人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数优秀学案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数优秀学案设计，共11页。学案主要包含了比较大小，简单的指数不等式的解法，指数型函数的单调性等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.掌握指数型函数的单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数的性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式．








知识点一 比较幂的大小


一般地，比较幂大小的方法有


(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；


(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断；


(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．


知识点二 解指数方程、不等式


简单指数不等式的解法


(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；


(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；


(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．


知识点三 指数型函数的单调性


一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质


(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．


(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0




1．y＝21－x是R上的增函数．( × )


2．若0.1a>0.1b，则a>b.( × )


3．a，b均大于0且不等于1，若ax＝bx，则x＝0.( × )


4．由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．( × )





一、比较大小


例1 (1)比较下列各题中两个值的大小．


①1.7－2.5,1.7－3；②1.70.3,1.50.3；③1.70.3,


考点 指数幂的大小比较


题点 比较指数幂大小


解 (1)①∵1.7>1，


∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．


∵－2.5>－3，∴1.7－2.5>1.7－3.


②方法一 ∵1.70.3>0,1.50.3>0，且eq \f(1.70.3,1.50.3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1.7,1.5)))0.3，


又eq \f(1.7,1.5)>1,0.3>0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1.7,1.5)))0.3>1，∴1.70.3>


方法二 幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，


又1.7>1.5，∴1.70.3>


③∵1.70.3>1.70＝1,0.83.1<0.80＝1，


∴1.70.3>


(2)设 则a，b，c的大小关系为________．(用“>”连接)


答案 c>a>b


解析 构造幂函数(x∈(0，＋∞))，由该函数在定义域内单调递增，知a>b；构造指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，由该函数在定义域内单调递减，知aa>b.


反思感悟 比较幂值大小的3种类型及处理方法





跟踪训练1 比较下列各题中的两个值的大小．


(1)0.8－0.1，1.250.2；(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π)))－π，1；(3)0.2－3，(－3)0.2.


考点 指数幂的大小比较


题点 比较指数幂大小


解 (1)∵0<0.8<1，∴y＝0.8x在R上是减函数．


∵－0.2<－0.1，∴0.8－0.2>0.8－0.1，


即0.8－0.1<


(2)∵0

又∵－π<0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π)))－π>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π)))0＝1，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π)))－π>1.


(3)0.2－3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,10)))－3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))－3＝53，


(－3)0.2＝


∵<31＝3,53＝125>3.


∴<53，即0.2－3>(－3)0.2.


二、简单的指数不等式的解法


例2 (1)不等式4x<42－3x的解集是________．


答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))


解析 ∵4x<42－3x，∴x<2－3x，∴x

(2)解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)．


考点 指数不等式的解法


题点 指数不等式的解法


解 ①当0

∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.


②当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，


∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.


综上所述，当01时，不等式的解集为{x|x≤－6}．


反思感悟 解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．


跟踪训练2 已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．


考点 指数不等式的解法


题点 指数不等式的解法


答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))


解析 ∵a2＋a＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))2＋eq \f(7,4)>1，


∴(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x⇔x>1－x⇔x>eq \f(1,2).


∴x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).


三、指数型函数的单调性


例3 (1)函数的单调递减区间是( )


A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)


C．(0，＋∞) D．(－∞，0)和(0，＋∞)


答案 D


解析 设u＝eq \f(1,x)，则y＝3u，


因为u＝eq \f(1,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，


且y＝3u在R上是增函数，


所以函数的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．


(2)判断函数的单调性，并求其值域．


解 令u＝x2－2x，


易知u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又0

所以在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．


因为u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，


所以y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))u，u∈[－1，＋∞)，


所以0

所以函数f(x)的值域为(0,3]．


反思感悟 函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性的处理方法


(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0

(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．


跟踪训练3 求函数(a>0，且a≠1)的单调区间．


解 设y＝au，u＝x2＋2x－3，


由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数．


当a>1时，y关于u为增函数；


当0

∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；


当0




1．下列大小关系正确的是( )


A．0.43<30.4<π0 B．0.43<π0<30.4


C．30.4<0.43<π0 D．π0<30.4<0.43


考点 指数幂的大小比较


题点 比较指数幂大小


答案 B


解析 0.43<0.40＝π0＝30<30.4.


2．方程42x－1＝16的解是( )


A．x＝－eq \f(3,2) B．x＝eq \f(3,2) C．x＝1 D．x＝2


考点 指数方程的解法


题点 指数方程的解法


答案 B


解析 ∵42x－1＝42，∴2x－1＝2，x＝eq \f(3,2).


3．函数的单调递增区间为( )


A．(－∞，0] B．[0，＋∞)


C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)


考点 指数函数的单调性


题点 指数型复合函数的单调区间


答案 A


解析 ∵，0

即(－∞，0]．


4．已知函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，则m＋n的值为________．


答案 12


解析 函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在定义域内单调递减，


所以m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－1＝3，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－2＝9.


