人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质优秀第2课时2课时导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质优秀第2课时2课时导学案，共10页。学案主要包含了利用不等式的性质判断或证明，利用性质比较大小，利用不等式的性质求范围等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．








知识点一 等式的基本性质


(1)如果a＝b，那么b＝a.


(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.


(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c.


(4)如果a＝b，那么ac＝bc.


(5)如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).


知识点二 不等式的性质








1．若a>b，则a－c>b－c.( √ )


2.eq \f(a,b)>1⇒a>b.( × )


3．a>b⇔a＋c>b＋c.( √ )


4.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>b，,c>d))⇔a＋c>b＋d.( × )





一、利用不等式的性质判断或证明


例1 (1)给出下列命题：


①若ab>0，a>b，则eq \f(1,a)

②若a>b，c>d，则a－c>b－d；


③对于正数a，b，m，若a

答案 ①③


解析 对于①，若ab>0，则eq \f(1,ab)>0，


又a>b，所以eq \f(a,ab)>eq \f(b,ab)，所以eq \f(1,a)

对于②，若a＝7，b＝6，c＝0，d＝－10，


则7－0<6－(－10)，②错误；


对于③，对于正数a，b，m，


若a

所以am＋ab

所以0

又eq \f(1,bb＋m)>0，所以eq \f(a,b)

综上，真命题的序号是①③.


(2)已知a>b>0，c

证明 因为c－d>0.


所以0<－eq \f(1,c)<－eq \f(1,d).


又因为a>b>0，所以－eq \f(a,d)>－eq \f(b,c)>0.


所以eq \r(3,\f(－a,d))>eq \r(3,\f(－b,c))，即－eq \r(3,\f(a,d))>－eq \r(3,\f(b,c))，


两边同乘－1，得eq \r(3,\f(a,d))

反思感悟 (1)首先要注意不等式成立的条件，在解决选择题时，可利用特值法进行排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算．


(2)应用不等式的性质证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导．


跟踪训练1 若eq \f(1,a)

①|a|>|b|，②ab3.


则不正确的不等式的个数是( )


A．0 B．1 C．2 D．3


答案 C


解析 由eq \f(1,a)0，则a＋bb3，④正确．


故不正确的不等式的个数为2.


二、利用性质比较大小


例2 若P＝eq \r(a＋6)＋eq \r(a＋7)，Q＝eq \r(a＋5)＋eq \r(a＋8)(a>－5)，则P，Q的大小关系为( )


A．P

C．P>Q D．不能确定


答案 C


解析 P2＝2a＋13＋2eq \r(a＋6a＋7)，


Q2＝2a＋13＋2eq \r(a＋5a＋8)，


因为(a＋6)(a＋7)－(a＋5)(a＋8)＝a2＋13a＋42－(a2＋13a＋40)＝2>0，


所以eq \r(a＋6a＋7)>eq \r(a＋5a＋8)，


所以P2>Q2，所以P>Q.


反思感悟 比较大小的两种方法








跟踪训练2 下列命题中一定正确的是( )


A．若a>b，且eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，则a>0，b<0


B．若a>b，b≠0，则eq \f(a,b)>1


C．若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d


D．若a>b，且ac>bd，则c>d


答案 A


解析 对于A，∵eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，∴eq \f(b－a,ab)>0，


又a>b，∴b－a<0，∴ab<0，


∴a>0，b<0，故A正确；


对于B，当a>0，b<0时，有eq \f(a,b)<1，故B错；


对于C，当a＝10，b＝2时，有10＋1>2＋3，但1<3，


故C错；


对于D，当a＝－1，b＝－2时，有(－1)×(－1)>(－2)×3，但－1<3，故D错．


三、利用不等式的性质求范围


例3 已知12

解 ∵15

∴12－36

又eq \f(1,36)

故－24

延伸探究


已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．


解 令a＋b＝μ，a－b＝ν，则2≤μ≤4,1≤ν≤2.


由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝μ，,a－b＝ν，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(μ＋ν,2)，,b＝\f(μ－ν,2)，))


∴4a－2b＝4·eq \f(μ＋ν,2)－2·eq \f(μ－ν,2)＝2μ＋2ν－μ＋ν＝μ＋3ν.


而2≤μ≤4,3≤3ν≤6，则5≤μ＋3ν≤10，


∴5≤4a－2b≤10.





