高中人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质精品第2课时2课时学案

这是一份高中人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质精品第2课时2课时学案，共12页。

学习目标 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法．








知识点一 函数的最大(小)值及其几何意义








思考 函数f(x)＝x2＋1≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？


答案 f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1.


知识点二 求函数最值的常用方法


1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．


2．运用已学函数的值域．


3．运用函数的单调性：


(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．


(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．


4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．


预习小测 自我检验


1.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为________，最大值为________．





答案 －1 2


2．函数y＝－x＋1在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上的最大值为________．


答案 eq \f(1,2)


3．函数y＝2x2＋2，x∈R的最小值是________．


答案 2


4．函数y＝eq \f(2,x)在[2,4]上的最大值与最小值之和等于________．


答案 eq \f(3,2)





一、图象法求函数的最值


例1 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，－1≤x≤1，,\f(1,x)，x>1.))求f(x)的最大值、最小值．


解 作出函数f(x)的图象(如图)．





由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1.


当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0，


故f(x)的最大值为1，最小值为0.


反思感悟 图象法求函数最值的一般步骤





跟踪训练1 已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．


解 y＝－|x－1|＋2＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x，x≥1，,x＋1，x<1，))


图象如图所示，





由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，


所以其值域为(－∞，2]．


二、利用函数的单调性求最值


例2 已知函数f(x)＝eq \f(x－1,x＋2)，x∈[3,5]．


(1)判断函数f(x)的单调性并证明；


(2)求函数f(x)的最大值和最小值．


解 (1)f(x)是增函数，证明如下：


任取x1，x2∈[3,5]且x1

f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1－1,x1＋2)－eq \f(x2－1,x2＋2)＝eq \f(3x1－x2,x1＋2x2＋2)，


因为3≤x1

所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，


所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

所以f(x)在[3,5]上为增函数．


(2)由(1)知，f(x)在[3,5]上为增函数，


则f(x)max＝f(5)＝eq \f(4,7)，


f(x)min＝f(3)＝eq \f(2,5).


反思感悟 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．


(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．


(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．


(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．


跟踪训练2 已知函数f(x)＝eq \f(6,1－x)＋3(x∈[2,4])，求函数f(x)的最大值和最小值．


解 设x1，x2是[2,4]上任意两个实数，且x1

所以f(x1)－f(x2)＝eq \f(6,1－x1)＋3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,1－x2)＋3))


＝eq \f(6,1－x1)－eq \f(6,1－x2)＝eq \f(61－x2－61－x1,1－x11－x2)


＝eq \f(6x1－x2,1－x11－x2)，


因为2≤x1

所以x1－x2<0,1－x1<0,1－x2<0，


所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

所以f(x)在[2,4]上是增函数，


所以f(x)max＝f(4)＝1，f(x)min＝f(2)＝－3.


三、函数最值的实际应用


例3 某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R(x)(万元)满足：


R(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－0.4x2＋4.2x，x∈N，0≤x≤5，,11，x∈N，x>5，))假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：


(1)写出利润函数y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)；


(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？


解 (1)由题意得G(x)＝2.8＋x，


所以f(x)＝R(x)－G(x)


＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－0.4x2＋3.2x－2.8，x∈N，0≤x≤5，,8.2－x，x∈N，x>5.))


(2)当x>5时，因为函数f(x)单调递减，


所以f(x)

当0≤x≤5时，函数f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，


当x＝4时，f(x)有最大值为3.6(万元)，


所以当工厂生产4百台产品时，可使盈利最大为3.6万元．


反思感悟 (1)解实际应用题时要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．


(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决．


跟踪训练3 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？


解 设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000.


故当x＝70时，ymax＝9 000.


即售价为70元时，利润最大值为9 000元．





二次函数最值分类讨论问题


典例 已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最小值．


解 ∵对称轴x＝1，


(1)当1≥t＋2即t≤－1时，f(x)在[t，t＋2]上为减函数，


∴f(x)min＝f(t＋2)


＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3.


