2020年高中数学新教材同步必修第二册 第8章 微专题2　与球有关的内切、外接问题

微专题2　与球有关的内切、外接问题

与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系.

一、直接法(公式法)

例1　(1)一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为________.

答案　14π

解析　因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，长方体体对角线长为，故球的表面积为14π.

(2)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为________.

答案　

解析　设正六棱柱的底面边长为x，高为h，

则有∴

∴正六棱柱的底面外接圆的半径r＝，

球心到底面的距离d＝.

∴外接球的半径R＝＝1.∴V球＝.

反思感悟　本题运用公式R2＝r2＋d2求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式.

二、构造法(补形法)

1.构造正方体

例2－1　(1)一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为(　　)

A.3π   B.4π

C.3π   D.6π

答案　A

解析　联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，则正方体的面对角线即为四面体的棱长，求得正方体的棱长为1，体对角线为，从而外接球的直径也为，所以此球的表面积为3π.

(2)在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点P，则三棱锥P－DCE的外接球的体积为(　　)

A.π   B.π

C.π   D.π

答案　C

解析　如图，因为AE＝EB＝DC＝1，∠DAB＝∠CBE＝∠DEA＝60°，

所以AD＝AE＝EB＝BC＝DC＝DE＝CE＝1，

即三棱锥P－DCE为正四面体，所有棱长均为1，易求得其外接球直径为，

所以其外接球体积为π.

2.构造长方体

例2－2　(1)若三棱锥的三个侧面两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，，则其外接球的表面积是________.

答案　6π

解析　据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，

∴把这个三棱锥可以补成一个同一顶点处三条棱长分别为1，，的长方体，于是长方体的外接球就是三棱锥的外接球.

设其外接球的半径为R，

则有(2R)2＝12＋()2＋()2＝6.

∴R2＝.

故其外接球的表面积S＝4πR2＝6π.

(2)已知球O的面上四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝，BC＝ ，则球O的体积等于________.

答案　π

解析　因为DA⊥平面ABC，AB⊥BC，

所以DA，AB，BC两两垂直，构造如图所示的长方体，

又因为DA＝AB＝，BC＝，

所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD＝.

故球O的体积等于π.

(3)已知点A，B，C，D在同一个球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥DC，若AB＝6，AC＝2，AD＝8，则B，C两点间的球面距离是________.

答案　π

解析　因为AB⊥平面BCD，BC⊥DC，所以AB，BC，DC两两垂直，构造如图所示的长方体，则AD为球的直径，AD的中点O为球心，OB＝OC＝4为半径，要求B，C两点间的球面距离，只要求出∠BOC即可，在Rt△ABC中，求出BC＝＝4，

所以∠BOC＝60°，故B，C两点间的球面距离是π.

反思感悟　一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R＝.

三、寻求轴截面圆半径法

例3　正四棱锥S－ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一球面上，则此球的体积为________.

答案　

解析　设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为O，如图所示.

∴由球的截面的性质，

可得OO1⊥平面ABCD.

又SO1⊥平面ABCD，

∴球心O必在SO1所在的直线上.

∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.

在△ASC中，由SA＝SC＝，AC＝2，

得SA2＋SC2＝AC2.

∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形.

∴＝1是外接圆的半径，也是外接球的半径.

故V球＝.

反思感悟　根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.

四、确定球心位置法

例4　已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，AB⊥BC且PA＝7，PB＝5，PC＝，AC＝10，则球O的体积为________.

答案　

解析　AB⊥BC且PA＝7，PB＝5，PC＝，AC＝10，

因为72＋()2＝102，

所以知AC2＝PA2＋PC2，

所以PA⊥PC，如图所示，

在Rt△ABC中斜边为AC，

在Rt△PAC中斜边为AC，取斜边的中点O，

在Rt△ABC中OA＝OB＝OC，

在Rt△PAC中OP＝OA＝OC，

所以在几何体中OP＝OB＝OC＝OA，

所以点O为该四面体的外接球的球心，外接球半径R＝AC＝5，

所以该外接球的体积为V＝πR3＝.