高中数学人教A版 (2019)必修第一册1.4 充分条件与必要条件优质学案及答案

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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修第一册1.4 充分条件与必要条件优质学案及答案，共8页。学案主要包含了充分条件的判断，必要条件的判断，充分条件与必要条件的应用等内容，欢迎下载使用。

1．4.1 充分条件与必要条件

学习目标 1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题．

知识点充分条件与必要条件

思考若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？

答案不唯一．例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是“x>2”“x>3”或“2

预习小测自我检验

1．若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的________条件．

答案必要

2．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．

答案充分

3．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件．

答案必要

解析 ∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p，

∴p是q的必要条件．

4．p：a＝0，q：ab＝0，则p是q的________条件．

答案充分

一、充分条件的判断

例1 (1)下列命题中，p是q的充分条件的是________．

①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；

②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；

③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根．

答案 ③

解析 ①∵(x－2)(x－3)＝0，

∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.

∴p不是q的充分条件．

②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件．

③∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件．

(2)“a>2且b>2”是“a＋b>4，ab>4”的________条件．

答案充分

解析由a>2且b>2⇒a＋b>4，ab>4，

∴是充分条件．

反思感悟充分条件的判断方法

(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．

(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件．

跟踪训练1 “x>2”是“x2>4”的________条件．

答案充分

解析 x>2⇒x2>4，故x>2是x2>4的充分条件．

二、必要条件的判断

例2 在以下各题中，分析p与q的关系：

(1)p：x>2且y>3，q：x＋y>5；

(2)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形．

解 (1)由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)由于q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件．

反思感悟 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件．

(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件．

跟踪训练2 分析下列各项中p与q的关系．

(1)p：α为锐角，q：α＝45°.

(2)p：(x＋1)(x－2)＝0，q：x＋1＝0.

解 (1)由于q⇒p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．

(2)由于q⇒p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．

三、充分条件与必要条件的应用

例3 已知p：实数x满足3a

解 p：3a

q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．

因为p⇒q，所以A⊆B，

所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a≥－2，,a≤3，,a<0))⇒－eq \f(2,3)≤a<0，

所以a的取值范围是－eq \f(2,3)≤a<0.

延伸探究

1．将本例中条件p改为“实数x满足a0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．

解 p：a

q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．

因为q⇒p，所以B⊆A，

所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a>3，,a<－2，,a>0))⇒a∈∅.

2．将例题中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围．

解 p：3a

q：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}．

因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以A⊆B，

所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a≥－3，,a≤0，,a<0))⇒－1≤a<0.

所以a的取值范围是－1≤a<0.

反思感悟充分条件与必要条件的应用技巧

(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．

(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．

1．若p是q的充分条件，则q是p的( )

A．充分条件

B．必要条件

C．既不是充分条件也不是必要条件

D．既是充分条件又是必要条件

答案 B

解析因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．

2．下列命题中，p是q的充分条件的是( )

A．p：ab≠0，q：a≠0

B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0

C．p：x2>1，q：x>1

D．p：a>b，q：eq \r(a)>eq \r(b)

答案 A

解析根据充分条件的概念逐一判断．

3．“同位角相等”是“两直线平行”的( )

A．充分条件

B．必要条件

C．既是充分条件，也是必要条件

D．既不充分又不必要条件

答案 C

4．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．

答案 a≤1

解析因为x>1⇒x>a，所以a≤1.

5．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空)．

答案必要充分

解析由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．

1．知识清单：

(1)充分条件、必要条件的概念．

(2)充分性、必要性的判断．

(3)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．

(4)充分条件与必要条件的应用．

2．常见误区：

充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值．

1．使x>3成立的一个充分条件是( )

A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2

答案 A

解析只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3.

2．使x>1成立的一个必要条件是( )

A．x>0 B．x>3 C．x>2 D．x<2

答案 A

解析只有x>1⇒x>0，其他选项均不可由x>1推出，故选A.

