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第06讲一次方程(组)及其应用（解析版）试卷

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第6讲　一次方程(组)及其应用

1．等式的基本性质

性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等，即：如果a＝b，c为任意数(或式子)，那么a±c＝b±c；

性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即：①如果a＝b，那么ac＝bc；②如果a＝b，c≠0，那么＝.

2．方程及方程的解

(1)方程：含有未知数的等式．

(2)方程的解：能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．求方程解的过程叫做解方程．

3．一元一次方程

(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的项的次数是1的整式方程．

(2)解一元一次方程主要有以下步骤：①去分母(注意不要漏乘不含分母的项)；②去括号(注意括号外是负号时，去括号后括号内各项均要变号)；③移项(注意移项要变号)；④合并同类项；⑤系数化1.

4．二元一次方程

(1)定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程．

(2)二元一次方程的解：适合二元一次方程的一组未知数的值．

注意：二元一次方程的解是满足方程的一对数值，即，任何一个二元一次方程都有无数多个解．

(3)解法：解二元一次方程时，先用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后给一个未知数取值，求另一个未知数的值，即可得到该二元一次方程的一个解．

5．二元一次方程组

(1)定义：将两个或两个以上的方程联立在一起，就构成了一个方程组，方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组．

(2)解二元一次方程组的基本思想是消元，有代入消元法与加减消元法两种方法.

①方程组中一个方程里有一个未知数的系数是1或－1，选择代入消元法较简单；

②方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍，选择加减消元法．

6．三元一次方程组

(1)定义：方程组中含有三个未知数，且未知数的项的次数都是1的方程组叫三元一次方程组．

(2)三元一次方程组的解法：

7．列方程(组)解应用题的一般步骤

(1)审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；

(2)设：设关键未知数；

(3)找：找出各量之间的等量关系；

(4)列：根据等量关系列方程(组)；

(5)解：解方程(组)；

(6)验：检验所解出的答案是否正确，是否符合题意；

(7)答：规范作答，注意单位名称．

8．常见一次方程实际应用常见类型及关系式

(1)行程问题：路程＝速度×时间；

相遇问题：两者路程之和＝全程；

追及问题：快者路程＝慢者先走的路程(或相距路程)＋慢者后走的路程；

水中航行问题：

(2)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分部分工作量之和＝总工作量．

(3)利润问题：

利润＝售价－进价＝进价×利润率；

售价＝标价×折扣率＝进价×(1＋利润率)；

总利润＝总售价－总进价＝单件利润×销量．

(4)利息问题：

利息＝本金×利率×期数；

本息和＝本金＋利息．

考点1：一元一次方程(组)的解法

【例题1】(2017·广州)解方程组：

【解答】　解：方法一：由①，得x＝5－y.③

把③代入②，得2(5－y)＋3y＝11.解得y＝1.

把y＝1代入③，得x＝5－1＝4.

∴原方程组的解为

方法二：由①，得y＝5－x.③

把③代入②，得2x＋3(5－x)＝11.解得x＝4.

把x＝4代入③，得y＝5－4＝1.

∴原方程组的解为

方法三：①×3－②，得x＝4.

把x＝4代入①，得y＝1.

∴原方程组的解为

方法四：②－①×2，得y＝1.

把y＝1代入①，得x＝4.

∴原方程组的解为

考点2：一元一次方程(组)的应用

【例题2】（2019▪湖北黄石▪8分）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：

（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？

（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？

【分析】（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．列方程求解即可；

（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解．

【解答】解：（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，由题意得

x：600＝100：60

∴x＝1000

∴1000﹣600﹣100＝300

答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步．

（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，由题意得

y＝200+y

∴y＝500

答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人．

归纳：1.列方程(组)解应用题的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的数量关系，并根据题意或生活实际建立等量关系；2.可根据公式寻找数量关系，如周长、面积、体积等；3.在有倍数、和差关系的应用题中，应抓住两种量的关系，建立等量关系，这类题目中常有“一共是…”、“比…多(少)”、“是…的几倍”、“比…几倍多(少)”等；4.涉及几何图形的应用问题时，等量关系一般隐藏在图形的性质中，如矩形对边相等，正方形四边相等或裁剪拼接和折叠前后的对应关系等．

