人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质精品学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质精品学案，共3页。学案主要包含了加项变换，平方后使用基本不等式，展开后求最值，常数代换法求最值，代换减元求最值，建立求解目标不等式求最值等内容，欢迎下载使用。

在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用．


一、加项变换


例1 已知关于x的不等式x＋eq \f(1,x－a)≥7在x>a上恒成立，则实数a的最小值为________．


答案 5


解析 ∵x>a，


∴x－a>0，


∴x＋eq \f(1,x－a)＝(x－a)＋eq \f(1,x－a)＋a≥2＋a，


当且仅当x＝a＋1时，等号成立，


∴2＋a≥7，即a≥5.


反思感悟 加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解．


二、平方后使用基本不等式


例2 若x>0，y>0，且2x2＋eq \f(y2,3)＝8，则xeq \r(6＋2y2)的最大值为________．


答案 eq \f(9,2)eq \r(3)


解析 (xeq \r(6＋2y2))2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(y2,3)))


≤3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x2＋1＋\f(y2,3),2)))2＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))2.


当且仅当2x2＝1＋eq \f(y2,3)，即x＝eq \f(3,2)，y＝eq \f(\r(42),2)时，等号成立．


故xeq \r(6＋2y2)的最大值为eq \f(9,2)eq \r(3).


三、展开后求最值


例3 若a，b是正数，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4a,b)))的最小值为( )


A．7 B．8 C．9 D．10


答案 C


解析 ∵a，b是正数，


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4a,b)))＝1＋eq \f(4a,b)＋eq \f(b,a)＋4＝5＋eq \f(4a,b)＋eq \f(b,a)


≥5＋2eq \r(\f(4a,b)·\f(b,a))＝5＋4＝9，


当且仅当b＝2a时取“＝”．


四、常数代换法求最值


例4 已知x，y是正数且x＋y＝1，则eq \f(4,x＋2)＋eq \f(1,y＋1)的最小值为( )


A.eq \f(13,15) B.eq \f(9,4) C．2 D．3


答案 B


解析 由x＋y＝1得(x＋2)＋(y＋1)＝4，


即eq \f(1,4)[(x＋2)＋(y＋1)]＝1，


∴eq \f(4,x＋2)＋eq \f(1,y＋1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,x＋2)＋\f(1,y＋1)))·eq \f(1,4)[(x＋2)＋(y＋1)]


＝eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4＋1＋\f(4y＋1,x＋2)＋\f(x＋2,y＋1)))


≥eq \f(1,4)(5＋4)＝eq \f(9,4)，


当且仅当x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,3)时“＝”成立，故选B.


反思感悟 通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的．


五、代换减元求最值


例5 若实数x，y满足xy＋3x＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0

答案 8


解析 ∵实数x，y满足xy＋3x＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0

∴x＝eq \f(3,y＋3)，∴03.


则eq \f(3,x)＋eq \f(1,y－3)＝y＋3＋eq \f(1,y－3)＝y－3＋eq \f(1,y－3)＋6≥2eq \r(y－3·\f(1,y－3))＋6＝8，当且仅当y＝4，x＝eq \f(3,7)时取等号．


反思感悟 在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个或一个变元的问题，再使用基本不等式求解．


六、建立求解目标不等式求最值


例6 已知a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，则3a＋4b的最小值等于________．


答案 6eq \r(2)－1


解析 a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，


即有(a＋b)(a＋2b＋1)＝9，


即(2a＋2b)(a＋2b＋1)＝18，


可得3a＋4b＋1＝(2a＋2b)＋(a＋2b＋1)


≥2eq \r(2a＋2ba＋2b＋1)＝6eq \r(2)，


当且仅当2a＋2b＝a＋2b＋1时，上式取得等号，


即有3a＋4b的最小值为6eq \r(2)－1.


例7 已知a>0，b>0，且a＋b＋eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝5，则a＋b的取值范围是( )


A．1≤a＋b≤4 B．a＋b≥2


C．14


答案 A


解析 ∵a＋b＋eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝5，


∴a＋b＋eq \f(a＋b,ab)＝5.


∵a>0，b>0，ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，


∴eq \f(1,ab)≥eq \f(4,a＋b2)，


∴a＋b＋eq \f(a＋b,ab)≥a＋b＋eq \f(4,a＋b)，


∴a＋b＋eq \f(4,a＋b)≤5，


即(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0，


∴(a＋b－4)(a＋b－1)≤0，


即1≤a＋b≤4，


当a＝b＝eq \f(1,2)时，左边等号成立，


当a＝b＝2时，右边等号成立，故选A.


反思感悟 利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值．