所以m＋n＝12.


5．设0

考点 指数不等式的解法


题点 指数不等式的解法


答案 (1，＋∞)


解析 ∵0

又∵


∴2x2－3x＋2<2x2＋2x－3，解得x>1.





1．知识清单：指数函数的图象与性质的应用：比较大小，解不等式及简单复合函数的单调性．


2．方法归纳：转化与化归，换元法．


3．常见误区：研究y＝af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是0







1．已知a＝，b＝2－1.5，c＝，则下列关系中正确的是( )


A．c

答案 C


解析 ∵b＝2－1.5＝，


y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x是R上的减函数，eq \f(1,3)

∴b

2．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2a＋1

A．(4，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))


C．(－∞，4) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))


答案 B


解析 因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在(－∞，＋∞)上是减函数，


所以由已知得2a＋1>3－2a，即a>eq \f(1,2).


故a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).


3．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))


答案 B


解析 由已知，得0<1－2a<1，解得0

即实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).


4．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是( )


A．6 B．1 C．3 D.eq \f(3,2)


考点 指数函数的最值


题点 根据指数函数的最值求底数


答案 C


解析 函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，当x＝1时，ymax＝3.


5．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－x的单调递增区间为( )


A．R B．(0，＋∞)


C．(1，＋∞) D．(0,1)


答案 A


解析 定义域为R.


设u＝1－x，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))u，


∵u＝1－x在R上为减函数，


y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))u在R上为减函数，


∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－x在R上是增函数，故选A.


6．满足方程4x＋2x－2＝0的x值为________．


答案 0


解析 设t＝2x(t>0)，则原方程化为t2＋t－2＝0，


∴t＝1或t＝－2.


∵t>0，∴t＝－2舍去．


∴t＝1，即2x＝1，∴x＝0.


7．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是________．(用“>”连接)


答案 c>a>b


解析 因为函数y＝0.8x是R上的单调减函数，


所以a>b.


又因为a＝0.80.7<0.80＝1，c＝1.20.8>1.20＝1，


所以c>a.故c>a>b.


8．函数f(x)＝的单调递增区间为________．


答案 [0，＋∞)


解析 由于底数eq \f(1,3)∈(0,1)，


所以y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x是R上的减函数，


所以f(x)＝的单调递增区间就是y＝2－x2的单调递减区间．


由y＝2－x2的图象(图略)可知：


当x≤0时，y＝2－x2是增函数；


当x≥0时，y＝2－x2是减函数．


所以函数f(x)＝的单调递增区间为[0，＋∞)．


9．已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x－1)

解 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，


因为f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2，


又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，


所以g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，


因此由g(2x－1)

即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x－1

得2x－1>3x，解得x<－1.


10．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a的值．


解 函数y＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，x∈[－1,1]．


若a>1，则x＝1时，函数取最大值a2＋2a－1＝14，


解得a＝3.


若0

函数取最大值a－2＋2a－1－1＝14，


解得a＝eq \f(1,3).


综上所述，a＝3或eq \f(1,3).





11．已知函数f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是( )


A．a>0 B．a>1


C．a<1 D．0

答案 D


解析 ∵－2>－3，f(－2)>f(－3)，


又f(x)＝a－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x，


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))－2>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))－3，


∴eq \f(1,a)>1，∴0

12．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )


A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a


答案 A


解析 因为y＝(x>0)为增函数，所以a>c.


因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))x(x∈R)为减函数，所以c>b，所以a>c>b.


13．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋3a，x<0，,ax，x≥0))(a>0，且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是________．


答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))


解析 由单调性定义，f(x)为减函数应满足：


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0

14．已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间为________，值域为________．


答案 (－∞，0] (0,2]


解析 令x2－2x≥0，解得x≥2或x≤0，


∴f(x)的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)，


令t＝eq \r(x2－2x)－1，则其在(－∞，0]上递减，在[2，＋∞)上递增，


又y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t为减函数，故f(x)的增区间为(－∞，0]．


∵t＝eq \r(x2－2x)－1，∴t≥－1，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t∈(0,2]．


故f(x)的值域为(0,2]．





15．设x<0，且1

A．0

C．1

考点 指数不等式的解法


题点 指数不等式的解法


答案 B


解析 ∵1

又当x＝－1时，eq \f(1,b)a，∴0

16．已知函数f(x)＝1＋eq \f(2,2x－1).


(1)求f(x)的定义域；


(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；


(3)求f(x)的值域．


解 (1)由2x－1≠0，可得x≠0，


∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．


(2)f(x)是奇函数，证明如下：


f(－x)＝1＋eq \f(2,2－x－1)＝eq \f(－1－2x,2x－1)＝－1－eq \f(2,2x－1)＝－f(x)，


∴f(x)是奇函数．


(3)当x>0时，2x－1>0，f(x)>1；当x<0时，－1<2x－1<0，f(x)<－1.


∴f(x)的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．