2019-2020学年福建省三明市永安市八年级（下）期末数学试卷 解析版

2019-2020学年福建省三明市永安市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共10题，每题4分，满分40分．每题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂）
1．（4分）分式的值是零，则x的值为（　　）
A．2 B．5 C．﹣2 D．﹣5
2．（4分）若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．2或4
3．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．60°
4．（4分）在数轴上表示不等式1﹣x＜2的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（4分）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　）
A．2，4，5 B．6，8，11 C．5，12，12 D．1，1，
6．（4分）下面式子从左边到右边的变形属于因式分解的是（　　）
A．x2﹣x﹣6＝x（x﹣1）﹣6 B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 D．（x+2）2＝x2+4x+4
7．（4分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，一次函数y1＝x+b与y2＝kx+4的图象相交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（　　）

A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
9．（4分）如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
10．（4分）如图，正方形OA、OC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（3，2）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D'的坐标是（　　）

A．（1，6） B．（﹣1，0）
C．（1，6）或（﹣1，0） D．（6，1）或（﹣1，0）
二、填空题（共6题，每题4分，满分24分．请将答案填在答题卡的相应位置）
11．（4分）请写出一个一元一次不等式，使它的解集为x＞1：　 　．
12．（4分）因式分解：x2﹣9＝　 　．
13．（4分）化简：＝　 　．
14．（4分）如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，则顶点C（0，﹣1）对应点的坐标为　 　．

15．（4分）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC＝10，DE＝2，AB＝6，则AC长是　 　．

16．（4分）定义一种新运算“⊕”：当a＞b时，a⊕b＝ab+b；当a＜b时，a⊕b＝ab﹣b．若4⊕（x+2）＞0，则x的取值范围是　 　．
三、解答题（共9题，满分86分．请将解答过程写在答题卡相应位置，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）分解因式：（1）x﹣xy2．
（2）6ab﹣3a2﹣3b2．
18．（8分）解不等式组：并把它的解集表示在数轴上．

19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
20．（8分）先化简分式（﹣）÷，再在﹣3＜x≤2中取一个合适的x，求出此时分式的值．
21．（8分）解方程：＝﹣1．
22．（10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点分别为A（0，4），B（﹣4，2），C（0，2）．
（1）在方格纸中画△A1B1C1，使它与△ABC关于点O成中心对称；
（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣2，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（3）若△A1B2C2绕点P旋转可得△A2B2C2，请直接写出旋转中心P的坐标：　 　．

23．（10分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．
（1）在BC上求作一点D，使AD＝BD；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若CD＝1，求△ABC的面积．

24．（12分）疫情期间，某商场购进甲，乙两种消毒液，甲种消毒液用了1000元，乙种消毒液用了1200元，已知乙种消毒液每件进价比甲种消毒液每件进价多5元，且购进的甲、乙两种消毒液件数相同．
（1）求甲、乙两种消毒液每件的进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种消毒液进行销售，甲种消毒液的销售单价为50元，乙种消毒液的销售价为60元．销售过程中发现甲种消毒液销量不好，商场决定：甲种消毒液在销售一定数量后按原销售单价的七折销售；乙种消毒液销售单价保持不变．要使两种消毒液全部售完后获利不少于1900元，问甲种消毒液按原销售单价至少销售多少件？
25．（14分）（1）发现：如图1，在平面内有动点A，若BC＝a，AC＝b，其中a＞b．当点A在线段BC上时，线段AB的长取得最小值，最小值为　 　（用含a，b的代数式表示）；当点A在线段BC延长线上时，线段AB的长取得最大值，最大值为　 　（用含a，b的代数式表示）．
（2）应用：如图2，点A为线段BC外一动点，分别以AB、AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD、BE．
①求证：CD＝BE；
②若BC＝3，AC＝1，则线段CD长度的最小值为　 　，请画出符合条件的一个示意图．


2019-2020学年福建省三明市永安市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10题，每题4分，满分40分．每题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂）
1．（4分）分式的值是零，则x的值为（　　）
A．2 B．5 C．﹣2 D．﹣5
【分析】利用分式值为零的条件可得x+5＝0，且x﹣2≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x+5＝0，且x﹣2≠0，
解得：x＝﹣5，
故选：D．
2．（4分）若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．2或4
【分析】分4是腰长与底边两种情况，再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即可．
【解答】解：①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2，
能组成三角形，
所以，第三边为4；
②4是底边时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，
综上所述，第三边为4．
故选：C．
3．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．60°
【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC＝70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
【解答】解：AB＝AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C，
∵∠BAD＝35°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝70°，
∴∠C＝（180°﹣70°）＝55°．
故选：C．
4．（4分）在数轴上表示不等式1﹣x＜2的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：移项得，﹣x＜2﹣1，
合并同类项得，﹣x＜1，
系数化为1得x＞﹣1．
在数轴上表示为：
，
故选：A．
5．（4分）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　）
A．2，4，5 B．6，8，11 C．5，12，12 D．1，1，
【分析】根据勾股定理的逆定理，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、∵22+42＝20≠52，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵62+82＝100≠112，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵52+122＝169≠122，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵12+12＝2＝（）2，∴能够构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
6．（4分）下面式子从左边到右边的变形属于因式分解的是（　　）
A．x2﹣x﹣6＝x（x﹣1）﹣6 B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 D．（x+2）2＝x2+4x+4
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C、从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
7．（4分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、该图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
8．（4分）如图，一次函数y1＝x+b与y2＝kx+4的图象相交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（　　）

