高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数精品导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数精品导学案及答案，共11页。学案主要包含了运用指数幂运算公式化简求值，分数指数幂运算的综合应用等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值.2.了解无理数指数幂的意义．








知识点一 无理数指数幂


一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．


知识点二 实数指数幂的运算性质


1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．


2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．


3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．


预习小测 自我检验


1．计算＝________.


答案 eq \r(2)


2．下列等式一定成立的是________．(填序号)


①＝a; ②＝0；


③(a3)2＝a9; ④


答案 ④


3．若100x＝25，则10－x＝________.


答案 eq \f(1,5)


解析 ∵100x＝25，∴(10x)2＝52，


∴10x＝5,10－x＝(10x)－1＝5－1＝eq \f(1,5).


4．计算：π0＋2－2×＝________.


答案 eq \f(11,8)








一、运用指数幂运算公式化简求值


例1 计算下列各式(式中字母都是正数)：


(1)


(2)


(3)


解 (1)


＝(eq \r(3,0.027))2＋eq \r(3,\f(125,27))－eq \r(\f(25,9))＝0.09＋eq \f(5,3)－eq \f(5,3)＝0.09.


(2)原式＝


＝


(3)原式＝＋1＝1＋1＝2.


反思感悟 一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．


跟踪训练1 计算下列各式的值(式中字母都是正数)：


(1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,6)))0＋80.25×eq \r(4,2)＋(eq \r(3,2)×eq \r(3))6；


(2)2eq \r(3,a2)÷(4eq \r(6,a·b))·3eq \r(b3).


解 (1)原式＝


＝＋22×33＝112.


(2)原式＝








二、分数指数幂运算的综合应用


例2 (1)已知am＝4，an＝3，求eq \r(am－2n)的值；


(2)已知＝3，求下列各式的值．


①a＋a－1；②a2＋a－2；③


解 (1)eq \r(am－2n)＝


＝eq \f(2,3).


(2)①∵∴


即a＋2＋a－1＝9，∴a＋a－1＝7.


②∵a＋a－1＝7，


∴(a＋a－1)2＝49，即a2＋2＋a－2＝49.


∴a2＋a－2＝47.


③





＝3×(7－1)＝18.


延伸探究


在本例(2)的条件下，求a2－a－2的值．


解 设y＝a2－a－2，两边平方，


得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝472－4＝2 205.


所以y＝±21eq \r(5)，即a2－a－2＝±21eq \r(5).


反思感悟 条件求值问题的解法


(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．


(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．


跟踪训练2 已知x＋y＝12，xy＝9且x

解


①


∵x＋y＝12，xy＝9，②


∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.


又∵x

将②③代入①，得





1．化简的结果为( )


A．5 B.eq \r(5) C．－eq \r(5) D．－5


答案 B


解析


2．计算·(－3a－1b)÷得( )


A．－eq \f(3,2)b2 B.eq \f(3,2)b2 C． D.


答案 A


解析 原式＝


3．若10x＝，10y＝eq \r(4,27)，则102x－y＝________.


答案 eq \f(1,3)


解析 102x－y＝(10x)2÷10y＝÷eq \r(4,27)＝


4．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.


答案 eq \f(1,4)


解析 由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝eq \f(1,5).


则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝eq \f(1,4)，(2α)β＝2αβ＝.


5．化简eq \r(mπ)·eq \r(4,mπ)· (m>0)＝________.


答案 1


解析 原式＝＝m0＝1.





1．知识清单：


(1)有理数指数幂的性质．


(2)无理数指数幂的性质．


2．方法归纳：根式的运算可先转化为幂的运算，最后再将结果转化为根式．


3．常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．








1．下列等式能够成立的是( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)))7＝·m7(m≠n，m≠0)


B.eq \r(12,－34)＝


C.eq \r(4,x3＋y3)＝(x≥0，y≥0)


D.eq \r(3,\r(9))＝


答案 D


解析 因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)))7＝eq \f(n7,m7)＝n7·m－7，所以A错；


因为eq \r(12,－34)＝eq \r(12,34)＝≠，所以B错；


因为eq \r(4,x3＋y3)＝(x3＋y3)≠(x＋y)，所以C错；


因为eq \r(3,\r(9))＝eq \r(6,9)＝，所以D正确．


2．计算eq \f(2n＋12·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2n＋1,4n·8－2)(n∈N*)的结果为( )


A.eq \f(1,64) B．22n＋5


C． D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2n－7


答案 D


解析 原式＝eq \f(22n＋2·2－2n－1,22n·23－2)＝eq \f(21,22n－6)＝27－2n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2n－7.


3．＋－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－2－等于( )


A．3 B．6 C.eq \f(1,4) D．15


答案 A


解析 原式＝＋－(2－1)－2－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3))


＝9＋4－1－4－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－2＝9＋eq \f(1,4)－4－eq \f(9,4)


＝9－6＝3.


