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    数学22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质评优课课件ppt

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    这是一份数学22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质评优课课件ppt,共60页。

    二次函数y=ax2+k的图像和性质
    这个函数的图象是如何画出来呢?
    3. 能说出抛物线y=ax²+k的开口方向、对称轴、顶点.
    1. 会画二次函数y=ax2+k的图象.
    2. 理解抛物线y=ax²与抛物线 y=ax²+k之间的联系.
    在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2 ,y=x2+1,y=x2-1的图象.
    10 5 2 1 2 5 10
    8 3 0 -1 0 3 8
    二次函数y=ax2+k图象的画法
    【思考】抛物线y=x2 、y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么?
    二次函数y = ax2 +k的图象的画法
    例1 在同一直角坐标系中,画出二次函数 y = 2x2 +1, y = 2x2 -1的图象。
    抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么?
    二次函数y=ax2+k的图象和性质
    1.二次函数y=ax2+k的图象和性质(a>0)
    再描点、连线,画出这两个函数的图象:
    【想一想】通过观察图象,二次函数y=ax2+k(a>0)的性质是什么?
    开口方向:向上对称轴:x=0顶点坐标:(0,k)最值:当x=0时,有最小值,y=k增减性:当x<0时,y随x的增大而减小; 当x>0时,y随x的增大而增大.
    二次函数y=ax2+k(a>0)的性质
    2.二次函数y=ax2+k的图象和性质(a<0)
    在同一坐标系内画出下列二次函数的图象:
    根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是 . (2)三条抛物线的开口方向_______;(3)对称轴都是__________(4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________
    (5)顶点都是最____点,函数都有最____值,从上而下最大值分别为_______、_______﹑________(6) 函数的增减性都相同: ____________________________________________________
    对称轴左侧y随x增大而增大
    对称轴右侧y随x增大而减小
    注意:k带前面的符号!
    二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质
    例2 已知二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x=x1+x2时,其函数值为________.
    解析 由二次函数y=ax2+c图象的性质可知,x1,x2关于y轴对称,即x1+x2=0.把x=0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.
    【方法总结】二次函数y=ax2+c的图象关于y轴对称,因此左右两部分折叠可以重合,函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数.
    二次函数y=ax2+k的性质的应用
    抛物线y= −2x2+3的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,y随着x的增大而增大;在 侧,y随着x的增大而减小.
    (x, )
    (x, )
    (x, )
    二次函数y=ax2+k的图象及平移
    观察图象可以发现,把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度,就得到抛物线 ;把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度,就得到抛物线 y=2x2-1.
    二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到:当k > 0 时,向上平移 个单位长度得到.当k < 0 时,向下平移 个单位长度得到.
    上下平移规律: 平方项不变,常数项上加下减.
    二次函数y=ax2 与y=ax2+k(a≠0)的图象的关系
    二次函数y=-3x2+1的图象是将 (   )A.抛物线y=-3x2向左平移3个单位得到 B.抛物线y=-3x2向左平移1个单位得到 C.抛物线y=3x2向上平移1个单位得到 D.抛物线y=-3x2向上平移1个单位得到
    解析 二次函数y=-3x2+1的图象是将抛物线y=-3x2向上平移1个单位得到的.
    1.二次函数y=ax2+k图象的画法分几步?
    2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么?怎样决定的?k决定什么?它的对称轴是什么?顶点坐标怎样表示?
    第一种方法:平移法,分两步即第一步画y=ax2的图象;第二步把y=ax的图象向上(或向下)平移︱k ︱单位.
    第二种方法:描点法,分三步即列表、描点和连线.
    a决定开口方向和大小;k决定顶点的纵坐标.
    将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象所对应的函数表达式是 .
    1.抛物线 y=2x2 向下平移4个单位,就得到抛物线 .  
    3.已知点(m,n)在y=ax2+a(a不为0)的图象上 ,点 (-m,n) ___(填“在”或“不在”)y=ax2+a(a不为0)的图象上.4.若y=x2+(k-2)的顶点是原点,则k____;若顶点位于x轴上方,则k____;若顶点位于x轴下方,则k .
    5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题:
    (1)抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
    (2)函数y=-x2+1,当x 时, y随x的增大而减小;当x 时,函数y有最大值,最大值y是 ,其图象与y轴的交点坐标是 ,与x轴的交点坐标是 .
    (3)试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
    (-1,0),(1,0)
    开口方向向上,对称轴是y轴,顶点坐标(0,-3).
    1.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大,则m=____.2.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为(0,2), 则a=____.3.抛物线y=ax2+c与x轴交于A(-2,0)﹑B两点,与y轴交于点C(0,-4),则三角形ABC的面积是_______.
    1.开口方向由a的符号决定;2.k决定顶点位置;3.对称轴是y轴.
    二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象和性质
    增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
    平移规律:k正向上;k负向下.