反思感悟 同向不等式是有可加性与可乘性(需同正)，但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．


跟踪训练3 已知0

答案 －eq \f(3,2)<2a－b

解析 因为0

且2a－b＝eq \f(1,2)(a＋b)－eq \f(3,2)(－a＋b)，


结合不等式的性质可得，


－eq \f(3,2)<2a－b




1．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )


A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b


C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b


答案 C


解析 由a＋b>0知，a>－b，∴－a

又b<0，∴－b>0，∴a>－b>b>－a.


2．已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是( )


A．a>b⇒ac2>bc2 B.eq \f(a,c)>eq \f(b,c)⇒a>b


C.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,ab<0))⇒eq \f(1,a)>eq \f(1,b) D.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(ab>0,a>b))⇒eq \f(1,a)>eq \f(1,b)


答案 C


解析 当c＝0时，A不成立；当c<0时，B不成立；当ab<0时，a>b⇒eq \f(a,ab)eq \f(1,b)，C成立．同理可证D不成立．


3．若a>b>0，c

A.eq \f(a,d)>eq \f(b,c) B.eq \f(a,d)

C.eq \f(a,c)>eq \f(b,d) D.eq \f(a,c)

答案 B


解析 因为c－d>0，


即eq \f(1,－d)>eq \f(1,－c)>0.


又a>b>0，所以eq \f(a,－d)>eq \f(b,－c)，


从而有eq \f(a,d)

4．若a>b>c，则下列不等式成立的是( )


A.eq \f(1,a－c)>eq \f(1,b－c) B.eq \f(1,a－c)

C．ac>bc D．ac

答案 B


解析 ∵a>b>c，∴a－c>b－c>0，∴eq \f(1,a－c)

故选B.


5．若α，β满足－eq \f(1,2)<α<β

答案 －1<α－β<0


解析 ∵－eq \f(1,2)<α

－eq \f(1,2)<－β

∴－1<α－β<1.


又α<β，∴α－β<0，∴－1<α－β<0.





1．知识清单：


(1)等式的性质．


(2)不等式的性质及其应用．


2．方法归纳：作商比较法，乘方比较法．


3．常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性．








1．如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是( )


A.eq \f(1,a)

C．a2|b|


答案 A


解析 ∵a<0，b>0，∴eq \f(1,a)<0，eq \f(1,b)>0，∴eq \f(1,a)

2．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是( )


A．a＋c≥b－c B．ac>bc


C.eq \f(c2,a－b)>0 D．(a－b)c2≥0


答案 D


解析 ∵a>b，∴a－b>0，∴(a－b)c2≥0，故选D.


3．已知a>b>c，则eq \f(1,b－c)＋eq \f(1,c－a)的值是( )


A．正数 B．负数


C．非正数 D．非负数


答案 A


解析 eq \f(1,b－c)＋eq \f(1,c－a)＝eq \f(c－a＋b－c,b－cc－a)＝eq \f(b－a,b－cc－a)，


∵a>b>c，∴b－c>0，c－a<0，b－a<0，


∴eq \f(1,b－c)＋eq \f(1,c－a)>0，故选A.


4．若x>1>y，下列不等式不一定成立的是( )


A．x－y>1－y B．x－1>y－1


C．x－1>1－y D．1－x>y－x


答案 C


解析 利用性质可得A，B，D均正确，故选C.


5．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( )


A．a>eq \f(a,b)>eq \f(a,b2) B.eq \f(a,b2)>eq \f(a,b)>a


C.eq \f(a,b)>a>eq \f(a,b2) D.eq \f(a,b)>eq \f(a,b2)>a


答案 D


解析 ∵a<0，b<－1，∴eq \f(a,b)>0，b2>1，


∴0eq \f(a,b2)>eq \f(a,1)，


∴eq \f(a,b)>eq \f(a,b2)>a.


6．不等式a>b和eq \f(1,a)>eq \f(1,b)同时成立的条件是________．


答案 a>0>b


解析 若a，b同号，则a>b⇒eq \f(1,a)

7．给出下列命题：


①a>b⇒ac2>bc2；②a>|b|⇒a2>b2；③a>b⇒a3>b3；④|a|>b⇒a2>b2.其中正确命题的序号是________．


答案 ②③


解析 ①当c2＝0时不成立；②一定成立；


③当a>b时，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(b,2)))2＋\f(3,4)b2))>0成立；


④当b<0时，不一定成立．如：|2|>－3，但22<(－3)2.