4．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则等于( )


A．9＋eq \r(5) B.eq \f(45,2) C．9eq \r(5) D．6eq \r(5)


答案 C


解析 ＝(ax)2·(ay)＝32·5＝9eq \r(5).


5．设－＝m，则eq \f(a2＋1,a)等于( )


A．m2－2 B．2－m2


C．m2＋2 D．m2


考点 有理数指数幂的运算性质


题点 附加条件的幂的求值


答案 C


解析 将－＝m两边平方，得＝m2，


即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2，


即a＋eq \f(1,a)＝m2＋2，所以eq \f(a2＋1,a)＝m2＋2.


6．设α，β为方程2x2＋3x＋1＝0的两个根，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))α＋β＝________.


答案 8


解析 由根与系数的关系得α＋β＝－eq \f(3,2)，


所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))α＋β＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝(2－2)＝23＝8.


7．化简＝________.


答案 1


解析 原式＝＝＝＝1.


8．设a2＝b4＝m(a>0，b>0)，且a＋b＝6，则m＝________.


答案 16


解析 因为a2＝b4＝m(a>0，b>0)，


所以a＝b2.


由a＋b＝6得b2＋b－6＝0，


解得b＝2或b＝－3(舍去)．


所以m＝24＝16.


9．化简下列各式(式中字母都是正数)：


(1)；


(2)(－3)(4)÷(－2)；


(3)(＋)(－)(eq \r(x)＋eq \r(y))．


解 (1)＝()8()8＝m2n－3＝eq \f(m2,n3).


(2)原式＝[－3×4÷(－2)]·＝6a0b0＝6.


(3)原式＝[()2－()2](eq \r(x)＋eq \r(y))


＝(－)(eq \r(x)＋eq \r(y))


＝(eq \r(x)－eq \r(y))(eq \r(x)＋eq \r(y))


＝(eq \r(x))2－(eq \r(y))2


＝x－y.


10．计算：


(1)7eq \r(3,3)－3eq \r(3,24)－6eq \r(3,\f(1,9))＋eq \r(4,3\r(3,3))；


(2)0.008 1－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))0))－1×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(81－0.25＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8)))))－10×0.027.


考点 根式与分数指数幂的互化


题点 根式与分数指数幂的四则混合运算


解 (1)原式＝7×－3××2－6×＋(3×)＝－6×＋


＝2×－2×3×


＝2×－2×＝0.


(2)原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,10)))4))－(3×1)－1×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3－1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))－1))－10×(0.33)


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,10)))－1－eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋\f(2,3)))－10×0.3＝eq \f(10,3)－eq \f(1,3)－3＝0.








11．若100a＝5,10b＝2，则2a＋b等于( )


A．50 B．12 C．20 D．1


答案 D


解析 ∵100a＝5，∴102a＝5，


∴102a＋b＝102a·10b＝5×2＝10，


∴2a＋b＝1，故选D.


12．若a>1，b>0，ab＋a－b＝2eq \r(2)，则ab－a－b等于( )


A.eq \r(6) B．2或－2


C．－2 D．2


答案 D


解析 a>1，b>0，∴ab>1，∴a－b＝eq \f(1,ab)，


∴a－b∈(0,1)，∴ab－a－b>0，


∵ab＋a－b＝2eq \r(2)，∴a2b＋a－2b＝6，


(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4，


∴ab－a－b＝2.故选D.


13．若2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y＝________.


答案 27


解析 ∵2x＝8y＋1＝(23)y＋1＝23y＋3，


∴x＝3y＋3，①


又∵9y＝3x－9＝(32)y＝32y，


∴x－9＝2y，②


由①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝21，,y＝6，))


∴x＋y＝27.


14．化简eq \f(a\r(b),a·\r(3,b))÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－1\r(b－1),b\r(a)))) (a>0，b>0)的值为________．


考点 根式与分数指数幂的互化


题点 根式与分数指数幂的乘除运算


答案


解析 原式＝÷


＝÷


＝÷


＝÷(ab)


＝


＝.





15．设a＝eq \r(4,24)，b＝eq \r(3,12)，c＝eq \r(6)，则a，b，c的大小关系是( )


A．a>b>c B．b>c>a


C．b>a>c D．a

答案 D


解析 eq \f(a,b)＝eq \f(\r(4,24),\r(3,12))＝eq \f(23×3,22×3)＝


＝＝＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) <1，


又a>0，b>0，∴a

eq \f(b,c)＝eq \f(\r(3,12),\r(6))＝eq \f(22×3,2×3)＝


＝＝＝<1，


又b>0，c>0，∴b

综上有a

16．已知a＝3，求＋＋＋eq \f(4,1＋a)的值．


解 ＋＋＋eq \f(4,1＋a)


＝＋＋eq \f(4,1＋a)


＝＋＋eq \f(4,1＋a)


＝＋eq \f(4,1＋a)


＝eq \f(4,1－a)＋eq \f(4,1＋a)＝eq \f(8,1－a2)＝－1.