高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.1 利用函数性质判定方程解的存在性精练

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.1 利用函数性质判定方程解的存在性精练，共8页。

§1 方程解的存在性及方程的近似解


1.1 利用函数性质判定方程解的存在性


知识点1 函数的零点


1.☉%310#2@￥*%☉下列图像表示的函数中没有零点的是( )。





图5-1-1-1


答案：A


解析：观察图像可知,A选项中图像表示的函数没有零点。故选A。


2.☉%7#1@￥67#%☉函数f(x)=2x-3的零点为( )。


A.32,0B.0,32


C.32D.23


答案：C


解析：由f(x)=0,得2x-3=0,解得x=32,所以函数f(x)=2x-3的零点为32。故选C。


3.☉%31@9@#1#%☉(2020·玉溪一中期中)下列函数不存在零点的是( )。


A.y=x-1xB.y=2x2-x-1


C.y=x+1(x≤0),x-1(x>0)D.y=x+1(x≥0),x-1(x<0)


答案：D


解析：令y=0,得选项A和C中函数的零点均为1和-1;B中函数的零点为-12和1;只有D中函数无零点。故选D。


4.☉%9#*1#18*%☉(2020·辽宁省实验中学期中)若y=f(x)是奇函数且x0(x0≠0)是y=f(x)+ex的一个零点,则-x0一定是下列哪个函数的零点?( )。


A.y=f(-x)ex-1B.y=f(-x)e-x+1


C.y=f(x)ex-1D.y=f(x)ex+1


答案：C


解析：因为f(x)是奇函数,所以f(-x0)=-f(x0),而x0是y=f(x)+ex的一个零点,所以f(x0)+ex0=0。对于选项A,f(x0)e-x0-1=-1-1=-2≠0,排除A;对于选项B,f(x0)ex0+1=-e2x0+1≠0,排除B;对于选项C,f(-x0)e-x0-1=-f(x0)·e-x0-1=1-1=0,C正确;对于选项D,f(-x0)e-x0+1=-f(x0)e-x0+1=2≠0,排除D。故选C。


5.☉%9#*262￥#%☉(2020·武汉二中期中)已知三个函数f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=lg2x+x的零点依次为a,b,c,则( )。


A.a

C.b

答案：B


解析：由于f(-1)=12-1=-12<0,f(0)=1>0,故f(x)=2x+x的零点a∈(-1,0)。由于g(2)=0,故g(x)的零点b=2。由于h12=-1+12=-12<0,h(1)=1>0,故h(x)的零点c∈12,1,因此a

6.☉%￥58#38@*%☉(2020·济宁一中高一检测)若f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点3,则函数g(x)=bx2+3ax的零点是 。


答案：-1和0


解析：因为f(x)=ax-b的零点是3,所以f(3)=0,即3a-b=0,也就是b=3a,所以g(x)=bx2+3ax=bx2+bx=bx(x+1)。所以方程g(x)=0的两个根为-1和0,即函数g(x)的零点为-1和0。


知识点2 函数的零点存在定理


7.☉%*68￥2￥7*%☉(2020·大同高一月考)若函数f(x)的图像在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是( )。


A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点


B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点


C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点


D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点


答案：C


解析：根据零点存在定理,由于f(0)·f(1)<0,f(1)·f(2)>0,所以f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上无法确定,可能有,也可能没有,如图。故选C。





8.☉%2511*#@@%☉(2020·台州一中高一月考)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( )。


A.(-2,-1)B.(-1,0)


C.(0,1)D.(1,2)


答案：C


解析：因为函数f(x)的图像是一条连续不断的曲线,又f(-2)=e-2-4<0,f(-1)=e-1-3<0,f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以f(0)·f(1)<0。故函数的一个零点所在的区间是(0,1)。故选C。


9.☉%￥@53#*85%☉函数f(x)=12x-x+2的零点所在的一个区间是( )。


A.(-1,0)B.(0,1)


C.(1,2)D.(2,3)


答案：D


解析：函数f(x)的图像是一条连续不断的曲线,f(2)·f(3)=122×123-3+2=14×18-1<0,根据零点存在定理知,f(x)的零点所在的一个区间为(2,3)。故选D。