8．设a>b>c>0，x＝eq \r(a2＋b＋c2)，y＝eq \r(b2＋c＋a2)，z＝eq \r(c2＋a＋b2)，则x，y，z的大小顺序是________．


答案 z>y>x


解析 ∵a>b>c>0，


y2－x2＝b2＋(c＋a)2－a2－(b＋c)2＝2ac－2bc


＝2c(a－b)>0，


∴y2>x2，即y>x.


同理可得z>y，故z>y>x.


9．判断下列各命题的真假，并说明理由．


(1)若a

(2)eq \f(a,c3)b；


(3)若a>b，且k∈N*，则ak>bk；


(4)若a>b，b>c，则a－b>b－c.


解 (1)假命题．∵a0，


∴eq \f(1,a)>eq \f(1,b)不一定成立，


∴推不出eq \f(c,a)

(2)假命题．当c>0时，c－3>0，则a

(3)假命题．当a＝1，b＝－2，k＝2时，显然命题不成立，


∴是假命题．


(4)假命题．当a＝2，b＝0，c＝－3时，满足a>b，b>c这两个条件，但是a－b＝2

10．若－1

解 设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,x－y＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(5,2)，,y＝－\f(1,2).))


因为－eq \f(5,2)

所以－eq \f(9,2)

所以－eq \f(9,2)<2a＋3b




11．下列命题正确的是( )


A．若ac>bc，则a>b B．若a2>b2，则a>b


C．若eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，则a

答案 D


解析 对于A，若c<0，其不成立；对于B，若a，b均小于0或a<0，其不成立；对于C，若a>0，b<0，其不成立；对于D，其中a≥0，b>0，平方后显然有a

12．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中一定成立的是( )


A．xy>yz B．xz>yz


C．xy>xz D．x|y|>z|y|


答案 C


解析 因为x>y>z，x＋y＋z＝0，


所以3x>x＋y＋z＝0,3z

所以x>0，z<0.


所以由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,y>z，))可得xy>xz.


13．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )


A.eq \f(1,a)b2


C.eq \f(a,c2＋1)>eq \f(b,c2＋1) D．a|c|>b|c|


答案 C


解析 对于A，若a>0>b，则eq \f(1,a)>0，eq \f(1,b)<0，


此时eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，∴A不成立；


对于B，若a＝1，b＝－2，则a2

对于C，∵c2＋1≥1，且a>b，


∴eq \f(a,c2＋1)>eq \f(b,c2＋1)恒成立，∴C成立；


对于D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．


14．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c

A．d>b>a>c B．b>c>d>a


C．d>b>c>a D．c>a>d>b


答案 A


解析 ∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，


∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.∴b

又a＋c

综上可得，d>b>a>c.





15．若x>0，y>0，M＝eq \f(x＋y,1＋x＋y)，N＝eq \f(x,1＋x)＋eq \f(y,1＋y)，则M，N的大小关系是( )


A．M＝N B．M

C．M≤N D．M>N


答案 B


解析 ∵x>0，y>0，


∴x＋y＋1>1＋x>0,1＋x＋y>1＋y>0，


∴eq \f(x,1＋x＋y)

故M＝eq \f(x＋y,1＋x＋y)＝eq \f(x,1＋x＋y)＋eq \f(y,1＋x＋y)

16．若a>b>0，ceq \f(e,b－d2).


证明 ∵c－d>0.


又a>b>0，∴a－c>b－d>0，


则(a－c)2>(b－d)2>0，


即eq \f(1,a－c2)

又e<0，∴eq \f(e,a－c2)>eq \f(e,b－d2).性质
别名
性质内容
注意
1
对称性
a>b⇔b⇔
2
传递性
a>b，b>c⇒a>c
不可逆
3
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
4
可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c>0))⇒ac>bc
c的符号
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c<0))⇒ac5
同向可加性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d
同向
6
同向同正可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd
同向
7
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)
同正
作商比较法
乘方比较法
依据
a>0，b>0，且eq \f(a,b)>1⇒a>b；


a>0，b>0，且eq \f(a,b)<1⇒aa2>b2且a>0，b>0⇒a>b
应用范围
同号两数比较大小或指数式之间比较大小
要比较的两数(式)中有根号
步骤
①作商


②变形


③判断商值与1的大小


④下结论
①乘方


②用作差比较法或作商比较法