高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.2.1 命题与量词获奖教学设计

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1.2.1 命题与量词








1．命题


可供真假判断的陈述语句是命题，而且， 判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题．


2．全称量词和全称量词命题


(1)一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，并用符号“∀”表示．


(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．


3．存在量词和存在量词命题


(1)“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，并用符号“∃”表示．


(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在集合M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．


思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．


提示：是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．





1．下列语句中，命题的个数为( )


①空集是任何非空集合的真子集； ②起立！ ③垂直于同一平面的两条直线平行吗？ ④若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0.


A．1 B．2 C．3 D．4


B [①④为命题，②是祈使句，③是疑问句，都不是命题，故选B.]


2．下列命题中，全称量词命题的个数为( )


①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；


③存在一个菱形，它的四条边不相等．


A．0 B．1 C．2 D．3


C [①②是全称量词命题，③是存在量词命题．]


3．下列存在量词命题中真命题的个数是( )


①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x∈{x|x是整数}，x2是整数．


A．0 B．1 C．2 D．3


D [①②③都是真命题．]


4．用存在量词表示下列语句：“有一个实数乘以任意一个实数都等于0”表示为________．


[答案] 存在一个实数x，它乘以任意一个实数都等于0





【例1】 (1)下列语句中为命题的是( )


A．m＋n B．{0}∈N


C．函数与图像 D．2x＞3


(2)下列语句中不是命题的有________．(填序号)


①无理数的平方是有理数吗？


②王明同学的素描多么精彩啊！


③若x，y都是奇数，则x＋y是偶数；


④请说普通话；


⑤x2－xy＋y2≥0.


(1)B (2)①②④ [(1)只有B选项可判断真假．


(2)①不是命题，因为是疑问句不是陈述句；


②④分别是感叹句和祈使句，所以都不是命题；


③⑤是命题，因为它们能判断真假．]





一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假．其流程图如图：











1．下列语句中，是命题的为________．(填序号)


①红豆生南国；


②作射线AB；


③中国领土不可侵犯！


④当x≤1时，x2－3x＋2≤0.


①④ [②和③都不是陈述句，根据命题定义可知①④是命题．]





【例2】 下列命题是真命题的为( )


A．{x∈N|x3＋1＝0}不是空集


B．若eq \f(1,x)＝eq \f(1,y)，则x＝y


C．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0


D．若整数m是偶数，则m是合数


B [A中，x∈N，x3≥0，{x∈N|x3＋1＝0}是空集，故为假命题；B中，由eq \f(1,x)＝eq \f(1,y)可推出x＝y；C中，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；D中，2是偶数，但2是质数，故是假命题．]





判断命题真假性的两个技巧


(1)真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学的推理论证得出要证的结论．


(2)假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一反例即可．








2．下列四个命题为真命题的有( )


①若x＞1，则x2＞1；②梯形不是平行四边形； ③全等三角形的面积相等．


A．1个 B．2个


C．3个 D．0个


C [①②③是真命题．]





【例3】 下列命题是全称量词命题的个数是( )


①任何实数都有立方根； ②所有的质数都是奇数； ③有的平行四边形是矩形； ④三角形的内角和是180°.


A．0 B．1 C．2 D．3


D [命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有3个全称量词命题：①②④.]





全称量词命题的常用表示形式：


1所有的 x∈M，rx；


2对一切x∈M，rx；


3对每一 个x∈M，rx；


4任选一个x∈M，rx；


5任意x∈M，rx.








3．下列不是全称量词命题的是 ( )


A．任何一个实数乘零都得零


B．自然数都是整数


C．高一(1)班绝大多数同学是团员


D．每一个四边形的内角和都是180°


C [“高一(1)班绝大多数同学是团 员”，即“高一(1)班有的同学不是团员”，不是全称量词命题．]





【例4】 下列命题中存在量词命题的个数是( )


①至少有一个偶数是质数； ②∃x∈R，x2－1＞0; ③有的平行四边形是菱形．


A．0 B．1 C．2 D．3


D [①中含有存在量词“至少有一个”， 所以是存在量词命题；②中含有存在量词符号 “∃”，所以是存在量词命题；③中含有存在量词 “有的”，所以是存在量词命题．]





存在量词命题的常用表示形式：1存在 x∈M，sx；2至少有一个x∈M，sx；3对有些x∈M，sx；4对某个x∈M，sx；5有一个x∈M，sx.)








