2020年高中数学新教材同步必修第二册 第7章 章末复习

章末复习

一、复数的概念

1.复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等.有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答.

2.掌握复数的相关概念，培养数学抽象素养.

例1　z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m的取值，使(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z在复平面上的对应点在复平面的第二象限.

解　(1)由得m＝3.

∴当m＝3时，z是纯虚数.

(2)由得m＝－1或m＝－2.

∴当m＝－1或m＝－2时，z是实数.

(3)由

得－1<m<1－或1＋<m<3.

∴当－1<m<1－或1＋<m<3时，复数z在复平面上的对应点在复平面的第二象限.

反思感悟　处理复数概念问题的两个注意点

(1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部.

(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根.

跟踪训练1　(1)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为(　　)

A.0  B.－1  C.1  D.－2

答案　A

解析　因为z＝1＋i，所以＝1－i，

所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.

(2)已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为(　　)

A.4  B.－1  C.6  D.－1或6

答案　B

解析　由题意可得z1＝z2，即m2－3m＋m2i＝4＋(5m＋6)i，

根据两个复数相等的充要条件可得

解得m＝－1.

二、复数的几何意义

1.复数运算与复数几何意义的综合是高考常见的考查题型，解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为代数形式，再利用复数的几何意义解题.

2.通过复数几何意义的学习，培养直观想象素养.

例2　(1)在复平面内，复数(i是虚数单位)所对应的点位于(　　)

A.第一象限   B.第二象限

C.第三象限   D.第四象限

答案　B

解析　∵＝＝

＝－＋i，

∴复数对应的点位于第二象限.

(2)已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若＝2＋，则a＝________，b＝________.

答案　－3　－10

解析　∵＝2＋，

∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi)

即∴

反思感悟　在复平面内确定复数对应点的步骤

(1)由复数确定有序实数对，即z＝a＋bi(a，b∈R)确定有序实数对(a，b).

(2)由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b).

跟踪训练2　若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(　　)

A.E  B.F  C.G  D.H

答案　D

解析　∵点Z(3,1)对应的复数为z，

∴z＝3＋i，＝＝＝＝2－i，

该复数对应的点的坐标是(2，－1)，即H点.

三、复数的四则运算

1.复数运算是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除法运算为主.

2.借助复数运算的学习，提升数学运算素养.

例3　计算：

(1)；

(2)＋2 018＋.

解　(1)原式＝

＝

＝

＝＝－1＋i.

(2)原式＝＋1 009＋

＝i＋(－i)1 009＋0＝0.

反思感悟　进行复数代数运算的策略

(1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算.

①复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项).

②复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)(a－b)＝a2－b2.

(2)复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式.

(3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化.

跟踪训练3　(1)复数z满足z(＋1)＝1＋i，其中i是虚数单位，则z等于(　　)

A.1＋i或－2＋i   B.i或1＋i

C.i或－1＋i   D.－1－i或－2＋i

答案　C

解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，

由z(＋1)＝1＋i得a2＋b2＋a＋bi＝1＋i，

所以b＝1，a2＋a＋1＝1，所以a＝0或a＝－1.

故z＝i或z＝－1＋i.

(2)i是虚数单位，2 018＋6＝________.

答案　－1＋i

解析　原式＝1 009＋6＝1 009＋i6＝i1 009＋i6＝i4×252＋1＋i4＋2＝i＋i2＝－1＋i.

1.已知a，b∈R，i是虚数单位.若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2等于(　　)

A.3－4i  B.3＋4i  C.4－3i  D.4＋3i

答案　A

解析　∵a，b∈R，a＋i＝2－bi，

∴a＝2，b＝－1，

∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.

2.复数z满足(－1＋i)z＝(1＋i)2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位于(　　)

A.第一象限   B.第二象限

C.第三象限   D.第四象限

答案　D

解析　z＝＝＝＝1－i，故z在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限.

3.若z＝1＋2i，则等于(　　)

A.1  B.－1  C.i  D.－i

答案　C

解析　＝＝i.

4.i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.

答案　－2＋3i

解析　∵(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)，

∴z2＝－2＋3i.

5.已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝，且|ω|＝5，则ω＝________.

答案　±(7－i)

解析　由题意设(1＋3i)z＝ki(k≠0且k∈R)，

则ω＝.

∵|ω|＝5，∴k＝±50，故ω＝±(7－i).