A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
【分析】观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式x+b＞kx+4的解集．
【解答】解：观察函数图象可知：当x＞1时，一次函数y1＝x+b的图象在y2＝kx+4的图象的上方，
∴关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是x＞1．
故选：C．
9．（4分）如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据线段垂直平分线的性质，得AD＝BD，则AC＝BD+CD，结合AC＝10和△BDC的周长，即可求得BC的长．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴BD+CD＝AC10．
∴BC＝△BDC的周长﹣（BD+CD）＝18﹣10＝8，
故选：C．
10．（4分）如图，正方形OA、OC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（3，2）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D'的坐标是（　　）

A．（1，6） B．（﹣1，0）
C．（1，6）或（﹣1，0） D．（6，1）或（﹣1，0）
【分析】分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况考虑：①顺时针旋转时，由点D的坐标利用正方形的性质可得出正方形的边长以及BD的长度，由此可得出点D′的坐标；②逆时针旋转时，找出点B′落在y轴正半轴上，根据正方形的边长以及BD的长度即可得出点D′的坐标．综上即可得出结论．
【解答】解：分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况（如图所示）：

①顺时针旋转时，点B′与点O重合，
∵点D（3，2），四边形OABC为正方形，
∴OA＝BC＝3，BD＝1，
∴点D′的坐标为（﹣1，0）；
②逆时针旋转时，点B′落在y轴正半轴上，
∵OC＝BC＝3，BD＝1，
∴点B′的坐标为（0，6），点D′的坐标为（1，6）．
故选：C．
二、填空题（共6题，每题4分，满分24分．请将答案填在答题卡的相应位置）
11．（4分）请写出一个一元一次不等式，使它的解集为x＞1：　2x﹣2＞0　．
【分析】利用一元一次不等式的解的概念求解可得．
【解答】解：不等式2x﹣2＞0的解集为x＞1，
故答案为：2x﹣2＞0．
12．（4分）因式分解：x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
13．（4分）化简：＝　　．
【分析】直接将分母分解因式，进而化简得出答案．
【解答】解：
＝
＝．
故答案为：．
14．（4分）如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，则顶点C（0，﹣1）对应点的坐标为　（3，1）　．

【分析】利用平移规律进而得出答案．
【解答】解：∵把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，顶点C（0，﹣1），
∴F（0+3，﹣1+2），
即F（3，1），
故答案为：（3，1）．
15．（4分）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC＝10，DE＝2，AB＝6，则AC长是　4　．

【分析】根据角平分线的性质可知DF＝DE＝2，再依据S△ABC＝S△ABD+S△ACD，可求AC值．
【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF＝DE＝2．
又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝6，
∴10＝×6×2+×AC×2，
∴AC＝4，
故答案为：4．
16．（4分）定义一种新运算“⊕”：当a＞b时，a⊕b＝ab+b；当a＜b时，a⊕b＝ab﹣b．若4⊕（x+2）＞0，则x的取值范围是　﹣2＜x＜2或x＞2　．
【分析】分4＞x+2和4＜x+2两种情况，根据新运算规则列出不等式，解之可得答案．
【解答】解：①当4＞x+2，即x＜2时，4（x+2）+x+2＞0，
解得x＞﹣2，
则﹣2＜x＜2；
②当4＜x+2，即x＞2时，4（x+2）﹣（x+2）＞0，
解得x＞﹣2，
则x＞2；
综上﹣2＜x＜2或x＞2，
故答案为：﹣2＜x＜2或x＞2．
三、解答题（共9题，满分86分．请将解答过程写在答题卡相应位置，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）分解因式：（1）x﹣xy2．
（2）6ab﹣3a2﹣3b2．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝x（1﹣y2）
＝x（1+y）（1﹣y）；
（2）原式＝﹣3（a2﹣2ab+b2）
＝﹣3（a﹣b）2．
18．（8分）解不等式组：并把它的解集表示在数轴上．

【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x﹣2≤x，得：x≤2，
解不等式x+2＞﹣x﹣1，得：x＞﹣2，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据分式除法可以解答本题；
（2）根据分式的减法可以解答本题．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝
＝．
20．（8分）先化简分式（﹣）÷，再在﹣3＜x≤2中取一个合适的x，求出此时分式的值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x＝2代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•＝•＝2x+4，
根据﹣3＜x≤2，得到x＝2时，原式＝8．
21．（8分）解方程：＝﹣1．
【分析】观察可得方程最简公分母为：2x﹣4，将方程去分母转化为整式方程即可求解．
【解答】解：化为整式方程得：2﹣2x＝x﹣2x+4，
解得：x＝﹣2，
把x＝﹣2代入原分式方程中，等式两边相等，
经检验x＝﹣2是分式方程的解．
22．（10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点分别为A（0，4），B（﹣4，2），C（0，2）．
（1）在方格纸中画△A1B1C1，使它与△ABC关于点O成中心对称；
（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣2，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（3）若△A1B2C2绕点P旋转可得△A2B2C2，请直接写出旋转中心P的坐标：　（﹣1，﹣4）　．

