初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试精品习题

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试精品习题，共10页。试卷主要包含了已知x为实数，且满足等内容，欢迎下载使用。

第21章 一元二次方程


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m＝0的常数项是4，则m等于（ ）


A．1B．2C．3D．4


2．一元二次方程x2+4x＝2配方后化为（ ）


A．（x+2）2＝6B．（x﹣2）2＝6C．（x+2）2＝﹣6D．（x+2）2＝﹣2


3．关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（ ）


A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1


4．一元二次方程4x2﹣2x+＝0根的情况是（ ）


A．没有实数根B．只有一个实数根


C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根


5．已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3＝0的两根，则下列结论一定正确的是（ ）


A．x1≠x2B．x1+x2＜0C．x1•x2＞0D．x1＞0，x2＞0


6．如果长方形的宽增加1cm，长减少1cm，那么其面积增加3cm2．已知原长方形的面积为12cm2，则原长方形的长和宽分别为（ ）


A．7cm，3cmB．6cm，2cmC．4cm，3cmD．5cm，2.4cm


7．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x﹣1的值为（ ）


A．±2B．0或﹣4C．0D．2


8．对于任意实数x，多项式x2﹣2x+3的值是一个（ ）


A．正数B．负数C．非负数D．不能确定


9．2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（ ）


A．（1+n）2＝931B．n（n﹣1）＝931C．1+n+n2＝931D．n+n2＝931


10．若α、β是方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）


A．2018B．2020C．﹣2020D．4040


二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）


11．如果（m+2）x|m|+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为 ．


12．若x2﹣9＝0，则x＝ ．


13．关于x的方程mx2+2（m+1）x+m＝0有实根，则m的取值范围是 ．


14．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，则该三角形的周长为 ．


15．某种服装原价为200元，现连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知降价后的价格不能低于进价110元，且第一次降价后的价格比第二次降价后的价格高32元，则每次降价的百分率是 ．


16．若方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根分别为x1和x2，则＝ ．


三．解答题（共8小题，满分66分）


17．（10分）解方程：


（1）3x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0． （2）3x2﹣5x﹣1＝0．





18．（7分）已知关于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0．小聪认为，无论a为何实数，这个方程都是一元二次方程；而小明认为，方程的类型要取决于字母a的取值．你认为谁的判断是正确的，并简述理由．





19．（7分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣2）x﹣2＝0（m≠0）．


（1）求证：方程一定有实数根；


（2）若此方程有两个不相等的整数根，求整数m的值．





20．（8分）小张2019年末开了一家商店，受疫情影响，2020年4月份才开始盈利，4月份盈利6000元，6月份盈利达到7260元，且从4月份到6月份，每月盈利的平均增长率都相同．


（1）求每月盈利的平均增长率．


（2）按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到多少元？








21．（8分）适逢中高考期间，某文具店平均每天可卖出30支2B铅笔，卖出1支铅笔的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出10支铅笔，为了使每天获取的利润更多，该文具店决定把零售单价下降x元（0＜x＜1）．


（1）当x为多少时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元？


（2）该文具店每天卖2B铅笔获取的利润可以达到50元吗？如果能，请求出，如果不能，请说明理由．








22．（8分）基本事实：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通过因式分解化为（x﹣3）（x+2）＝0，由基本事实得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解为x＝3或x＝﹣2．


（1）试利用上述基本事实，解方程：3x2﹣x＝0；


（2）若实数m、n满足（m2+n2）（m2+n2﹣1）﹣6＝0，求m2+n2的值．








23．（9分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）．


（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？


（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由．

















24．（9分）发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10＝0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．


