高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质优质第1课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质优质第1课时导学案，共11页。学案主要包含了函数奇偶性的判断，利用函数的奇偶性求参数值等内容，欢迎下载使用。
第1课时 奇偶性的概念


学习目标 1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．








知识点一 函数奇偶性的几何特征


一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．


知识点二 函数奇偶性的定义


1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．


2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．


知识点三 奇(偶)函数的定义域特征


奇(偶)函数的定义域关于原点对称．





1．奇、偶函数的定义域都关于原点对称．( √ )


2．函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称．( × )


3．对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数．( × )


4．不存在既是奇函数又是偶函数的函数．( × )





一、函数奇偶性的判断


例1 判断下列函数的奇偶性．


(1)f(x)＝eq \f(1,x)；


(2)f(x)＝x2(x2＋2)；


(3)f(x)＝eq \f(x,x－1)；


(4)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2).


解 (1)f(x)＝eq \f(1,x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，


∵f(－x)＝eq \f(1,－x)＝－eq \f(1,x)＝－f(x)，


∴f(x)＝eq \f(1,x)是奇函数．


(2)f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R.


∵f(－x)＝f(x)，


∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数．


(3)f(x)＝eq \f(x,x－1)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，


∵定义域不关于原点对称，


∴f(x)＝eq \f(x,x－1)既不是奇函数，也不是偶函数．


(4)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)的定义域为{－1,1}．


∵f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0，


∴f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)既为奇函数，又为偶函数．


反思感悟 判断函数奇偶性的方法


(1)定义法：


①定义域关于原点对称；


②确定f(－x)与f(x)的关系．


(2)图象法．


跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性．


(1)f(x)＝eq \r(x)；


(2)f(x)＝eq \f(\r(1－x2),x)；


(3)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x>0，,x2－x，x0时，－x0.


考点 函数图象的对称性


题点 中心对称问题


解 (1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．





(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．


延伸探究


把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．


解 (1)f(x)的图象如图所示：





(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．


反思感悟 可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称这一特性去画图，求值，解不等式等．


跟踪训练2 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．





(1)画出在区间[－5,0]上的图象；


(2)写出使f(x)