人教A版 (2019)1.4 充分条件与必要条件优秀学案

这是一份人教A版 (2019)1.4 充分条件与必要条件优秀学案，共9页。学案主要包含了充分，充要条件的证明，充要条件的应用等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明．





知识点 充要条件


一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q.





1．“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．( √ )


2．q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √ )


3．若p是q的充要条件，则条件p和q是两个相互等价的条件．( √ )


4．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．( √ )





一、充分、必要、充要条件的判断


例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．


(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；


(2)p：x>1，q：x2>1；


(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；


(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.


解 (1)∵p⇒q，q不能推出p，


∴p是q的充分不必要条件．


(2)∵p⇒q，q不能推出p，


∴p是q的充分不必要条件．


(3)∵p不能推出q，q⇒p，


∴p是q的必要不充分条件．


(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，


∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q.


而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p.


∴p是q的必要不充分条件．


反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法


(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．


(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．


(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．


跟踪训练1 已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的________条件．


答案 充要


解析 因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，


充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．


二、充要条件的证明


例2 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.


证明 充分性：因为a＋b＋c＝0，


所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，


得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.


所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.


必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，


所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.


所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.


故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.


延伸探究


求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac<0.


证明 必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根，


所以Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝eq \f(c,a)<0，


所以ac<0.


充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝eq \f(c,a)<0，


所以方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，且两根异号，


即方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根．


反思感悟 充要条件证明的两个思路


(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性．


(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．


跟踪训练2 已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.


证明 充分性：若a2－b2＝1成立，


则a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1，


所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件．


必要性：若a4－b4－2b2＝1成立，


则a4－(b2＋1)2＝0，


即(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0.


因为a，b为实数，所以a2＋b2＋1≠0，


所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1.


综上可知，a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.


三、充要条件的应用


例3 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．


解 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．


因为p是q的必要不充分条件，


所以q是p的充分不必要条件，


即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，


故有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≥－2，,1＋m<10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m>－2，,1＋m≤10，))


解得m≤3.


又m>0，


所以实数m的取值范围为{m|0

延伸探究


1．若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．


解 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．


因为p是q的充分不必要条件，


设p代表的集合为A，q代表的集合为B，


所以AB.


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m<－2，,1＋m≥10.))


解不等式组得m>9或m≥9，


所以m≥9，


即实数m的取值范围是m≥9.


2．本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．


解 因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．


若p是q的充要条件，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2＝1－m，,10＝1＋m，))m不存在．


故不存在实数m，使得p是q的充要条件．


反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤


(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．


(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．


跟踪训练3 已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．


解 设A＝{x|x<－2或x>3}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(m,4)))))，


因为p是q的必要不充分条件，


所以BA，所以－eq \f(m,4)≤－2，即m≥8.


所以m的范围为{m|m≥8}．





1．“x>0”是“x≠0”的( )


A．充分不必要条件


B．必要不充分条件


C．充要条件


D．既不充分又不必要条件


答案 A


解析 由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．


2．已知x∈R，则“eq \f(1,x)>1”是“x<1”的( )


A．充分不必要条件


B．必要不充分条件


C．充要条件


D．既不充分又不必要条件


答案 A


解析 “eq \f(1,x)>1”⇔0

∴“eq \f(1,x)>1”是“x<1”的充分不必要条件．


3．设条件甲为0

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充要条件 D．既不充分又不必要条件


答案 A


解析 甲对应集合A＝{x|0

4．若命题p：两直线平行，命题q：内错角相等，则p是q的________条件．


答案 充要


5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个合适的填空．


(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的_____________；


(2)“x<5”是“x<3”的_____________．


答案 (1)充要条件 (2)必要不充分条件


解析 (1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．


(2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为AB，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．





1．知识清单：


(1)充要条件概念的理解．


(2)充要条件的证明．


(3)根据条件求参数范围．


2．方法归纳：等价转化为集合间的关系．


3．常见误区：条件和结论辨别不清．








1．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充要条件 D．既不充分又不必要条件


答案 A


解析 当x＝1时，x3＝x成立．若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1,0,1；不一定得到x＝1.