(2)当t≤1

f(x)min＝f(1)＝－4.


(3)当11时，f(x)在[t，t＋2]上为增函数，


f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.


设函数f(x)的最小值为g(t)，则有


g(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t2＋2t－3，t≤－1，,－4，－11.))


[素养提升] 二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．利用二次函数图象，通过直观想象，进行分类讨论．





1．函数f(x)＝eq \f(1,x)在[1，＋∞)上( )


A．有最大值无最小值


B．有最小值无最大值


C．有最大值也有最小值


D．无最大值也无最小值


考点 函数的最值及其几何意义


题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值


答案 A


2．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( )


A．10,5 B．10,1


C．5,1 D．以上都不对


答案 B


解析 因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]，


所以当x＝1时，ymin＝1，


当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.


3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋7，－1≤x<1，,2x＋6，1≤x≤2，))则f(x)的最大值、最小值分别为( )


A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对


考点 函数的最值及其几何意义


题点 分段函数最值


答案 A


4．已知函数f(x)＝2x－3，当x≥1时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值范围是( )


A．R B．(－∞，－1]


C．[－1，＋∞) D．∅


答案 B


解析 因为f(x)＝2x－3在x∈[1，＋∞)上为增函数，


所以f(x)min＝－1，故满足f(x)≥－1.


又因为在x≥1时，f(x)≥m恒成立，


所以m≤－1，故m∈(－∞，－1]．


5．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，－1≤x≤0，,x2，0

考点 函数的最值及其几何意义


题点 由函数图象求最值


答案 2


解析 f(x)的图象如图：





则f(x)的最大值为f(2)＝2.





1．知识清单：函数的最大值、最小值定义．





2．方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法．


3．常见误区：


(1)最值M一定是一个函数值，是值域中的一个元素．


(2)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域．














1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )


A．y＝eq \f(1,x)＋2 B．y＝3x－2


C．y＝x2 D．y＝1－x


答案 A


解析 选项B，C在[1,4]上均为增函数，选项A，D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，可知A正确．


2．函数y＝x－eq \f(1,x)在[1,2]上的最大值为( )


A．0 B.eq \f(3,2) C．2 D．3


答案 B


解析 函数y＝x在[1,2]上是增函数，函数y＝－eq \f(1,x)在[1,2]上是增函数，


所以函数y＝x－eq \f(1,x)在[1,2]上是增函数．


当x＝2时，ymax＝2－eq \f(1,2)＝eq \f(3,2).


3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )


A．2 B．－2 C．2或－2 D．0


答案 C


解析 当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，所以a＝－2.


综上a＝±2.


4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )


A．90万元 B．60万元


C．120万元 D．120.25万元


答案 C


解析 设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，x∈N，


公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)


＝－x2＋19x＋30＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(19,2)))2＋30＋eq \f(192,4)，


∴当x＝9或10时，L最大为120万元．


5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )


A．－1 B．0 C．1 D．2


答案 C


解析 因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4


＝－(x－2)2＋4＋a，


所以函数f(x)图象的对称轴为x＝2.


所以f(x)在[0,1]上单调递增．


又因为f(x)min＝－2，所以f(0)＝－2，


即a＝－2.


所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.


6．函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，若函数f(x)在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f(－4)

答案 f(－2) f(6)


解析 作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f(x)min＝f(－2)，f(x)max＝f(6)．


7．函数y＝eq \f(3,x＋2)(x≠－2)在区间[0,5]上的最大值与最小值的和为________．


答案 eq \f(27,14)


解析 因为函数y＝eq \f(3,x＋2)在区间[0,5]上单调递减，


所以当x＝0时，ymax＝eq \f(3,2)，


当x＝5时，ymin＝eq \f(3,7).


所以ymax＋ymin＝eq \f(3,2)＋eq \f(3,7)＝eq \f(27,14).