    二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
    当x<0时,y随x增大而减小;当x>0时,y随x增大而增大.
    当x<0时,y随x增大而增大;当x>0时,y随x增大而减小.
    x=0时,y最小值=c
    x=0时,y最大值=c
    说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征.
    二次函数 y=ax2+k(a≠0)与 y=ax2(a ≠0) 的图象有何关系?
    答:二次函数y=ax2+k(a ≠ 0)的图象可以由y=ax2(a ≠ 0) 的图象平移得到: 当k > 0 时,向上平移 个单位长度得到. 当k < 0 时,向下平移 个单位长度得到.
    3. 能说出抛物线y=a(x-h)2的开口方向、对称轴、顶点.
    1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.
    2. 理解抛物线y=ax2 与抛物线 y=a(x-h)2的联系.
    二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
    根据所画图象,填写下表:
    【想一想】通过上述例子,函数y=a(x-h)2(a>0)的性质是什么?
    当x=0时,y最小值=0
    当x=2时,y最小值=0
    当x>0时,y随x的增大而增大;当x<0时,y随x的增大而减小
    当x>2时,y随x的增大而增大;当x<2时,y随x的增大而减小
    二次函数y=a(x-h)2(a>0)的图象性质
    【试一试】画出二次函数 的图象,并说出它们的开口方向、对称轴和顶点.
    函数y=a(x-h)2(a<0)的性质(结合图象)
    【想一想】通过上述例子,函数y=a(x-h)2(a<0)的性质是什么?
    二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象性质
    当x=h时,y最小值=0
    当x<h时,y随x的增大而减小;x>h时,y随x的增大而增大.
    当x=h时,y最大值=0
    当x>h时,y随x的增大而减小;x<h时,y随x的增大而增大.
    二次函数y = a(x-h)2 的图象和性质
    利用函数的性质比较函数值的大小时,首先确定函数的对称轴,然后判断所给点与对称轴的位置关系,若同侧,直接比较大小;若异侧,先依对称性转化到同侧,再比较大小.
    1.已知二次函数y=-(x+h)2,当x<-3时,y随x的增大而增大,当x>-3时,y随x的增大而减小,当x=0时,y的值是( ) A.-1 B.-9 C.1 D.9
    二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系
    抛物线 , 与抛物线 有什么关系?
    可以看作互相平移得到.
    左右平移规律: 括号内左加右减;括号外不变.
    当向左平移 ︱h︱ 个单位时
    当向右平移 ︱h︱个单位 时
    二次函数y=a(x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系
    例2 抛物线y=ax2向右平移3个单位后经过点(-1,4),求a的值和平移后的函数关系式.
    解:二次函数y=ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y=a(x-3)2,把x=-1,y=4代入,得4=a(-1-3)2, ,因此平移后二次函数关系式为y= (x-3)2.
    方法总结:根据抛物线左右平移的规律,向右平移3个单位后,a不变,括号内应“减去3”;若向左平移3个单位,括号内应“加上3”,即“左加右减”.
    二次函数平移性质的应用
    将二次函数y=-2x2的图象平移后,可得到二次函数y=-2(x+1)2的图象,平移的方法是(  )A.向上平移1个单位  B.向下平移1个单位 C.向左平移1个单位  D.向右平移1个单位
    解析 抛物线y=-2x2的顶点坐标是(0,0),抛物线y=-2(x+1)2的顶点坐标是(-1,0).则由二次函数y=-2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y=-2(x+1)2的图象.
    已知二次函数y=﹣(x﹣h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为﹣1,则h的值为(  )A.3或6 B.1或6 C.1或3 D.4或6
    1. 把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度,那么平移后抛物线的解析式是 .2. 二次函数y=2(x- )2图象的对称轴是直线_______,顶点是________.3. 若(- ,y1)(- ,y2)( ,y3)为二次函数y=(x-2)2图象上的三点,则y1 ,y2 ,y3的大小关系为_______________.
    y=-(x+3)2或y=-(x-3)2
    y1 >y2 > y3
    4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
    在同一坐标系中,画出函数y=2x2与y=2(x-2)2的图象,分别指出两个图象之间的相互关系.
    解:图象如图.函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到.
    在直角坐标系中画出函数y= (x-3)2的图象.(1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;(2)说明该函数图象与二次函数y= x2的图象的关系;(3)根据图象说明,何时y随x的增大而减小,何时y随x的增大而增大,何时y有最大(小)值,是多少?
    解:(1)开口向上,对称轴为x=3,顶点坐标为(3,0).(3)当x>3时,y随x的增大而增大,当x<3时,y随x的增大而减小,当x=3时,y有最小值,为0.
    探索y=a(x-h)2的图象及性质
    a>0,开口向上a<0,开口向下
    平移规律:括号内左加右减;括号外不变.
    二次函数y=a(x-h)2 +k的图象和性质
    说出平移方式,并指出其顶点与对称轴.
