高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数优秀学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数优秀学案，共11页。学案主要包含了几类函数模型增长差异的比较，函数模型的选择问题，指数函数等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义．





知识点 三种常见函数模型的增长差异








1．当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．( √ )


2．一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．( √ )


3．函数衰减的速度越来越慢．( √ )


4．由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有ax>2x(a>1)．( × )





一、几类函数模型增长差异的比较


例1 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：





关于x呈指数函数变化的变量是________．


答案 y2


解析 从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．


以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．


从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．


反思感悟 常见的函数模型及增长特点


(1)线性函数模型


线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变．


(2)指数函数模型


指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．


(3)对数函数模型


对数函数模型y＝lgax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．可称为“对数增长”．


跟踪训练1 有一组数据如下表：





现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )


A．v＝lg2t B． C．v＝2t－1 D．v＝2t－2


答案 A


解析 从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越慢，排除C和D，故选A.


二、函数模型的选择问题


例2 某人对东北一种松树生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝lga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.





解 据表中数据作出散点图如图．





由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．


不妨将(2,1)代入到h＝lga(t＋1)中，得1＝lga3，解得a＝3.


故可用函数h＝lg3(t＋1)来刻画h与t的关系．


当t＝8时，求得h＝lg3(8＋1)＝2，


故可预测第8年松树的高度为2米．


反思感悟 不同函数模型的选取标准


(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．


(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．


(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度逐渐平缓的变化规律．


跟踪训练2 (1)某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数关系式大致可以是( )


A．y＝0.2x B．y＝eq \f(1,10)(x2＋2x)


C．y＝eq \f(2x,10) D．y＝0.2＋lg16x


答案 C


解析 对于A，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.6，与0.76相差0.16；


对于B，x＝1时，y＝0.3；x＝2时，y＝0.8；x＝3时，y＝1.5，相差较大，不符合题意；


对于C，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.8，与0.76相差0.04，与A比较，符合题意；


对于D，x＝1时，y＝0.2；x＝2时，y＝0.45；x＝3时，y≈0.6<0.7，相差较大，不符合题意．


(2)某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．


下列几个模拟函数中：


①y＝ax2＋bx；


②y＝kx＋b；


③y＝lgax＋b；


④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．


用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由．


解 用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量更多，然后向两边递减．而②③④表示的函数在区间上是单调函数，所以②③④都不合适，故用①来模拟比较合适．


三、指数函数、对数函数与二次函数模型的比较


例3 函数f(x)＝2x(x>0)和g(x)＝x2(x>0)的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1




(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；


(2)求点A，B的坐标；


(3)结合函数图象，判断f(3)，g(3)，f(2 019)，g(2 019)的大小．


解 (1)C1对应的函数为g(x)＝x2，C2对应的函数为f(x)＝2x.


(2)因为f(2)＝4，g(2)＝4，f(4)＝16，g(4)＝16，


所以A(2,4)，B(4,16)．


(3)由图象和(2)可知，


当0g(x)，


当2

当x>4时，f(x)>g(x)，


所以f(2 019)>g(2 019)，f(3)

又因为g(x)在(0，＋∞)上为增函数，


所以g(2 019)>g(3)，


故f(2 019)>g(2 019)>g(3)>f(3)．


反思感悟 指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法


(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断．


(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．





1．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是( )


A．y＝50 B．y＝1 000x


C．y＝50x2 D．y＝eq \f(1,1 000)ex


答案 D


解析 指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，而且a越大，增长速度越快，故选D.


2．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：





则关于x分别呈对数型函数，指数型函数，直线型函数变化的变量依次为( )


A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3


C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2


答案 C


解析 通过指数型函数，对数型函数，直线型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；直线型函数的增长速度稳定不变，y1随x的变化符合此规律，故选C.


3．甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1




答案 B


4．下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________．(填序号)


①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.


考点 建立函数模型解决实际问题


题点 建立函数模型解决实际问题


答案 ①


5．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为________元．(精确到个位)


(附：1.066≈1.42,1.067≈1.50,1.068≈1.59)


答案 4 500


解析 根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y＝3 000×1.06x，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x＝7代入，即可求得y＝3 000×1.067≈4 500.





1．知识清单：三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型.


2．方法归纳：把实际问题转化为数学问题．


3．常见误区：实际问题应有定义域并作答．








1．下列函数中，增长速度越来越慢的是( )


A．y＝6x B．y＝lg6x


C．y＝x6 D．y＝6x


考点 三种函数模型增长的差异


题点 三种函数模型增长速度的差异


答案 B


解析 D增长速度不变，A，C增长速度越来越快，只有B符合题意．


2．下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )





A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝lg2t


C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2


考点 建立函数模型解决实际问题


题点 指数函数模型的应用


答案 A


解析 由题干中的图象可知，该函数模型应为指数函数模型．


3．如图所示是某条公共汽车路线收支差额y与乘客量x的图象(收支差额＝车票收入－支出费用)．由于目前本条路线在亏损，公司有关人员提出了两条建议：


建议(1)是不改变车票价格，减少支出费用；建议(2)是不改变支出费用，提高车票价格．图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态．下列说法中正确的是( )








A．①反映了建议(2)，③反映了建议(1)


B．①反映了建议(1)，③反映了建议(2)


C．②反映了建议(1)，④反映了建议(2)


D．④反映了建议(1)，②反映了建议(2)


答案 B


解析 建议(1)是不改变车票价格，减少支出费用，也就是增大y，车票价格不变，即平行于原图象．故①反映了建议(1)；建议(2)是不改变支出费用，提高车票价格，即图形增大倾斜度，提高价格，故③反映了建议(2)．故答案为B.