3．下列p是q的必要条件的是( )

A．p：a＝1，q：|a|＝1

B．p：－1

C．p：a

D．p：a>b，q：a>b＋1

答案 D

解析要满足p是q的必要条件，即q⇒p，只有q：a>b＋1⇒q：a－b>1⇒p：a>b，故选D.

4．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是( )

A．若eq \f(1,x)＝eq \f(1,y)，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1

C．若x＝y，则eq \r(x)＝eq \r(y) D．若x

答案 A

解析 B项中，x2＝1⇒x＝1或x＝－1；C项中，当x＝y<0时，eq \r(x)，eq \r(y)无意义；D项中，当xy2，所以B，C，D中p不是q的充分条件．

5．下列命题中，p是q的充分条件的是( )

A．p：a是无理数，q：a2是无理数

B．p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等

C．p：x>0，q：x≥1

D．p：a>b，q：ac2>bc2

答案 B

6．下列说法不正确的是________．(只填序号)

①“x>5”是“x>4”的充分条件；

②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；

③“－2

答案 ②

解析 ②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②不正确；①③正确．

7．条件p：5－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围是__________．

答案 {a|a≤5}

解析 p：x>5，若p是q的充分条件，则p⇒q，也就是说，p对应集合是q对应集合的子集，所以a≤5.

8．下列式子：

①a<0

其中能使eq \f(1,a)

答案 ①②④

解析当a<0

当b

当b<0

当0

所以能使eq \f(1,a)

9．指出下列各组命题中，p是q的什么条件：

(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；

(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；

(3)p：a

解在(1)中，由大角对大边，且A>B知BC>AC，反之也正确，所以p既是q的充分条件，也是q的必要条件；

在(2)中，若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0不一定a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件；

在(3)中，当a＝－2，b＝－1时，eq \f(a,b)＝2>1；当a＝2，b＝－1时，eq \f(a,b)＝－2<1，所以p既不是q的充分条件，也不是必要条件．

10．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？

(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？

解 (1)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件，

则只要eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(m,2)))))⊆{x|x<－1或x>3}，

即只需－eq \f(m,2)≤－1，所以m≥2.

故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件．

(2)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}⊆eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(m,2)))))，

这是不可能的．

故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件．

11．对任意实数a，b，c，下列命题中，真命题是( )

A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件

B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件

C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件

D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件

答案 B

解析 “a＝b”⇒“a－b＝0”⇒“(a－b)c＝0”⇒“ac＝bc”，∴“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．

12．已知集合A＝{x∈R|－1

A．m≥2 B．m≤2

C．m>2 D．－2

答案 A

解析因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，

所以A⊆B，所以3≤m＋1，即m≥2.

13．若A＝{x|a3}，且A是B的充分条件，则实数a的取值范围为_______________．

答案 {a|a≤－3，或a≥3}

解析因为A是B的充分条件，

所以A⊆B，

又A＝{x|a3}．

因此a＋2≤－1或a≥3，

所以实数a的取值范围是{a|a≤－3，或a≥3}．

14．已知条件p：x<－1或x>3，条件q：x<－m＋1或x>m＋1(m>0)，若条件p是条件q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．

答案 {m|0

解析由题意，设集合A＝{x|x<－1或x>3}，B＝{x|<－m＋1或x>m＋1}，

因为条件p是条件q的充分不必要条件，即集合A是集合B的真子集，

所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－m＋1≥－1，,m＋1<3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－m＋1>－1，,m＋1≤3，))解得m<2，

又m>0，所以实数m的取值范围是0

15．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )

A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件

D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

答案 A

解析因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．

又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇏丙，

如图．

综上，有丙⇒甲，但甲⇏丙，

即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．

16．若p：－2

解若a＝－1，b＝eq \f(1,2)，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故p⇏q.

若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x1，x2，且0

于是0<－a<2,0

即－2

所以p是q的必要条件，但不是充分条件．“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p是q的充分条件

q是p的必要条件
p不是q的充分条件

q不是p的必要条件
定理关系
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件

性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件