人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性精练

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性精练，共5页。

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[合格基础练]


一、选择题


1．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－eq \f(1,2)x，则f(1)＝( )


A．－eq \f(3,2) B．－eq \f(1,2)


C.eq \f(3,2) D.eq \f(1,2)


A [因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－eq \f(3,2).]


2．若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有( )


A．f(x)f(－x)>0 B．f(x)f(－x)<0


C．f(x)f(－x)


B [∵f(x)为奇函数，


∴f(－x)＝－f(x)，


又f(x)≠0，


∴f(x)f(－x)＝－[f(x)]2<0.]


3．函数f(x)＝2x－eq \f(1,x)的图像关于( )


A．y轴对称 B．直线y＝－x对称


C．直线y＝x对称 D．坐标原点对称


D [函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，


则f(－x)＝－2x＋eq \f(1,x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))＝－f(x)，


则函数f(x)是奇函数，则函数f(x)＝2x－eq \f(1,x)的图像关于坐标原点对称．故选D.]


4．下列函数为奇函数的是( )


A．y＝－|x| B．y＝2－x


C．y＝eq \f(1,x3) D．y＝－x2＋8


C [A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．]


5．下列说法中错误的个数为( )


①图像关于坐标原点对称的函数是奇函数；


②图像关于y轴对称的函数是偶函数；


③奇函数的图像一定过坐标原点；


④偶函数的图像一定与y轴相交．


A．4 B．3


C．2 D．1


C [由奇函数、偶函数的性质，知①②说法正确；对于③，如f(x)＝eq \f(1,x)，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是奇函数，但它的图像不过原点，所以③说法错误；对于④，如f(x)＝eq \f(1,x2)，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函数，但它的图像不与y轴相交，所以④说法错误．故选C.]


二、填空题


6．已知f(x)＝x3＋2x，则f(a)＋f(－a)的值为________．


0 [∵f(－x)＝－x3－2x＝－f(x)，


∴f(－x)＋f(x)＝0，


∴f(a)＋f(－a)＝0.]


7．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是________．


2 [∵f(x)为偶函数，故m－2＝0，∴m＝2.]


8．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.


－5 [由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.]


三、解答题


9．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图像如图所示．





(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图像；


(2)比较f(1)与f(3)的大小．


[解] (1)由于f(x)是奇函数，则其图像关于原点对称，其图像如图所示．





(2)观察图像，知f(3)

10．已知函数f(x)＝x＋eq \f(m,x)，且f(1)＝3.


(1)求m的值；


(2)判断函数f(x)的奇偶性．


[解] (1)由题意知，f(1)＝1＋m＝3，


∴m＝2.


(2)由(1)知，f(x)＝x＋eq \f(2,x)，x≠0.


∵f(－x)＝(－x)＋eq \f(2,－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,x)))＝－f(x)，


∴函数f(x)为奇函数．


[等级过关练]


1．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )


A．f(x)g(x)是偶函数


B．|f(x)|g(x)是奇函数


C．f(x)|g(x)|是奇函数


D．|f(x)g(x)|是奇函数


C [∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．


再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数，故选C.]


2．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝( )


A．21 B．－21


C．26 D．－26


B [设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数，由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，求得g(－3)＝13.又g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21.]


3．设函数f(x)＝eq \f(x＋1x＋a,x)为奇函数，则a＝________.


－1 [∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，


即eq \f(－x＋1－x＋a,－x)＝－eq \f(x＋1x＋a,x).


显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.]


4．设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图像如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．





[－6，－3)∪(0,3) [由f(x)在[0,6]上的图像知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3)．又f(x)为奇函数，图像关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．]


5．已知函数f(x)＝eq \f(ax2＋1,bx＋c)是奇函数，且f(1)＝3，f(2)＝5，求a，b，c的值．


[解] 因为函数f(x)＝eq \f(ax2＋1,bx＋c)是奇函数，


所以f(－x)＝－f(x)，


故eq \f(a－x2＋1,b－x＋c)＝－eq \f(ax2＋1,bx＋c)，


即eq \f(ax2＋1,－bx＋c)＝－eq \f(ax2＋1,bx＋c)，


所以－bx＋c＝－(bx＋c)，即c＝－c，解得c＝0.


所以f(x)＝eq \f(ax2＋1,bx).而f(1)＝eq \f(a×12＋1,b×1)＝eq \f(a＋1,b)＝3，


所以a＋1＝3b.①


由f(2)＝5，即eq \f(a×22＋1,b×2)＝eq \f(4a＋1,2b)＝5.②


解①②组成的方程组，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(7,2)，,b＝\f(3,2).))


故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(7,2)，,b＝\f(3,2)，,c＝0.))