高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用精品第1课时教案

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第1课时 均值不等式








1．算术平均值与几何平均值


对于正数a，b，常把eq \f(a＋b,2)叫做a，b的算术平均值，把eq \r(ab)叫做a，b的几何平均值．


2．均值不等式


(1)当a＞0，b＞0时，有eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立；


(2)均值不等式的常见变形


①当a＞0，b＞0，则a＋b≥2eq \r(ab)；


②若a＞0，b＞0，则ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2.





1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )


A．a＝±1 B．a＝1


C．a＝－1 D．a＝0


B [当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时“＝”成立．]


2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是( )


A．a2＋b2 B．2eq \r(ab) C．2ab D．a＋b


D [∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，b2＜b，


∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(a≠b)，


∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.


又∵a＋b＞2eq \r(ab)(a≠b)，∴a＋b最大．]


3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为( )


A．1 B．2 C．4 D．8


B [∵a>0，b>0，∴a＋b≥2eq \r(ab)＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.]


4．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________．


①eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)；②a－b≥2eq \r(ab)；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.


③ [根据eq \f(a2＋b2,2)≥ab，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]





【例1】 给出下面三个推导过程：


①∵a，b为正实数，∴eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2；


②∵a∈R，a≠0，∴eq \f(4,a)＋a≥2eq \r(\f(4,a)·a)＝4；


③∵x，y∈R，xy＜0，∴eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝－－eq \f(x,y)＋－eq \f(y,x)≤－2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x))))＝－2.


其中正确的推导为( )


A．①② B．①③


C．②③ D．①②③


B [①∵a，b为正实数，∴eq \f(b,a)，eq \f(a,b)为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确．


②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件，


∴eq \f(4,a)＋a≥2eq \r(\f(4,a)·a)＝4是错误的．


③由xy＜0，得eq \f(x,y)，eq \f(y,x)均为负数，但在推导过程中将整体eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)提出负号后，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x)))均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]





1．均值不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2) (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．


2．对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：


(1)定理成立的条件是a，b都是正数．


(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)的等号成立，即a＝b⇒eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；仅当a＝b时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的等号成立，即eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)⇒a＝b.








1．下列不等式的推导过程正确的是________．


①若x＞1，则x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2；


②若x＜0，则x＋eq \f(4,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,x)))))≤－2eq \r(－x·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,x))))＝－4；


③若a，b∈R，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.


② [ ①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x＝eq \f(1,x)时，即x＝1时，x＋eq \f(1,x)≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋eq \f(1,x)＞2，③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．]





【例2】 (1)已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是( )


A．a＋b≥2eq \r(ab) B.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2


C.eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥2eq \r(ab) D.eq \f(2ab,a＋b)≥eq \r(ab)


(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．


(1)D (2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac [(1)由eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)得a＋b＝2eq \r(ab)，


∴A成立；


∵eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，∴B成立；


∵eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥eq \f(2ab,\r(ab))＝2eq \r(ab)，∴C成立；


∵eq \f(2ab,a＋b)≤eq \f(2ab,2\r(ab))＝eq \r(ab)，∴D不一定成立．


(2)∵a，b，c互不相等，


∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac.


∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．


即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.]





1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．


2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2eq \r(ab)成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.








2．如果0＜a＜b＜1，P＝eq \f(a＋b,2)，Q＝eq \r(ab)，M＝eq \r(a＋b)，那么P，Q，M的大小顺序是( )


A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q


C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P


B [显然eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)，又因为eq \f(a＋b,2)＜eq \r(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(由a＋b＞\f(a＋b2,4)也就是\f(a＋b,4)＜1可得))，所以eq \r(a＋b)＞eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab).故M＞P＞Q.]





【例3】 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9.


[思路点拨] 看到eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．


[证明] ∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，


∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(a＋b＋c,a)＋eq \f(a＋b＋c,b)＋eq \f(a＋b＋c,c)


＝3＋eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)＋eq \f(a,b)＋eq \f(c,b)＋eq \f(a,c)＋eq \f(b,c)


＝3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)＋\f(b,c)))


≥3＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq \r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2eq \r(\f(c,b)·\f(b,c))


＝3＋2＋2＋2


＝9.


当且仅当a＝b＝c时取等号，


∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9.





本例条件不变，求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))>8.


[证明] ∵a，b，c∈R＋，


且a＋b＋c＝1，


∴eq \f(1,a)－1＝eq \f(b＋c,a)>0，eq \f(1,b)－1＝eq \f(a＋c,b)>0，eq \f(1,c)－1＝eq \f(a＋b,c)>0，


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))


＝eq \f(b＋c,a)·eq \f(a＋c,b)·eq \f(a＋b,c)


≥eq \f(2\r(bc)·2\r(ac)·2\r(ab),abc)＝8，


当且仅当a＝b＝c时取等号，


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))＞8.





1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．


2．先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．








3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.


[证明] 由均值不等式可得


a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，


同理，b4＋c4≥2b2c2，


c4＋a4≥2a2c2，


∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，


从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.


4．已知a＞1，b＞0，eq \f(1,a)＋eq \f(3,b)＝1，求证：a＋2b≥2eq \r(6)＋7.


[证明] 由eq \f(1,a)＋eq \f(3,b)＝1，得b＝eq \f(3a,a－1)(a＞1)，


则a＋2b＝a＋eq \f(6a,a－1)＝a＋eq \f(6a－1＋6,a－1)


＝a＋eq \f(6,a－1)＋6＝(a－1)＋eq \f(6,a－1)＋7


≥2eq \r(6)＋7，


当且仅当a－1＝eq \f(6,a－1)时，即a＝1＋eq \r(6)时，取等号．





1．应用均值不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a>0，b>0时，才会有eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2).对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b时，eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；另一方面：当eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)时，也有a＝b.


2．应用均值不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合均值不等式的条件结构.





1．思考辨析


(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2eq \r(ab)均成立．( )


(2)若a≠0，则a＋eq \f(1,a)≥2eq \r(a·\f(1,a))＝2.( )


(3)若a>0，b>0，则ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up20(2).( )


[提示] (1)任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2eq \r(ab)成立．


(2)只有当a>0时，根据均值不等式，才有不等式a＋eq \f(1,a)≥2eq \r(a·\f(1,a))＝2成立．


(3)因为eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，所以ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up20(2).


[答案] (1)× (2)× (3)√


2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )


A．a－b<0 B．0

C.eq \r(ab)a＋b


C [∵a>b>0，由均值不等式知eq \r(ab)

3．不等式eq \f(9,x－2)＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是( )


A．x＝3 B．x＝－3


C．x＝5 D．x＝－5


C [由均值不等式知等号成立的条件为eq \f(9,x－2)＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．]


4．设a>0，b>0，证明：eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)≥a＋b.


[证明] ∵a>0，b>0，


∴eq \f(b2,a)＋a≥2b，eq \f(a2,b)＋b≥2a，


∴eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)≥a＋b.





学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件．(难点)


2．会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小．(重点)
1.通过不等式的证明，培养逻辑推理的素养．


2．通过均值不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算的素养.
对均值不等式的理解
利用均值不等式比较大小
利用均值不等式证明不等式