高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）优质学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）优质学案，共12页。学案主要包含了平移变换，伸缩变换，图象的综合变换等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响.2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．








知识点 A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响


1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响





2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响





3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响








1．将函数y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度，得到函数y＝cs x的图象．( √ )


2．将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到函数y＝2sin x的图象．( √ )


3．把函数y＝cs x的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝cs 3x的图象．( × )





一、平移变换


例1 函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？


解 函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象，可以看作是把曲线y＝sin x上所有的点向右平移eq \f(π,6)个单位长度而得到的．


反思感悟 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω)))个单位．


跟踪训练1 要得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象，只要将函数y＝sin 2x的图象( )


A．向左平移eq \f(π,3)个单位长度


B．向右平移eq \f(π,3)个单位长度


C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度


D．向右平移eq \f(π,6)个单位长度


答案 C


解析 因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))))，


所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，


就可得到函数y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象．


二、伸缩变换


例2 将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移eq \f(π,10)个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )


A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,10))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,5)))


C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,10))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,20)))


答案 C


解析 将y＝sin x的图象向右平移eq \f(π,10)个单位长度得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,10)))的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,10)))的图象．


反思感悟 先平移后伸缩和先伸缩后平移中，平移的量是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而导致错误．弄清平移对象是减少错误的好方法．


跟踪训练2 函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象，可由函数y＝sin x的图象经过下述哪项变换而得到( )


A．向右平移eq \f(π,3)个单位长度，横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标伸长到原来的3倍


B．向左平移eq \f(π,3)个单位长度，横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标伸长到原来的3倍


C．向右平移eq \f(π,6)个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的eq \f(1,3)


D．向左平移eq \f(π,6)个单位长度，横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标缩短到原来的eq \f(1,3)


答案 B


解析 y＝sin x的图象eq \(―――――――――→,\s\up10(向左平移\f(π,3)个单位长度))


y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象eq \(―――――――――→,\s\up10(横坐标缩短为原来的\f(1,2)))


y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象eq \(―――――――――→,\s\up7(纵坐标伸长为原来的3倍))


y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象．


三、图象的综合变换


例3 已知函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，x∈R.


(1)用五点法作出它在一个周期内的简图；


(2)该函数的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？


解 (1)列表：





描点、连线，如图所示．





(2)函数y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)倍，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的eq \f(1,2)倍，得到函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象．





反思感悟 由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤





跟踪训练3 说明y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋1的图象是由y＝sin x的图象经过怎样变换得到的．


解 方法一 先伸缩后平移


y＝sin x的图象eq \(――――――――――――→,\s\up7(各点的纵坐标伸长到原来的2倍),\s\d5(且关于x轴作对称变换))


y＝－2sin x的图象eq \(――――――――――――→,\s\up10(各点的横坐标缩短到原来的\f(1,2)))


y＝－2sin 2x的图象eq \(―――――――――→,\s\up10(向右平移\f(π,12)个单位长度))


y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的图象eq \(―――――――――→,\s\up7(向上平移1个单位长度))


y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋1的图象．


方法二 先平移后伸缩


y＝sin x的图象eq \(―――――――――――――→,\s\up7(各点的纵坐标伸长到原来的2倍),\s\d5(且关于x轴作对称变换))


y＝－2sin x的图象eq \(――――――――→,\s\up10(向右平移\f(π,6)个单位长度))


y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象eq \(――――――――→,\s\up7(各点的横坐标缩短到),\s\d8(原来的\f(1,2)))


y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的图象eq \(―――――――――→,\s\up7(向上平移1个单位长度))


y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋1的图象．





1．函数y＝cs x(x∈R)的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为( )


A．g(x)＝－sin x B．g(x)＝sin x


C．g(x)＝－cs x D．g(x)＝cs x


答案 A


解析 将y＝cs x向左平移eq \f(π,2)个单位长度得y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－sin x.


2．要得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象，只要将函数y＝sin x的图象( )


A．向左平移eq \f(π,3)个单位长度


B．向右平移eq \f(π,3)个单位长度


C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度


D．向右平移eq \f(π,6)个单位长度


答案 A


解析 将函数y＝sin x的图象上所有点向左平移eq \f(π,3)个单位长度，就可得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象．


3．将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq \f(1,4)个周期后，所得图象对应的函数为( )


A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))


C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))) D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))


答案 D


解析 函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的最小正周期为π，所以将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度后，得到函数y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象．


4．函数y＝cs x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cs ωx，则ω的值为________．


答案 eq \f(1,2)


解析 函数y＝cs xeq \(――――――――――→,\s\up7(纵坐标不变，横坐标变为),\s\d5(原来的2倍))


y＝cs eq \f(1,2)x，所以ω＝eq \f(1,2).


5．由y＝3sin x的图象变换得到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位长度，后者需向左平移________个单位长度．


答案 eq \f(π,3) eq \f(2π,3)


解析 y＝3sin xeq \(―――――――――→,\s\up10(向左平移\f(π,3)个单位长度))


y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))eq \(――――――――――――――→,\s\up7(横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变))


y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))，


y＝3sin xeq \(――――――――――――――→,\s\up7(横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变))


y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x))eq \(―――――――――→,\s\up10(向左平移\f(2π,3)个单位长度))


y＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2π,3)))))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3))).





1．知识清单：


(1)平移变换．


(2)伸缩变换．


(3)图象的变换．


2．常见误区：先平移和先伸缩作图时平移的量不一样．








1．为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点( )


A．向左平行移动1个单位长度


B．向右平行移动1个单位长度


C．向左平行移动π个单位长度


D．向右平行移动π个单位长度


答案 A


解析 只需把函数y＝sin x的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度，便得函数y＝sin(x＋1)的图象，故选A.


2．为了得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象( )


A．向右平移eq \f(π,6)个单位长度


B．向右平移eq \f(π,12)个单位长度


C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度


D．向左平移eq \f(π,12)个单位长度


答案 B


解析 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))，故将函数y＝sin 2x的图象向右平移eq \f(π,12)个单位长度，可得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的图象．


3．函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，所得图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))，则ω的最小值是( )


A.eq \f(3,2) B．2 C．1 D.eq \f(1,2)


答案 C


解析 依题意得，函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))))(ω>0)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))，


于是有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋\f(π,3)))))＝sin ωπ＝0(ω>0)，


所以ωπ＝kπ，k∈N*，即ω＝k，k∈N*，


因此正数ω的最小值是1，故选C.


4．将函数y＝sin 2x的图象向右平移eq \f(π,2)个单位长度，所得图象对应的函数是( )


A．奇函数B．偶函数


C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数


答案 A


解析 y＝sin 2xeq \(―――――――――→,\s\up10(向右平移\f(π,2)个单位长度))


y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－π))＝－sin(π－2x)＝－sin 2x.


由于－sin(－2x)＝sin 2x，所以是奇函数．


5．函数y＝cs x的图象上的每一点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的eq \f(1,2)，然后将图象沿x轴负方向平移eq \f(π,4)个单位长度，得到的图象对应的解析式为( )


A．y＝sin 2x B．y＝－sin 2x


C．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,4)))


答案 B


解析 y＝cs x的图象上每一点的横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)得到y＝cs 2x的图象；再把y＝cs 2x的图象沿x轴负方向平移eq \f(π,4)个单位长度，就得到y＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝－sin 2x的图象．


6．将函数y＝sin 4x的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到函数y＝sin(4x＋φ)(0