考点3：二元一次方程(组)的解法

【例题3】（2018•德州）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y=　　．

【分析】根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．

【解答】：由题意可知：，

解得：

∵x＜y，

∴原式=5×12=60

故答案为：60

考点4：二元一次方程(组)的应用

【例题4】(2019甘肃省陇南市)（6分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？

【分析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．

【解答】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意可得：

，

解得：，

答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．

一、选择题：

1. （2019•湖南怀化•4分）一元一次方程x﹣2＝0的解是（　　）

A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝1

【答案】A

【解答】解：x﹣2＝0，

解得：x＝2．

故选：A．

2. 若方程组的解x、y的值相等，则a的值为（　　）

A．﹣4 B．4 C．2 D．1

【考点】解三元一次方程组．

【答案】C

【解答】：由题意可得方程x=y，将此方程代入原方程组的第二个方程得：4x+3x=14，则x=y=2；

然后代入第一个方程得：2a+2（a﹣1）=6；

解得：a=2．

故选C．

3. （2019，四川巴中，4分）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则a+b的值是（　　）

A．1 B．2 C．﹣1 D．0

【答案】B

【解答】解：将代入得：

，

∴a+b＝2；

故选：B．

4. （2019•浙江宁波•4分）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（　　）

A．31元 B．30元 C．25元 D．19元

【答案】A

【解答】解：设每支玫瑰x元，每支百合y元，

依题意，得：5x+3y+10＝3x+5y﹣4，

∴y＝x+7，

∴5x+3y+10﹣8x＝5x+3（x+7）+10﹣8x＝31．

故选：A．

5. ( 2019甘肃省兰州市) （4分）≪九章算术≫是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程为（）

A. B. C. D.

【答案】C．

【解析】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y＝1

(2) 互换其中一只，恰好一样重，即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：

4x+y＝5y+x，故选C.

二、填空题：

6. 如图，宽为50 cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为_______cm2.

【答案】10×40＝400(cm2)

【解析】：设小长方形的长为x cm，则宽为(50－x)cm，根据题意可得：

2x＝x＋4(50－x)，

解得：x＝40，

故50－x＝10(cm)．

则一个小长方形的面积为：10×40＝400(cm2)

7. 一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是__________．

【答案】15

【解答】∵

当y=127时，解得：x=43；

当y=43时，解得：x=15；

当x=15时,解得不符合条件。

则输入的最小正整数是15.

故答案为：15.

8. （2019•湖南岳阳•4分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布　　尺．

【答案】

【解答】解：设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺，根据题意可得：

x+2x+4x+8x+16x＝5，

解得：x＝，

即该女子第一天织布尺．

故答案为：．

9. 当y=﹣3时，二元一次方程3x+5y=﹣3和3y﹣2ax=a+2（关于x，y的方程）有相同的解，则a的值是．

【答案】﹣．

【解答】：当y=﹣3时，

3x+5×（﹣3）=﹣3，

解得：x=4，

把y=﹣3，x=4代入3y﹣2ax=a+2中得，

3×（﹣3）﹣2a×4=a+2，

解得：a=﹣．

三、解答题：

10. (2018·嘉兴)用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：

解法一：由①－②，得3x＝3.

解法二：由②，得3x＋(x－3y)＝2，③

把①代入③，得3x＋5＝2.

(1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有错误，请在错误处打“×”；

(2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答．

【解析(1)解法一中的解题过程有错误，

由①－②，得3x＝3“×”．

应为由①－②，得－3x＝3.

(2)由①－②，得－3x＝3，解得x＝－1.

把x＝－1代入①，得－1－3y＝5，解得y＝－2.

故原方程组的解是

11. 已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.

(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由；

(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.

【解析(1)甲对，乙不对．理由：

∵θ＝360°，∴(n－2)×180°＝360°.

解得n＝4.

∵θ＝630°，∴(n－2)×180°＝630°.解得n＝.

∵n为整数，∴θ不能取630°.

(2)依题意，得

(n－2)×180°＋360°＝(n＋x－2)×180°.

解得x＝2.

12. (2017·海南)在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参加运土，已知5辆甲种车和2辆乙种车一次共运土64立方米，3辆甲种车和1辆乙种车一次共运土36立方米，求甲、乙两种车每辆一次分别运土多少立方米．

【解答】　解：方法一：设甲种车每辆一次运土x立方米，乙种车每辆一次运土y立方米，由题意，得

解得