    顶点在x轴上(h,0)
    顶点 在y轴上(0,k)
    【思考】 顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢?
    3. 能说出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点.
    1. 能画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.
    2. 理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系.
    二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
    画出函数y=2(x+1)2-2图象,并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.
    开口方向向下;对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2)
    当xh时,y随x增大而减小.
    当xh时,y随x增大而增大.
    x=h时,y最小值=k
    x=h时,y最大值=k
    例1 已知二次函数y=a(x-1)2-c的图象如图所示,则一次函数y=ax+c的大致图象可能是(  )
    解析 根据二次函数开口向上则a>0,根据-c是二次函数顶点坐标的纵坐标,得出c>0,故一次函数y=ax+c的大致图象经过第一、二、三象限.
    利用二次函数y= a(x-h)2+k的性质识别图象
    在同一坐标系内,一次函数y=ax+2与二次函数y=x²+a的图象可能是( )
    向左平移一个单位,再向下平移一个单位
    二次函数y= a(x-h)2+k的图象与平移
    y=a(x-h)2+k
    二次函数y=a(x-h)2+k的几种图象:
    这些图象与抛物线y=ax2有什么关系?
    一般地,抛物线y=a(x-h) ²+k与y=ax²形状相同,位置不同.把抛物线y=ax²向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x-h) ²+k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
    向左(右)平移|h|个单位
    向上(下)平移|k|个单位
    y=a(x-h) 2+k
    y=a(x-h)2+k
    (1)当a>0时, 开口向上;
    当a<0时,开口向下;
    (2)对称轴是直线x=h;
    (3)顶点是(h,k).
    抛物线y=a(x-h)2+k的特点
    可以看作互相平移得到的.
    y = ax2 + k
    y = a(x - h )2
    y = a( x - h )2 + k
    简记为:上下平移,括号外上加下减;左右平移,括号内左加右减.二次项系数a不变.
    二次函数y=ax2 与y=a(x-h)2+k的关系
    例2 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
    解:如图建立直角坐标系,
    点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
    因此可设这段抛物线对应的函数是
    ∵这段抛物线经过点(3,0),
    ∴ 0=a(3-1)2+3.
    因此抛物线的解析式为:
    y=a(x-1)2+3 (0≤x≤3).
    当x=0时,y=2.25.
    答:水管长应为2.25m.
    如图所示,已知一个大门呈抛物线型,其地面宽度AB=18m,一个同学站在门内,在离门脚B点1m远的D处,垂直地面立起一根1.7m长的木杆,其顶端恰好定在抛物线形门上C处,请你求出大门的高h的值.
    解:如图,建立平面直角坐标系,
    设抛物线解析式为y=ax2+k.由题意得B(9, 0),C(8, 1.7).
    把B、C两点的坐标代入y=ax2+k,得
    ∴y=-0.1x2+8.1,∴h=k=8.1,即大门高8.1m.
    点拔:此题还可以以AB所在直线为x轴,A点或B点为原点,建立平面直角坐标系,求得抛物线的解析式,进而得出顶点坐标,顶点的纵坐标即为h的值.
    1.抛物线y=3(x﹣1)2+1的顶点坐标是(  )A.(1,1) B.(﹣1,1)C.(﹣1,﹣1) D.(1,﹣1)
    2.将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为(  )A.y=﹣5(x+1)2﹣1 B.y=﹣5(x﹣1)2﹣1C.y=﹣5(x+1)2+3 D.y=﹣5(x﹣1)2+3
    y=-3(x-1)2-2
    y = 4(x-3)2+7
    y=-5(2-x)2-6
    2.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位,再向右平移1个单位,那么所得抛物线是___________________.
    4.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到 y=-3x2 .
    3.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位,再向上平移1个单位,得到抛物线的解析式为 _____________ .
    答:先向左平移一个单位,再向下平移两个单位.
    5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到,请直接写出该二次函数的解析式.
    y=5(x+1)2+3
    已知二次函数的图象过坐标原点,它的顶点坐标是(1,-2),求这个二次函数的关系式.
    解:由函数顶点坐标是(1,-2),设二次函数的关系式为y=a(x-1)2-2.图象过点(0,0),则0=a(0-1)2-2, 解得a=2∴这个二次函数的关系式为y=2(x-1)2-2.
    小敏在某次投篮中,球的运动线路是抛物线y= x2+3.5的一部分(如图),若命中篮圈中心,则她与篮底的距离l是( )A.3.5 m B.4 m C.4.5 m D.4.6 m
    解析:由图可以知道,小敏与篮底的距离就是AB.因为AB=OA+OB,OA=2.5m,所以要求OB即可,而OB就是篮圈中心的横坐标,设为a,则篮圈中心的坐标就是(a,3.5),点在抛物线上,即:3.5= a2+3.5,整理得:a2=2.25,即a=±1.5,a=-1.5(舍去),故a=1.5,因此AB=4.
    向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位
    向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位
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