模)直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中α为参数)．以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，曲线C2：ρ＝4sinθ.
(1)求曲线C1的普通方程和极坐标方程；
(2)已知直线l与曲线C1和曲线C2分别交于M和N两点(均异于点O)，求线段MN的长．
解　(1)因为曲线C1的参数方程为(α为参数)，
所以C1的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，　①
在极坐标系中，将代入①得ρ2－4ρcosθ－2ρsinθ＝0，
化简得，C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ＋2sinθ.　②
(2)因为直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，
且直线l与曲线C1和曲线C2分别交于M，N，


7．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(t>0，α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝3.
(1)当t＝1时，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值；
(2)若曲线C上的所有点都在直线l的下方，求实数t的取值范围．
解　(1)由ρsin＝3得ρsinθ＋ρcosθ＝3，
把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入得直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0，
当t＝1时，曲线C的参数方程为(α为参数)，
消去参数得曲线C的普通方程为x2＋y2＝1，
∴曲线C为圆，且圆心为O，则点O到直线l的距离d＝＝，
∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为1＋.
(2)∵曲线C上的所有点均在直线l的下方，
∴对任意的α∈R，tcosα＋sinα－3<0恒成立，
即cos(α－φ)<3恒成立，
∴ <3，又t>0，∴0 ∴实数t的取值范围为(0,2)．
8．(2019·安徽高三4月联考)已知在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρcos（θ＋）＋m＝0.以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为(α为参数)．
(1)求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的极坐标方程；
(2)若曲线C1，C2交于M，N两点，且A(0，m)，|AM|·|AN|＝2，求m的值．
解　(1)∵ρcos（θ＋）＋m＝0，
∴(ρcosθ－ρsinθ)＋m＝0，
则曲线C1的直角坐标方程为x－y＋m＝0，
∵(x－1)2＋y2＝2，∴x2＋y2－2x－1＝0，
则曲线C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－1＝0.
(2)由(1)得曲线C1的参数方程为(t为参数)，代入x2＋y2－2x－1＝0中，
整理得t2＋(m－)t＋m2－1＝0，
Δ＝－2m2－4m＋6>0，解得－3 设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝m2－1，
由t的几何意义得，
|AM||AN|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝|m2－1|＝2，
解得m＝±，又－3