涵涵的作业


探究应用：请解答以下问题：


已知等腰三角形ABC的两边是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．


（1）当m＝2时，求△ABC的周长；


（2）当△ABC为等边三角形时，求m的值．



































参考答案


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．解：由题意得：2m＝4，


解得：m＝2，


故选：B．


2．解：∵x2+4x＝2，


∴x2+4x+4＝2+4，


∴（x+2）2＝6．


故选：A．


3．解：∵关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，


∴x1x2＝﹣2x2＝﹣2，x1+x2＝﹣2+1＝﹣，


解得：x2＝1，k＝2，


则方程的另一个根x2和k的值为x2＝1，k＝2．


故选：A．


4．解：在方程4x2﹣2x+＝0中，


∵△＝（﹣2）2﹣4×4×＝0，


∴一元二次方程4x2﹣2x+＝0有两个相等的实数根．


故选：C．


5．解：A、∵△＝b2﹣4×1×（﹣3）＝b2+12＞0，


∴x1≠x2，结论A正确；


B、∵x1、x2是关于x的方程x2+bx﹣3＝0的两根，


∴x1+x2＝﹣b，


∵b的值不确定，


∴结论B不一定正确；


C、∵x1、x2是关于x的方程x2+bx﹣3＝0的两根，


∴x1•x2＝﹣3，结论C错误；


D、∵x1•x2＝﹣3，


∴x1、x2异号，结论D错误．


故选：A．


6．解：设长方形的长为xcm，则长方形的宽为cm，


依题意，得：（x﹣1）（+1）＝12+3，


整理，得：x2﹣4x﹣12＝0，


解得：x1＝6，x2＝﹣2（不合题意，舍去），


∴＝2．


故选：B．


7．解：由y＝x2+3x，


则（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，可化为：y2+2y﹣3＝0，


分解因式，得，（y+3）（y﹣1）＝0，


解得，y1＝﹣3，y2＝1，


当x2+3x＝﹣3时，△＝32﹣3×4＝﹣3＜0，方程无实数根，


当x2+3x＝1时，△＝9+4×1＝13＞0．


∴x2+3x﹣1＝0


故选：C．


8．解：多项式x2﹣2x+3变形得x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2，


任意实数的平方都是非负数，其最小值是0，


所以（x﹣1）2+2的最小值是2，


故多项式x2﹣2x+3的值是一个正数，


故选：A．


9．解：由题意，得


n2+n+1＝931，


故选：C．


10．解：∵α是方程x2+2x﹣2020＝0的根，


∴α2+2α﹣2020＝0，


即α2＝﹣2α+2020，


∴α2+3α+β＝﹣2α+2020+3α+β


＝α+β+2020，


∵α、β是方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，


∴α+β＝﹣2，


∴α2+3α+β＝﹣2+2020＝2018．


故选：A．


二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）


11．解：由题意得：|m|＝2且m+2≠0，


解得m＝±2，m≠﹣2，


∴m＝2，


故答案为：2．


12．解：∵x2﹣9＝0，


∴x2＝9，


∴x＝±3．


故答案为：±3．


13．解：当m≠0时，∵关于x的方程mx2+2（m+1）x+m＝0有实根，


∴△＝4（m+1）2﹣4m2≥0，


解得m≥﹣；


当m＝0时，方程为2x＝0，


解得x＝0；


综上，m≥﹣；


故答案为：m≥﹣．


14．解：∵x2﹣8x+12＝0，


∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，


∴x1＝2，x2＝6，


∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，2+2＜5，2+5＞6，


∴三角形的第三边长是6，


∴该三角形的周长为：2+5+6＝13．


故答案为：13．


15．解：设每次降价的百分率为x，


依题意，得：200（1﹣x）﹣200（1﹣x）2＝32，


整理，得：25x2﹣25x+4＝0，


解得：x1＝0.2＝20%，x2＝0.8＝80%．


当x＝20%时，200（1﹣x）2＝128＞110，符合题意；


当x＝80%时，200（1﹣x）2＝8＜110，不符合题意，舍去．


故答案为：20%．


16．解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，


所以+＝＝＝﹣．


故答案为﹣．


三．解答题（共8小题，满分66分）


17．解：（1）3x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0，


（x﹣4）（3x﹣2）＝0，


x﹣4＝0，3x﹣2＝0，


x1＝4，x2＝；


（2）3x2﹣5x﹣1＝0，


b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣1）＝37，


x＝，


x1＝，x2＝．


18．解：小聪正确．


∵a2﹣4a+5＝（a2﹣4a+4）+1＝（a﹣2）2+1，


又∵（a﹣2）2≥0


∴（a﹣2）2+1＞0


即该方程的二次项系数不为0


∴无论a为何实数，这个方程都是一元二次方程．


19．（1）证明：∵m≠0，


△＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣2）


＝m2﹣4m+4+8m


＝m2+4m+4


＝（m+2）2≥0，


∴方程一定有实数根；


（2）x＝，


∴x1＝1，x2＝﹣，


当整数m取±1，±2时，x2为整数，


∵方程有两个不相等的整数根，


∴整数m为﹣1，1，2．


20．解：（1）设每月盈利的平均增长率为x，


依题意，得：6000（1+x）2＝7260，


解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．


答：每月盈利的平均增长率为10%．


（2）7260×（1+10%）＝7986（元）．


答：按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到7986元．


21．解：（2）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝40，


整理得：10x2﹣7x+1＝0，


解得：x1＝0.2，x2＝0.5．


答：当x为0.2或0.5时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元．


（2）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝50，


整理得：10x2﹣7x+2＝0，


△＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×10×2＝﹣31＜0．


答：该文具店每天卖2B铅笔获取的利润不可以达到50元．


22．解：（1）由原方程，得x（3x﹣1）＝0


∴x＝0或3x﹣1＝0


解得：x1＝0，x2＝；


（2）t＝m2+n2（t≥0），则由原方程，得t（t﹣1）﹣6＝0．


整理，得（t﹣3）（t+2）＝0．


所以t＝3或t＝﹣2（舍去）．


即m2+n2的值是3．


23．解：（1）∵S△PCQ＝×2t（16﹣4t），S△ABC＝×8×16＝64，


∴2t（16﹣4t）＝64×，


整理得t2﹣4t+4＝0，


解得t＝2．


答：当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的；


（2）当△PCQ的面积与四边形ABPQ面积相等，即：当S△PCQ＝S△ABC时，×2t（16﹣4t）＝64×，


整理得t2﹣4t+8＝0，


△＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，


∴此方程没有实数根，


∴△PCQ的面积不能与四边形ABPQ面积相等．


24．解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．


错误原因：此时不能构成三角形．


（1）当m＝2时，方程为x2﹣2x+＝0，


∴x1＝，x2＝．


当为腰时，+＜，


∴、、不能构成三角形；


当为腰时，等腰三角形的三边为、、，


此时周长为++＝．


答：当m＝2时，△ABC的周长为．


（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，


∴△＝（﹣m）2﹣4（﹣）＝m2﹣2m+1＝0，


∴m1＝m2＝1．


答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．


解：x2﹣7x+10＝0


a＝1 b＝﹣7 c＝10


∵b2﹣4ac＝9＞0


∴x＝＝


∴x1＝5，x2＝2


所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．


当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．