高中人教A版 (2019)5.3 诱导公式精品学案设计

这是一份高中人教A版 (2019)5.3 诱导公式精品学案设计，共11页。
学习目标 1.了解公式五和公式六的推导方法.2.能够准确记忆公式五和公式六.3.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．





知识点一 公式五


1．角eq \f(π,2)－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．





2．公式：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs α，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α.


思考 设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2，点P2的坐标是什么？


答案 P2(y，x)．


知识点二 公式六


1．公式：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs α，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α.


2．公式五与公式六中角的联系eq \f(π,2)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)).


思考 如何由公式四及公式五推导公式六？


答案 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs α，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－sin α.


预习小测 自我检验


1．若cs A＝eq \f(1,2)，那么sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))＝ .


答案 eq \f(1,2)


2．已知sin α＝eq \f(2,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝ .


答案 eq \f(2,3)


解析 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α＝eq \f(2,3).


3．已知sin α＝eq \f(3,5)，α为第二象限角，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－α))＝ .


答案 －eq \f(3,5)


4．若α＋β＝eq \f(π,2)且sin α＝eq \f(1,5)，则cs β＝ .


答案 eq \f(1,5)


解析 因为α＋β＝eq \f(π,2)，所以β＝eq \f(π,2)－α，


所以cs β＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α＝eq \f(1,5).





一、化简求值


例1 (1)已知cs 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )


A.eq \f(1－m2,m) B.eq \r(1－m2)


C．－eq \f(1－m2,m) D．－eq \r(1－m2)


答案 B


解析 sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)


＝－sin 59°(－tan 31°)


＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)


＝－cs 31°·(－tan 31°)＝sin 31°


＝eq \r(1－cs231°)＝eq \r(1－m2).


(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))的值为 ．


答案 eq \f(1,2)


解析 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2).


延伸探究


1．将本例(2)的条件中的“－”改为“＋”，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))的值．


解 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,3)＋α))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝－eq \f(1,2).


2．将本例(2)增加条件“α是第三象限角”，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)＋α))的值．


解 因为α是第三象限角，所以－α是第二象限角，


又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2)，


所以eq \f(π,3)－α是第二象限角，


所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(\r(3),2)，


所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,6)＋α))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(\r(3),2).


反思感悟 解决化简求值问题的策略：


(1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．


(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化．


提醒：常见的互余关系有：eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α，eq \f(π,4)＋α与eq \f(π,4)－α等；常见的互补关系有：eq \f(π,3)＋θ与eq \f(2π,3)－θ，eq \f(π,4)＋θ与eq \f(3π,4)－θ等．


跟踪训练1 (1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值等于( )


A.eq \f(2\r(2),3) B．－eq \f(2\r(2),3) C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)


答案 D


解析 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝－eq \f(1,3).


(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))＝eq \f(1,5)，那么cs α等于( )


A．－eq \f(2,5) B．－eq \f(1,5) C.eq \f(1,5) D.eq \f(2,5)


答案 C


解析 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,2)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs α＝eq \f(1,5).


二、证明恒等式


例2 求证：eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3,2)π))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2θ)＝eq \f(tan9π＋θ＋1,tanπ＋θ－1).


证明 左边＝eq \f(－2cs θ·sin θ－1,cs2θ－sin2θ)＝eq \f(－sin θ＋cs θ2,cs θ－sin θcs θ＋sin θ)＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝eq \f(tan θ＋1,tan θ－1)，


右边＝eq \f(tan θ＋1,tan θ－1)，所以原等式成立．





反思感悟 三角恒等式的证明策略


对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．


跟踪训练2 求证：eq \f(cs2π－θ,csπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))＋eq \f(csπ－θ,cs θ\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－θ))－1)))＝eq \f(2,sin2θ).


证明 左边＝eq \f(cs θ,－cs θcs θ＋cs θ)＋eq \f(－cs θ,cs θ－cs θ－1)


＝eq \f(1,1－cs θ)＋eq \f(1,1＋cs θ)＝eq \f(1＋cs θ＋1－cs θ,1－cs θ1＋cs θ)


＝eq \f(2,1－cs2θ)＝eq \f(2,sin2θ)＝右边，


∴原等式成立．


三、诱导公式的综合应用


例3 已知cs α＝－eq \f(4,5)，且α为第三象限角．


(1)求sin α的值；


(2)求f(α)＝eq \f(tanπ－α·sinπ－α·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),csπ＋α)的值．


解 (1)因为α为第三象限角，


所以sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(3,5).


(2)f(α)＝eq \f(－tan α·sin α·cs α,－cs α)＝tan α·sin α＝eq \f(sin α,cs α)·sin α


＝eq \f(sin2α,cs α)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)))＝－eq \f(9,20).


延伸探究


1．本例条件不变，求f(α)＝eq \f(sin5π－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α))tan－π＋α,－tan－19π－αsin－α)的值．


解 f(α)＝eq \f(sin α·－sin α·tan α,tan α·－sin α)＝sin α＝－eq \f(3,5).


2．本例条件中“cs α＝－eq \f(4,5)”改为“α的终边与单位圆交于点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(\r(15),4)))”，“第三象限”改为“第二象限”，试求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))),sinπ＋α－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＋1)的值．


解 由题意知m2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),4)))2＝1，


解得m2＝eq \f(1,16)，


因为α为第二象限角，故m