4．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( )





考点 三种函数模型增长的差异


题点 三种函数模型增长速度的差异


答案 D


解析 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝lg1.104x(x≥1)，


∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．


5．能使不等式lg2x

A．(0，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，2) D．(4，＋∞)


考点 三种函数模型增长的差异


题点 三种函数模型增长速度的差异


答案 D


6．某汽车油箱中存油22千克，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩油量y(千克)与流出时间x(分钟)之间的函数关系式为________________．


答案 y＝22－eq \f(11,100)x(0≤x≤200)


解析 流速为eq \f(22,200)＝eq \f(11,100)，x分钟可流eq \f(11,100)x，


则y＝22－eq \f(11,100)x(0≤x≤200)．


7．工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为___万件．


考点 函数模型的应用


题点 指数、对数型函数模型的应用


答案 1.75


解析 由题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝0.5a＋b，,1.5＝0.25a＋b，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝2，)) ∴y＝－2×0.5x＋2，


∴3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．


8．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：





其中，关于x呈指数函数变化的函数是________．


答案 y1


解析 从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是随x的增大越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化．


9.函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．





(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；


(2)以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较．


解 (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.


(2)当0f(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．


10．某企业常年生产一种出口产品，由于技术革新后，该产品的产量平稳增长．记2012年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：





若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：


f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝＋a.


(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后求出相应的解析式(所求a或b的值保留1位小数)；


(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，从2016年起，年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量．


解 (1)符合条件的是f(x)＝ax＋b，


若模型为f(x)＝2x＋a，


则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，


即f(x)＝2x＋2，


此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合．


若模型为f(x)＝＋a，


则f(x)是减函数，与已知不符合．


由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1.5，,b＝2.5，))


所以f(x)＝1.5x＋2.5，x∈N*.


(2)2019年预计年产量为f(8)＝1.5×8＋2.5＝14.5，


2019年实际年产量为14.5×(1－30%)＝10.15(万件)．





11.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )








考点 三种函数模型增长的差异


题点 三种函数模型增长速度的差异


答案 B


解析 v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.


12．四人赛跑，假设他们跑过的路程：fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝lg2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去(不考虑其他因素)，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )


A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x C．f3(x)＝lg2x D．f4(x)＝2x


答案 D


解析 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.


13．近几年由于北京房价的上涨，引起二手房市场交易火爆，房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2013年以180万的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2023年，这套房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是_______．


答案 y＝180(1＋x)10


解析 1年后的价格为180＋180·x＝180(1＋x)(万元)，2年后的价格为180(1＋x)＋180(1＋x)·x＝180(1＋x)(1＋x)＝180(1＋x)2(万元)，


由此可推得10年后的价格为180(1＋x)10万元．


14．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent，假设5秒后甲桶和乙桶的水量相等，则n＝________；若再过m秒甲桶中的水量只有eq \f(a,4)升，则m＝________.


答案 －eq \f(1,5)ln 2 5


解析 ∵5秒后两桶的水量相等，


则ae5n＝eq \f(a,2)⇒e5n＝eq \f(1,2)⇒n＝eq \f(1,5)ln eq \f(1,2)＝－eq \f(1,5)ln 2，


若k秒后甲桶水量为eq \f(a,4)，


则aenk＝eq \f(a,4)，enk＝eq \f(1,4)⇒nk＝ln eq \f(1,4)⇒－eq \f(1,5)ln 2·k＝－2ln 2，


∴k＝10，∴m＝10－5＝5.





15．以下四种说法中，正确的是( )


A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快


B．对任意的x>0，xn>lgax


C．对任意的x>0，ax>lgax


D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>lgax


答案 D


解析 对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B，C，当01，n>1时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xn>lgax，但若去掉限制条件“a>1，n>1”，则结论不成立．


16．某公司对营销人员有如下规定：


①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)在[8,64]内时，奖金为y万元，且y＝lgax，y∈[3,6]，a>0且a≠1，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x(万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金．


(1)求y关于x的函数解析式；


(2)若某营销人员争取年奖金y∈[4,10](万元)，求年销售额x所在的范围．


解 (1)由题意知y＝lgax是增函数，


∴a>1，


又当x∈[8,64]，y∈[3,6]，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lga8＝3，,lga64＝6，))∴a＝2，


∴y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，0≤x<8，,lg2x，8≤x≤64，,10%x，x>64.))


(2)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x≥4，,10%x≤10，))解得16≤x≤100，


∴年奖金y∈[4,10](万元)时，年销售额x的取值范围为[16,100]．函数


性质
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化
随x的增大逐渐变“陡”
随x的增大逐渐趋于稳定
随x的增大匀速上升
增长速度
y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝lgax的增长
增长后果
会存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>lgax
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
32 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.01
1.39
2.05
2.12
2.41
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
25
45
65
85
105
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5
6.10
6.61
6.95
7.2
7.4
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y1
2
4
8
16
32
64
128
256
…
y2
1
4
9
16
25
36
49
64
…
y3
0
1
1.585
2
2.322
2.585
2.807
3
…
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44