4．下列语句是存在量词命题的是 ( )


A．整数n是2和5的倍数


B．存在整数n，使n能被7整除


C．x＞7


D．∀x∈M，p(x)成立


B [B选项中有存在量词“存在”，故是存在量词命题，A和C不是命题，D是全称量词命题. ]





【例5】 用全称量词或存在量词表示下列语句．


(1)不等式x2＋x＋1＞0恒成立；


(2)当x为有理数时，eq \f(1,3)x2＋eq \f(1,2)x＋1也是有理数；


(3)方程3x－2y＝10有整数解．


[解] (1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1＞0成立．


(2)对任意有理数x, eq \f(1,3)x2＋eq \f(1,2)x＋1是有理数．


(3)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．





1．判断一个命题是存在量词命题，还是全称量词命题，要根据命题中所含量词来判断．


2．有些命题中表面上看并不含量词，但从意义上理解却含有“全部”“所有”等这样的意思，也是全称量词命题．








5．用全称量词或存在量词表示下列语句．


(1)有理数都能写成分数形式；


(2)方程x2＋2x＋8＝0有实数解．


[解] (1)任意一个有理数都能写成分数形式．


(2)存在实数x，使方程x2＋2x＋8＝0成立．





【例6】 试判断下面命题的真假．


(1)∀x∈R，x2＋2＞0;


(2)∀x∈N，x4≥1；


(3)∃x∈Z，x3＜1；


(4)∀x∈Q，x2＝3.


[解] (1)由于 x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0，所以命题“ ∀x∈R，x2＋2＞0”是真命题．


(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．


(3)由于－1∈Z，当x＝－1时，能使x3＜1，所以命题“∃x∈Z，x3＜1”是真命题．


(4)由于使x2＝3成立的数只有±eq \r(3)，而它们都不是有理数．因此，任何一个有理数的平方都不等于3，所以命题“∀x∈Q，x2＝3”是假命题．





1．要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立；要判定一个全称量词命题是假命题， 只要能举出集合M中的一个x＝x0，使p(x0)不成立即可．


2．判断一个存在量词命题真假的依据：若在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立，则这个存在量词命题是真命题，否则是假命题．








6．判断下列命题的真假．


(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对 (x，y)都对应一点P;


(2)每一条线段的长度都能用正有理数表示；


(3)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．


[解] (1)真命题. (2)假命题，如边长为1的正方形的对角线长eq \r(2)，它的长度就不能用有理数表示．(3)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．





1．根据命题的意义，可以判断真假的陈述句是命题，真命题要给出证明，假命题只需举一反例即可．


2．判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称量词命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．


3．要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题．


4．要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.





1．下列语句不是命题的有( )


①若a>b，b>c，则a>c；②x>2；③3<7.


A．0个 B．1个 C．2个 D．3个


B [①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②不能判断真假，不是命题．]


2．下列命题是存在量词命题的是( )


A．对顶角相等


B．正方形都是四边形


C．不相交的两条直线是平行直线


D．存在实数大于等于1


D [选项D中含有存在量词“存在”，所以根据存在量词命题的定义知选D.]


3．下列命题： ①所有合数都是偶数； ②x∈R，(x－1)2＋1≥1；③有些无理数的平方还是无理数．其中既是全称量词命题，又是真命题的个数是( )


A．0 B．1 C．2 D．3


B [命题①是假命题；命题②既是全称量词命题，又是真命题；命题③既是存在量词命题， 又是真命题，故选B.]


4．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平行四边形是梯形；③若x，y互为相反数，则x＋y＝0，其中真命题为________．


①③ [①是真命题；②平行四边形不是梯形，假命题；③是真命题．]学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解命题的含义，并会判断其真假.


2．理解全称量词与全称量词命题的定义．


3．理解存在量词与存在量词命题的定义 .


4．能准确地使用全称量词和存在量词符号(即“∀，∃”)来表述相关的数学内容．(重点)


5．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(重点、难点)
1.通过对命题、全称量词、存在量词的理解，培养数学抽象的素养．


2．借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算能力.
命题概念的核心要素
命题真假的判断
全称量词和全称量词命题
存在量词和存在量词命题
全称量词命题和存在量词命题的改写
全称量词命题和存在量词命题的真假判断