2020年高中数学新教材同步必修第二册 第8章 8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

8.3　简单几何体的表面积与体积

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

学习目标　1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.

知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积

思考　将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，展开图是什么形状？怎样求棱柱、棱锥、棱台的表面积？

答案　将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.

棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.

知识点二　棱柱、棱锥、棱台的体积

1.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.(　×　)

2.棱锥的体积等于底面面积与高之积.(　×　)

3.棱台的体积可转化为两个锥体的体积之差.(　√　)

4.几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定.(　√　)

一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

例1　现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积.

解　如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，

体对角线A1C＝15，B1D＝9，

∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，

∴a2＝200，b2＝56.

∵该直四棱柱的底面是菱形，

∴AB2＝2＋2＝＝＝64，

∴AB＝8.

∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160.

∴直四棱柱的底面积S底＝AC·BD＝20.

∴直四棱柱的表面积S表＝160＋2×20＝160＋40.

反思感悟　棱柱、棱锥、棱台的表面积求法

(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.

(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.

跟踪训练1　已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积.

解　∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，

∴各侧面都是全等的正三角形.

设E为AB的中点，连接SE，则SE⊥AB，

∴S侧＝4S△SAB＝4×AB×SE＝2×5×＝25，S表＝S侧＋S底＝25＋25＝25(＋1).

二、棱柱、棱锥、棱台的体积

例2　(1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　设三棱锥B1－ABC的高为h，则＝S△ABCh＝××3＝.

(2)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2.求其体积.

解　正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.

设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.

∵S侧＝4××(10＋20)×EE1＝780(cm2)，

∴EE1＝13 cm.

在直角梯形EOO1E1中，

O1E1＝A1B1＝5 cm，OE＝AB＝10 cm，

∴O1O＝＝12(cm).

故该正四棱台的体积为V＝×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm3).

反思感悟　求解正棱台的表面积和体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱).

常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥.利用正棱锥的有关知识来解决问题.

跟踪训练2　如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为________.

答案　

解析　由题意可知四棱锥A1－BB1D1D的底面是矩形，边长为1和，四棱锥的高为A1C1＝，

则四棱锥A1－BB1D1D的体积为V＝×1××＝.

几何体体积的求法

典例1　等积变换法

如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.

解　由，

∵＝EA1·A1D1＝a2，

又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，

∴＝×a×a2＝a3，

∴＝a3.

典例2　分割法

如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.

解　如图，连接EB，EC，AC.V四棱锥E－ABCD＝×42×3＝16.

∵AB＝2EF，EF∥AB，

∴S△EAB＝2S△BEF.

∴V三棱锥F－EBC

＝V三棱锥C－EFB

＝V三棱锥C－ABE＝V三棱锥E－ABC

＝×V四棱锥E－ABCD＝4.

∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.

[素养提升]　(1)转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的方法.

(2)对于给出的一个不规则的几何体不能直接套用公式，常常需要运用分割法.

1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm，则长方体的体积为(　　)

A.27 cm3  B.60 cm3  C.64 cm3  D.125 cm3

答案　B

解析　V长方体＝3×4×5＝60(cm3).

2.正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　　)

A.48  B.64  C.16  D.96

答案　B

3.正四棱锥底面正方形的边长为4，侧面是等边三角形，则该四棱锥的侧面积为(　　)

A.16  B.48  C.64  D.

答案　A

解析　如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，连接AC，BD，交于O点，连接PO，取BC的中点E，连接PE，OE，易知PO为正四棱锥P－ABCD的高，PE为等边三角形PBC边BC上的高，

所以PE＝2，则S侧＝4××4×2＝16.

4.棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积为________.

答案　6＋2

解析　V棱台＝×(2＋4＋)×3

＝×3×(6＋2)

＝6＋2.

5.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________.

答案　

解析　

＝××1×1×1＝.

1.知识清单：

(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.

(2)棱柱、棱锥、棱台的体积.

2.方法归纳：等积法、割补法.

3.常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚.

1.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为(　　)

A.22  B.20  C.10  D.11

答案　A

解析　所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.

2.已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这个棱柱的表面积是(　　)

A.8  B.16  C.8＋12  D.8＋16

答案　D

3.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　)

A.a2   B.a2

C.a2   D.a2

答案　A

4.棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于(　　)

A.1∶9  B.1∶8  C.1∶4  D.1∶3

答案　B

解析　两个锥体的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8.

5.如图，ABC－A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　∵V三棱锥C－A′B′C′＝V三棱柱ABC－A′B′C′＝，

∴V四棱锥C－AA′B′B＝1－＝.

6.棱长都是3的三棱锥的表面积S为________.

答案　9

解析　因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，

所以S＝4××32＝9.

7.正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为______.

答案　1

解析　∵正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，

∴底面B1DC1的面积为×2×＝.

A到底面的距离就是底面正三角形的高.

三棱锥A－B1DC1的体积为××＝1.

8.若在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是________.

答案　

解析　易知V＝1－8×××××＝.

9.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.

解　在三棱锥A1－ABD中，AA1是三棱锥A1－ABD的高，AB＝AD＝AA1＝a，

∴A1B＝BD＝A1D＝a，

∵，

∴×a2·a＝××a×·a·d.

∴d＝a.∴点A到平面A1BD的距离为a.

10.如图所示，正四棱台ABCD－A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，求四棱台的表面积.

解　∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，∴上底面、下底面的面积分别是4,16.∵侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，∴侧面等腰梯形的高为＝，∴一个侧面等腰梯形的面积为×(2＋4)×＝3，∴四棱台的表面积为4＋16＋3×4＝20＋12.

11.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为________.

答案　36

解析　易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1，

∴S表＝2×22＋4×[22＋()2＋12]＝36.

∴该几何体的表面积为36.

12.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________.

答案　

解析　连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，

∵E，H分别为AD1，CD1的中点，

∴EH∥AC，EH＝AC.

∵F，G分别为B1A，B1C的中点，

∴FG∥AC，FG＝AC，

∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EHGF为平行四边形，

又EG＝HF，EH＝HG，∴四边形EHGF为正方形.

又点M到平面EHGF的距离为，

∴四棱锥M－EFGH的体积为×2×＝.

13.如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点.设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.

答案　1∶24

解析　设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积为V2＝Sh.

∵D，E分别为AB，AC的中点，

∴△ADE的面积等于S.

又∵F为AA1的中点，

∴三棱锥F－ADE的高等于h，于是三棱锥F－ADE的体积V1＝×S·h＝Sh＝V2，

故V1∶V2＝1∶24.

14.三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，三棱锥P－ABC的体积为V2，则＝________.

答案　

解析　设点A到平面PBC的距离为h，

∵D，E分别为PB，PC的中点，

∴S△BDE＝S△PBC，∴＝＝＝.

15.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________.

答案　8

解析　如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8.

16.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.

(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；

(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.

解　(1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.

(2)如图所示，∵小棱锥的底面边长为4 cm，

∴大棱锥的底面边长为8 cm，

又PA＝12 cm，∴A1A＝6 cm.

又梯形ABB1A1的高h′＝

＝4(cm)，

∴S棱台侧＝6××4＝144(cm2)，

∴S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝144＋24＋96＝(144＋120)(cm2).