2．设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a

A．充分不必要条件


B．必要不充分条件


C．充要条件


D．既不充分又不必要条件


答案 A


解析 因为a，b∈R，(a－b)a2<0，


可得a

由a

所以根据充分必要条件的定义可以判断，若a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a

3．已知四边形ABCD，则“A，B，C，D四点共圆”是“∠A＋∠C＝180°”成立的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充要条件 D．既不充分又不必要条件


答案 C


4．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的( )


A．必要不充分条件


B．充分不必要条件


C．充要条件


D．既不充分又不必要条件


答案 A


解析 由条件，知D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，但A⇏D，故选A.


5．已知a，b是实数，则“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充要条件 D．既不充分又不必要条件


答案 B


解析 ab＝0推不出a2＋b2＝0，由a2＋b2＝0可得a＝b＝0，推出ab＝0，故选B.


6．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的____________条件．


答案 既不充分又不必要


解析 若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；反之，若ab>0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分又不必要条件．


7．若“x≤－1，或x≥1”是“x

答案 －1


解析 “x≤－1，或x≥1”是“x

所以实数a的最大值为－1.


8．m＝1是函数y＝为二次函数的________条件．


答案 充分不必要


解析 当m＝1时，函数y＝x2，为二次函数．反之，当函数为二次函数时，m2－4m＋5＝2，即m＝3或m＝1，所以m＝1是y＝为二次函数的充分不必要条件．


9．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.


证明 ①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况．


当xy＝0时，不妨设x＝0，


则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．


同理，当y＝0，或x＝0且y＝0时，|x＋y|＝|x|＋|y|，


∴当xy＝0时，等式成立，


当xy>0时，即x>0，y>0或x<0，y<0，


又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，


∴等式成立．


当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，


|x|＋|y|＝－x－y，∴等式成立．


总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．


②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，


得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，


即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，


∴|xy|＝xy，∴xy≥0.


综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．


10．设命题p：eq \f(1,2)≤x≤1；命题q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．


解 设A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤x≤1))))，B＝{x|a≤x≤a＋1}，


由p是q的充分不必要条件，可知AB，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤\f(1,2)，,a＋1>1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<\f(1,2)，,a＋1≥1，))


解得0≤a≤eq \f(1,2)，


故所求实数a的取值范围是0≤a≤eq \f(1,2).





11．“函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充要条件 D．既不充分又不必要条件


答案 A


解析 函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方，则Δ＝4a2－4a<0，解得0

12．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则( )


A．“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件


B．“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件


C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件


D．“x∈C”是“x∈A”的既不充分又不必要条件


答案 B


解析 由A∪B＝C知，x∈A⇒x∈C，x∈C⇏x∈A.


所以x∈C是x∈A的必要不充分条件．


13．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝________.


答案 －2


解析 当m＝－2时，y＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.


14．k>4，b<5是一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的________条件．


答案 充要


解析 ∵k>4时，k－4>0，b<5时，b－5<0，


∴直线y＝(k－4)x＋b－5交y轴于负半轴，交x轴于正半轴；


y＝(k－4)x＋(b－5)与y轴交于(0，b－5)与x轴交于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5－b,k－4)，0))，


由交y轴于负半轴，交x轴于正半轴可知


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b－5<0，,\f(5－b,k－4)>0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b<5，,k>4.))





15．设m∈N*，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝________.


答案 3或4


解析 x＝eq \f(4±\r(16－4m),2)＝2±eq \r(4－m)，因为x是整数，


即2±eq \r(4－m)为整数，所以eq \r(4－m)为整数，且m≤4，又m∈N*，取m＝1,2,3,4.验证可得m＝3,4符合题意，所以m＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根．


16．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．


解 当a＝0时，x＝－eq \f(1,2)符合题意．


当a≠0，令f(x)＝ax2＋2x＋1.


∵f(0)＝1>0，


∴若a>0，则－eq \f(2,a)<0，eq \f(1,a)>0，∴只要Δ＝4－4a≥0，即a≤1，∴0

若a<0，则eq \f(1,a)<0，Δ＝4－4a>0，


方程恒有两异号实数根．


综上所述，a≤1为所求．