第09讲 不等式(组)及其应用（原卷版）
展开第9讲 不等式(组)及其应用
1．不等式的基本性质
性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号方向不改变；如果a＞b，那么a±c>b±c；
性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号方向不改变；如果a＞b，c＞0，那么ac>bc，>；
性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变；如果a＞b，c＜0，那么ac<bc，< .
2．一元一次不等式
(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，且不等式左右两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式．
(2)解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1(注意不等号方向是否改变)．
(3)解集在数轴上表示：
①画数轴 ②定边界 ③定方向 |
|
x＞a | x＜a |
x≥a | x≤a |
3.一元一次不等式组
(1)定义：一般地，关于同一个未知数的几个不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
(2)一元一次不等式组的解集：组成一元一次不等式组的几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
注意：不等式的解可以是一个或多个数值，而不等式组的解集是包含所有使不等式成立的解的集合．
(3)解一元一次不等式组的步骤：①分别解每个一元一次不等式；②在数轴上表示各不等式的解集；③确定各不等式解集的公共部分；④得到不等式组的解集；
(4)几种常见的不等式组的解集(a>b，且a、b为常数)：
不等式组(a>b) | 图示 | 解集 | 口诀 |
x≥a | 同大取大 | ||
| 同小取小 | ||
a≤x≤b | 大小、小大中间找 | ||
| 小小、大大找不到 |
4.一元一次不等式的应用
(1)列不等式解应用题的基本步骤：
①审题；②设元；③找出能够包含未知数的不等量关系；④列出不等式；⑤解不等式；⑥在不等式的解中找出符合题意的未知数的值；⑦写出答案．
(2)列不等式解应用题涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等，一般所求问题中有“至少(≥)”、“最多(≤)”、“不低于(≥)”、“超过(＞)”、“不大于(≤)”等词，要正确理解这些词的含义．
考点1：解一元一次不等式
【例题1】（2018广西桂林）（6.00分）解不等式＜x+1，并把它的解集在数轴上表示出来．
考点2：解一元一次不等式组
【例题2】(2018·自贡)解不等式组并在数轴上表示其解集．
考点3：一元一次不等式的实际应用
【例题3】（2019湖南益阳10分）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾•稻”轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾•稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润＝售价﹣成本）．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元．
（1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；
（2）该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，若今年的水稻种植成本为600元/亩，稻谷售价为25元/千克，该农户估计今年可获得“虾•稻”轮作收入不少于8万元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？
考点4：一元一次不等式与其它知识的综合应用
【例题4】(2018·河北中考预测)如图，在数轴上有A，B，C，D四点，点A对应的数为a，点B对应的数为3，点D对应的数为t，若CD＝4，且在数轴上移动．
(1)若2AB表示的数始终位于点A的左侧，求a的取值范围，并把解集表示在数轴上；
(2)当t为何值，且是整数时，点B落在C，D两点之间．
一、选择题：
1. (2019甘肃省陇南市)（3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（ ）
A．x≤3 B．x≤﹣3 C．x≥3 D．x≥﹣3
2. （2018•湖北荆门•3分）已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（ ）
A．4≤m＜7 B．4＜m＜7 C．4≤m≤7 D．4＜m≤7
3. （2018•山东滨州•3分）把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A． B． C． D．
4. （2019•湖南怀化•4分）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（ ）只．
A．55 B．72 C．83 D．89
5. 2018·台湾·分）如图的宣传单为菜克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明，妮娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷，她再将卡片以每张15元的价格贩售．若利润等于收入扣掉成本，且成本只考虑设计费与印刷费，则她至少需印多少张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成？（ ）
A．112 B．121 C．134 D．143
二、填空题：
6. （2018•江苏扬州•3分）不等式组的解集为 ．
7. （2019•贵州省铜仁市•4分）如果不等式组的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是 ．
8. （2017山东烟台）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，
若输入x后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是 ．
三、解答题：
9. 解不等式组，并求出其最小整数解．
10. 甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
(1)问乙单独整理多少分钟完工？
(2)若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
11. (2018·唐山丰润区一模)小明解不等式－≤1的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母，得3(1＋x)－2(2x＋1)≤1.① 去括号，得3＋3x－4x＋1≤1.② 移项，得3x－4x≤1－3－1.③ 合并同类项，得－x≤－3.④ 两边都除以－1，得x≤3.⑤ |
12. （2019•四川省凉山州•10分）根据有理数乘法（除法）法则可知：
①若ab＞0（或＞0），则或；
②若ab＜0（或＜0），则或．
根据上述知识，求不等式（x﹣2）（x+3）＞0的解集
解：原不等式可化为：（1）或（2）．
由（1）得，x＞2，
由（2）得，x＜﹣3，
∴原不等式的解集为：x＜﹣3或x＞2．
请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：
（1）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为 ．
（2）求不等式＜0的解集（要求写出解答过程）
13. (2018·郴州)郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．
(1)A、B两种奖品每件各多少元？
(2)现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？
14. （2019•山东省聊城市•8分）某商场的运动服装专柜，对A，B两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表：
| 第一次 | 第二次 |
A品牌运动服装数/件 | 20 | 30 |
B品牌运动服装数/件 | 30 | 40 |
累计采购款/元 | 10200 | 14400 |
（1）问A，B两种品牌运动服的进货单价各是多少元？
（2）由于B品牌运动服的销量明显好于A品牌，商家决定采购B品牌的件数比A品牌件数的倍多5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件B品牌运动服？
