高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算优秀第1课时导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算优秀第1课时导学案及答案，共8页。学案主要包含了并集等内容，欢迎下载使用。

第1课时 并集与交集


学习目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义．会求两个简单集合的并集和交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．





知识点一 并集





思考 集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？


答案 不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．


知识点二 交集





预习小测 自我检验


1．设集合M＝{4,5,6,8}，N＝{3,5,7,8}，则M∪N＝________.


答案 {3,4,5,6,7,8}


解析 ∵M＝{4,5,6,8}，N＝{3,5,7,8}，∴M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．


2．已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x>0}，则A∪B＝________.


答案 {x|x>0}


解析 A∪B＝{x|x>1}∪{x|x>0}＝{x|x>0}．


3．已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{－1,0,3}，则A∩B＝________.


答案 {－1,0}


解析 由A＝{－1,0,1,2}，B＝{－1,0,3}，得A∩B＝{－1,0}．


4．已知集合M＝{x|－3

答案 ∅


解析 利用数轴表示集合M与N，可得M∩N＝∅.





一、并集、交集的运算


例1 (1)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2

A．{x|x>－2} B．{x|x>－1}


C．{x|－2

答案 A


解析 画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．





(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )


A．5 B．4 C．3 D．2


答案 D


解析 ∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，


∴8∈A,14∈A，


∴A∩B＝{8,14}，故选D.


反思感悟 求解集合并集、交集的类型与方法


(1)若是用列举法表示的数集，可以根据并集、交集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；


(2)若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．


二、并集、交集性质的应用


例2 已知集合A＝{x|－3

解 (1)当B＝∅，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.


(2)当B≠∅时，要使A∪B＝A，


只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3

综合(1)(2)可知eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(k\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≤\f(5,2))))).


延伸探究


1．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．


解 由A∩B＝A可知A⊆B.


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3≥k＋1，,2k－1≥4，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≤－4，,k≥\f(5,2)，))所以k∈∅.


所以k的取值范围为∅.


2．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3

解 由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3

所以k的值为3.


反思感悟 (1)在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况．


(2)集合运算常用的性质：


①A∪B＝B⇔A⊆B；


②A∩B＝A⇔A⊆B；


③A∩B＝A∪B⇔A＝B.


跟踪训练 (1)A＝{x|x≤－1，或x≥3}，B＝{x|a

A．3≤a<4 B．－1

C．a≤－1 D．a<－1


答案 C


解析 利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1.





(2)若集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋9}，A∪B＝B，则m的取值范围是________．


答案 －2≤m≤－1


解析 ∵A∪B＝B，


∴A⊆B，如图所示，





∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－1≤－3，,2m＋9≥5，))解得－2≤m≤－1.


∴m的取值范围为{m|－2≤m≤－1}．





含字母的集合运算忽视空集或检验


典例 (1)已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则a的值是( )


A．1或2 B．2或4 C．2 D．1


答案 C


解析 ∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或2.当a＝1时，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}，不合题意；当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}，符合题意．


(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，若A∩B＝B，则a的取值范围为________．


答案 {a|a≥2}


解析 由题意，得A＝{1,2}．∵A∩B＝B，∴B⊆A，


∴当B＝∅时，(－2)2－4(a－1)<0，解得a>2；


当1∈B时，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此时B＝{1}，符合题意；


当2∈B时，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此时B＝{0,2}，不合题意．


综上所述，a的取值范围是{a|a≥2}．


[素养提升] (1)经过数学运算后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视．


(2)在本例(2)中，A∩B＝B⇔B⊆A，B可能为空集，极易被忽视．





1．已知集合A＝{1,6}，B＝{5,6,8}，则A∪B等于( )


A．{1,6,5,6,8} B．{1,5,6,8}


C．{0,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}


答案 B


解析 求集合的并集时，要注意集合中元素的互异性．


2．若集合M＝{－1,0,1,2}，N＝{x|x(x－1)＝0}，则M∩N等于( )


A．{－1,0,1,2} B．{0,1,2}


C．{－1,0,1} D．{0,1}


答案 D


解析 N＝{0,1}，M∩N＝{0,1}．


3.已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )








A．{0,1} B．{0}


C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}


答案 D


解析 由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故选D.


4．已知集合A＝{x|－1

答案 {x|－1

解析 因为A＝{x|－1

5．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．


答案 m≥2


解析 ∵A∪B＝A，∴B⊆A.又A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，∴m≥2.