8．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是________．


答案 (－∞，0)


解析 令f(x)＝－x2＋2x，


则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.


又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.


∴a<0.


9．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．





(1)写出函数f(x)的单调区间；


(2)求函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))上的最大值．


解 f(x)＝|x|(x＋1)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2－x，x≤0，,x2＋x，x>0))的图象如图所示．





(1)f(x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))和(0，＋∞)上是增函数，


在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))上是减函数，


因此f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))，(0，＋∞)；


单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)).


(2)因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(1,4)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(3,4)，


所以f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))上的最大值为eq \f(3,4).


10．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：





(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)；


(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？


解 (1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，


由表格得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(45a＋b＝27，,50a＋b＝12，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝162，))


所以y＝f(x)＝－3x＋162.


又y≥0，所以30≤x≤54，


故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30,54]．


(2)由题意得，


P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)


＝－3x2＋252x－4 860


＝－3(x－42)2＋432，x∈[30,54]．


当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．





11．若函数f(x)＝eq \f(k,x)在区间[2,4]上的最小值为5，则k的值为( )


A．10 B．10或20


C．20 D．无法确定


答案 C


解析 当k＝0时，不满足．


当k>0时，y＝f(x)＝eq \f(k,x)在[2,4]上是减函数，


∴f(x)min＝f(4)＝eq \f(k,4)＝5，


∴k＝20满足条件，


k<0时，y＝f(x)＝eq \f(k,x)在[2,4]上是增函数，


f(x)min＝f(2)＝eq \f(k,2)＝5，


∴k＝10，


又∵k<0，∴k＝10舍去，


综上有k＝20.


12．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( )


A．[160，＋∞)


B．(－∞，40]


C．(－∞，40]∪[160，＋∞)


D．(－∞，20]∪[80，＋∞)


考点 函数的最值及其几何意义


题点 含参二次函数最值


答案 C


解析 由于二次函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上是单调函数．二次函数f(x)＝4x2－kx－8图象的对称轴方程为x＝eq \f(k,8)，因此eq \f(k,8)≤5或eq \f(k,8)≥20，所以k≤40或k≥160.


13．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是________．


答案 {m|1≤m≤2}


解析 y＝f(x)＝(x－1)2＋2，


∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，


且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，


利用图象(图略)得1≤m≤2.


14．函数y＝x＋eq \r(2x－1)的最小值为________．


答案 eq \f(1,2)


解析 令t＝eq \r(2x－1)，t≥0，∴x＝eq \f(t2＋1,2)，


∴y＝eq \f(t2＋1,2)＋t＝eq \f(1,2)(t2＋2t＋1)＝eq \f(1,2)(t＋1)2，


∵t≥0，∴当t＝0时，ymin＝eq \f(1,2).





15．已知f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，F(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(gx，fx≥gx，,fx，fx

A．最大值为3，最小值为－1


B．最小值为－1，无最大值


C．最大值为3，无最小值


D．既无最大值，又无最小值


答案 D


解析 由f(x)≥g(x)得0≤x≤3；


由f(x)3，


所以F(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，0≤x≤3，,x，x<0或x>3.))


作出函数F(x)的图象(图略)，可得F(x)无最大值，无最小值．


16．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－eq \f(2,3).


(1)求证：f(x)是R上的单调减函数；


(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．


(1)证明 设x1，x2是任意的两个实数，且x1

则x2－x1>0，因为x>0时，f(x)<0，


所以f(x2－x1)<0，


又因为x2＝(x2－x1)＋x1，


所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]


＝f(x2－x1)＋f(x1)，


所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，


所以f(x2)

所以f(x)是R上的单调减函数．


(2)解 由(1)可知f(x)在R上是减函数，


所以f(x)在[－3,3]上也是减函数，


所以f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．


而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＝－2.


所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.最值
条件
几何意义
最大值
①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M
函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
最小值
①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M
函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
x
45
50
y
27
12