10.☉%￥8#*1#49%☉(2020·衡水中学高一期中)已知函数f(x)=6x-lg2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( )。


A.(0,1)B.(1,2)


C.(2,4)D.(4,+∞)


答案：C


解析：函数f(x)=6x-lg2x在其定义域上连续,f(4)=32-2<0,f(2)=3-1>0,故函数f(x)的零点在区间(2,4)上。故选C。


11.☉%6###45*9%☉(2020·淮安七校期中联考)函数f(x)=2x-3的零点在区间(k,k+1)内,则整数k的值为 。


答案：1


12.☉%@8@*15￥4%☉(2020·杭州二中月考)若f(x)=x+b的零点在区间(0,1)内,则b的取值范围为 。


答案：(-1,0)


13.☉%17￥4#8￥@%☉(2020·南京调考)证明:函数f(x)=2x-5x2+1在区间(2,3)内至少有一个零点。


答案：证明:因为函数f(x)=2x-5x2+1的定义域为R,且函数f(x)的图像在区间(2,3)上是连续不断的。


又f(2)=2×2-522+1=-15<0,f(3)=2×3-532+1=110>0,所以f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)在区间(2,3)内至少有一个零点。


知识点3 零点个数的判断


14.☉%#764*4**%☉(2020·荆州中学期中)二次函数y=ax2+bx+c中,ac<0,则函数的零点个数是( )。


A.1B.2


C.0D.无法确定


答案：B


解析：因为Δ=b2-4ac>0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,即二次函数y=ax2+bx+c有2个零点。故选B。


15.☉%229#￥￥3￥%☉(2020·双流中学月考)已知函数f(x)的图像是不间断的,且有如表所示的x,f(x)对应值表:


则函数f(x)在区间[-2,2]内的零点个数至少为 。


答案：3


解析：由f(-2)·f(-1.5)<0,f(-0.5)·f(0)<0,f(0)·f(0.5)<0可知,函数f(x)在区间[-2,2]内至少有3个零点。


16.☉%#455￥@5￥%☉(2020·天津耀华中学高一检测)(易错题)函数f(x)=2xlg0.5x -1的零点个数为 。


答案：2


解析：函数f(x)=2x|lg0.5x|-1的零点,即2x|lg0.5x|-1=0的解,即|lg0.5x|=12x的解,作出函数g(x)=|lg0.5x|和函数h(x)=12x的图像,如图,由图可知,两函数图像共有2个交点,故函数f(x)有2个零点。





17.☉%*9@@7@99%☉(2020·闽侯第八中学高一月考)函数f(x)=ex+4x-3零点的个数是 。


答案：1


解析：因为f(x)是R上的连续不断的函数,且f(0)=e0-3<0,f(1)=e1+4-3>0,所以f(x)在(0,1)上有零点。又f(x)是R上的增函数,所以f(x)只有1个零点。


18.☉%88￥@4#@9%☉(2020·重庆綦江高一期末联考)已知函数f(x)=2x-1(x≤2),3x-1(x>2)。若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为( )。


A.(0,1)B.(0,2)C.(0,3)D.(1,3)


答案：A


解析：因为函数f(x)=|2x-1|(x≤2),3x-1(x>2),所以作出函数f(x)的图像如图。方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,等价于函数y=f(x)的图像与直线y=a有三个不同的交点。根据图像可知,当0




题型 函数零点的应用


19.☉%@￥@843*1%☉(2020·新余一中高一月考)设f(x)=x-1(x+1)-x,若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实数解,则实数k的取值范围是( )。


A.1

C.0

答案：B


解析：因为f(x)=|x-1|(x+1)-x=-x2-x+1(x≤1),x2-x-1(x>1),故函数f(x)的图像如图所示,由图可知:当-1




20.☉%4583￥￥￥@%☉(2020·成都双流中学高一期中)已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数,若方程f(2x2+1)+f(λ-x)=0只有一个解,则实数λ的值是( )。