1．知识清单：


(1)并集、交集的概念及运算．


(2)并集、交集运算的性质．


(3)求参数值或范围．


2．方法归纳：数形结合、分类讨论．


3．常见误区：由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论．








1．(2019·全国Ⅱ)已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于( )


A．{x|x>－1} B．{x|x<2}


C．{x|－1

答案 C


解析 A∩B＝{x|x>－1}∩{x|x<2}＝{x|－1

2．A，B是两个集合，则集合{x|x∈A，且x∈B}可用阴影表示为( )





答案 D


解析 集合{x|x∈A，且x∈B}＝A∩B，故D正确．


3．A∩B＝A，B∪C＝C，则A，C之间的关系必有( )


A．A⊆C B．C⊆A


C．A＝C D．以上都不对


答案 A


解析 A∩B＝A⇒A⊆B，B∪C＝C⇒B⊆C，∴A⊆C.


4．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )


A．0 B．1 C．2 D．4


答案 D


解析 ∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.


5.如图所示的Venn图中，若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x>1}，则阴影部分表示的集合为( )





A．{x|0

B．{x|1

C．{x|0≤x≤1，或x≥2}


D．{x|0≤x≤1，或x>2}


答案 D


解析 因为A∩B＝{x|12}．


6．若集合A＝{x|－1

答案 R {x|4≤x<5}


解析 借助数轴可知：A∪B＝R，A∩B＝{x|4≤x<5}．





7．满足{1}∪B＝{1,2}的集合B的个数是__________．


答案 2


解析 由{1}∪B＝{1,2}，故B＝{2}，{1,2}，共2个．


8．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．


答案 {a|a≤1}


解析 因为A∪B＝R，画出数轴(图略)可知表示实数a的点必须与表示1的点重合或在表示1的点的左边，所以a≤1.


9．已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值．


解 因为A∩B＝{3}，所以3∈A.


从而可得p＝8，所以A＝{3,5}．


又由于3∈B，且A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，


所以B＝{2,3}．


所以方程x2－ax－b＝0的两个根为2和3.


由根与系数的关系可得a＝5，b＝－6.


综上可得，p＝8，a＝5，b＝－6.


10．集合A＝{x|－1

(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；


(2)若A∪B＝{x|x<1}，求a的取值范围．


解 (1)如下图所示，A＝{x|－1




∴数轴上的点x＝a在x＝－1的左侧(含点x＝－1)，


∴a≤－1，即a的取值范围为{a|a≤－1}．


(2)如下图所示，A＝{x|－1




∴数轴上的点x＝a在x＝－1和x＝1之间(含点x＝1，但不含点x＝－1)，


∴－1




11．若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有( )


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


答案 B


解析 ∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或eq \r(2)或－eq \r(2)或1.经检验，当x＝eq \r(2)或－eq \r(2)时满足题意，故选B.


12．设集合S＝{x|x>5或x<－1}，T＝{x|a

A．－3

C．a≤－3或a≥－1 D．a<－3或a>－1


答案 A


解析 ∵S∪T＝R，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋8>5，,a<－1.))


∴－3

13．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B＝∅，则实数a的取值集合为( )


A．{a|a<2} B．{a|a≥－1}


C．{a|a<－1} D．{a|－1≤a≤2}


答案 C


解析 如图，要使A∩B＝∅，应有a<－1.





14．已知集合A＝{－2,3,4,6}，集合B＝{3，a，a2}，若B⊆A，则实数a＝________；若A∩B＝{3,4}，则实数a＝________.


答案 －2 2或4


解析 ∵集合A＝{－2,3,4,6}，集合B＝{3，a，a2}，B⊆A，


∴a＝－2.


∵A∩B＝{3,4}，∴a＝4或a2＝4，


∴a＝2或4.





15．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．


答案 12


解析 设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10－(15－x)＝x－5，故15＋x－5＝30－8，解得x＝12.


16．已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，是否存在a使A，B同时满足下列三个条件：


(1)A≠B；


(2)A∪B＝B；


(3)∅(A∩B)．


若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．


解 假设存在a使得A，B满足条件，由题意得B＝{2,3}．


∵A∪B＝B，∴A⊆B，即A＝B或AB.


由条件(1)A≠B，可知AB.


又∵∅(A∩B)，∴A≠∅，即A＝{2}或{3}．


当A＝{2}时，代入得a2－2a－15＝0，即a＝－3或a＝5.


经检验：a＝－3时，A＝{2，－5}，与A＝{2}矛盾，舍去；


a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{2}矛盾，舍去．


当A＝{3}时，代入得a2－3a－10＝0.即a＝5或a＝－2.


经检验：a＝－2时，A＝{3，－5}，与A＝{3}矛盾，舍去；


a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{3}矛盾，舍去．


综上所述，不存在实数a使得A，B满足条件．