【分析】（1）利用关于原点对称的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用A点和A2的点坐标特征确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出B2、C2的坐标，再描点即可；
（3）连接A1A2、B1B2，它们的交点为P，从而得到P点坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；

（3）旋转中心P的坐标为（﹣1，﹣4）．
故答案为（﹣1，﹣4）．
23．（10分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．
（1）在BC上求作一点D，使AD＝BD；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若CD＝1，求△ABC的面积．

【分析】（1）作AB的垂直平分线交BC于D；
（2）先DA＝DB得到∠DAB＝∠B＝30°，则可计算出∠CAD＝30°，再利用含30度的直角三角形三边的关系求出AD、AC，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：（1）如图，点D为所作；

（2）∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
而∠BAC＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠CAD＝30°，
在Rt△ACD中，AD＝2CD＝2，AC＝CD＝，
∴BC＝CD+BD＝1+2＝3，
∴△ABC的面积＝××3＝．
24．（12分）疫情期间，某商场购进甲，乙两种消毒液，甲种消毒液用了1000元，乙种消毒液用了1200元，已知乙种消毒液每件进价比甲种消毒液每件进价多5元，且购进的甲、乙两种消毒液件数相同．
（1）求甲、乙两种消毒液每件的进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种消毒液进行销售，甲种消毒液的销售单价为50元，乙种消毒液的销售价为60元．销售过程中发现甲种消毒液销量不好，商场决定：甲种消毒液在销售一定数量后按原销售单价的七折销售；乙种消毒液销售单价保持不变．要使两种消毒液全部售完后获利不少于1900元，问甲种消毒液按原销售单价至少销售多少件？
【分析】（1）设甲种消毒液每件的进价为x元，则乙种消毒液每件的进价为（x+5）元，根据数量＝总价÷单价结合用1000元购进的甲种消毒液和用1200元购进的乙种消毒液数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据数量＝总价÷单价结合购进甲、乙两种消毒液数量相同，可得出购进两种消毒液的数量，设甲种消毒液按原销售单价销售了m件，根据总利润＝每件的利润×销售数量结合使两种消毒液全部售完后获利不少于1900元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种消毒液每件的进价为x元，则乙种消毒液每件的进价为（x+5）元，
依题意，得：＝，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意，
∴x+5＝30．
答：甲种消毒液每件的进价为25元，乙种消毒液每件的进价为30元．
（2）甲种消毒液购进的数量为1000÷25＝40（件），则乙种消毒液购进的数量也为40件．
设甲种消毒液按原销售单价销售了m件，
依题意，得：（50﹣25）m+（50×0.7﹣25）（40﹣m）+（60﹣30）×40≥1900，
解得：m≥20．
答：甲种消毒液按原销售单价至少销售20件．
25．（14分）（1）发现：如图1，在平面内有动点A，若BC＝a，AC＝b，其中a＞b．当点A在线段BC上时，线段AB的长取得最小值，最小值为　a﹣b　（用含a，b的代数式表示）；当点A在线段BC延长线上时，线段AB的长取得最大值，最大值为　a+b　（用含a，b的代数式表示）．
（2）应用：如图2，点A为线段BC外一动点，分别以AB、AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD、BE．
①求证：CD＝BE；
②若BC＝3，AC＝1，则线段CD长度的最小值为　2　，请画出符合条件的一个示意图．

【分析】（1）根据点A位于线段BC上时，线段AB的长取得最小值；根据点A位于BC的延长线上时，线段AB的长取得最大值，即可得到结论；
（2）①根据等边三角形的性质，即可得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质即可得到CD＝BE；
②由于线段CD的长等于线段BE的长，根据（1）中的结论求得BE的最小值，即可得到结果．
【解答】解：（1）∵当点A在线段BC上时，线段AB的长取得最小值，最小值为BC﹣AC，
∵BC＝a，AC＝b，
∴BC﹣AC＝a﹣b，
当点A在线段BC延长线上时，线段AB的长取得最大值，最大值为BC+AC，
∵BC＝a，AC＝b，
∴BC+AC＝a+b，
故答案为：a﹣b，a+b；
（2）①证明：∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△ACD和△AEB中，
，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴CD＝BE；
②∵线段CD的最小值＝线段BE长的最小值，
由（1）知，当线段BE的长取得最小值时，点E在线段BC上，如图3所示：

∵BC＝3，AC＝CE＝1，
∴线段BE长度的最小值为BC﹣CE＝3﹣1＝2，
即线段CD长度的最小值为2，
故答案为：2．