A.12B.18


C.-78D.-38


答案：C


解析：因为f(2x2+1)+f(λ-x)=0,所以由f(x)为奇函数得f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ),所以由题可知2x2+1=x-λ,整理得2x2-x+1+λ=0。因为方程只有一个解,所以b2-4ac=1-8(1+λ)=0,解得λ=-78。故选C。


21.☉%4#4*##58%☉(2020·山西大学附属中学高一期中)若函数f(x)=ax2-x-1仅有一个零点,则a= 。


答案：10或-14


解析：当a=0时,f(x)只有一个零点;当a≠0时,由Δ=1+4a=0,得a=-14。故a的值为0或-14。


22.☉%@4￥@2#79%☉(2020·邢台二中高一月考)若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是 。


答案：(1,+∞)


解析：由f(x)=ax-x-a=0,可得ax=x+a,设y1=ax,y2=x+a,由题意可知,两函数的图像有两个不同的交点,分两种情况:①当01时,如图②,符合题意。综上所述,a的取值范围为(1,+∞)。





23.☉%￥#5*￥890%☉(2020·上海交大附中月考)对于实数a和b,定义运算“*”:a*b=a(a-b≤1),b(a-b>1)。设函数f(x)=(x2-2)*(x-1),x∈R,若方程f(x)=c恰有两个不同的解,则实数c的取值范围是 。


答案：(-2,-1]∪(1,2]


解析：由题意知f(x)=x2-2(-1≤x≤2),x-1(x<-1或x>2)。画出f(x)的图像(图略),数形结合可得实数c的取值范围是(-2,-1]∪(1,2]。


24.☉%4@69￥**9%☉(2020·成都模拟)设函数f(x)=3x,且f(a+2)=18,函数g(x)=3ax-4x(x∈R)。


(1)求g(x)的解析式;


答案：解:因为f(x)=3x,且f(a+2)=18,所以3a+2=18,所以3a=2。


因为g(x)=3ax-4x,所以g(x)=2x-4x。


(2)若方程g(x)-b=0在x∈[-2,2]上有两个不同的解,求实数b的取值范围。


答案：方法一:方程为2x-4x-b=0,令t=2x,x∈[-2,2],则14≤t≤4,且方程t-t2-b=0在14,4上有两个不同的解。


设y=t-t2=-t-122+14,y=b,则两函数图像在14,4内有两个交点。


画出y=t-t2,t∈14,4的图像(部分),如图。





由图知当b∈316,14时,方程有两个不同的解。


方法二:方程为2x-4x-b=0,令t=2x,x∈[-2,2],则14≤t≤4,所以方程t-t2-b=0在14,4上有两个不同的解。


设f(t)=-t2+t-b,t∈14,4,


所以Δ=1-4b>0⇒b<14,f14≤0⇒b≥316,f(4)≤0⇒b≥-12,解得b∈316,14。


25.☉%33￥5@￥2#%☉(2020·运城调考)已知函数f(x)=(lg2x)2+4lg2x+m,x∈18,4,m为常数。


(1)设函数f(x)存在大于1的零点,求实数m的取值范围;


答案：解:令lg2x=t,x∈18,4,则g(t)=t2+4t+m(t∈[-3,2])。


由于函数f(x)存在大于1的零点,所以方程t2+4t+m=0在t∈(0,2]内存在根,


由t2+4t+m=0,得m=-t2-4t,t∈(0,2],所以m∈[-12,0)。


(2)设函数f(x)有两个互异的零点α,β,求m的取值范围,并求α·β的值。


答案：函数f(x)有两个互异的零点α,β,则函数g(t)在[-3,2]内有两个互异的零点t1,t2,其中t1=lg2α,t2=lg2β,


所以Δ=16-4m>0,g(-3)≥0,g(2)≥0,解得3≤m<4。


所以m∈[3,4)。


根据根与系数的关系,可知t1+t2=-4,即lg2α+lg2β=-4,


所以lg2(α·β)=-4,α·β=2-4=116。


x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
f(x)
-3.51
1.02
2.37
1.56
-0.38
1.23
2.77
3.45
4.89