2020年高中数学新教材同步必修第二册 第8章 再练一课(范围：8.1～8.3)

再练一课(范围：8.1～8.3)

1.下列命题中正确的是(　　)

A.两个底面平行且相似，其余各面是梯形的多面体是棱台

B.三棱柱的侧面为三角形

C.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点

D.棱锥的侧面和底面可以都是三角形

答案　D

解析　在A中，棱台还要求侧棱的延长线交于一点，故A错误；

在B中，三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，故B错误；

在C中，棱台的各侧棱延长后必交于一点，故C错；

在D中，三棱锥的侧面和底面均是三角形，故D正确.

2.(多选)下列关于圆柱的说法中正确的是(　　)

A.圆柱的所有母线长都相等

B.用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面

C.用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面

D.一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱

答案　ABD

3.已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是π，则该正方体的体积为(　　)

A.4  B.16  C.8  D.64

答案　D

解析　正方体的内切球的体积是π，

则πR3＝π，∴R＝2，

则内切球的半径R＝2，

所以该正方体的棱长为4，

所以该正方体的体积为V＝64.

4.一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　设正方体棱长为a，球半径为R.

由6a2＝4πR2，得＝，

设正方体和球的体积分别为V1，V2，

所以＝＝3＝.

5.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为

2和3，则该几何体的体积为(　　)

A.5π   B.6π

C.20π   D.10π

答案　D

解析　用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.

6.一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为________cm2.

答案　72

解析　由已知条件可知该棱柱为正三棱柱(如图)

则其侧面积为4×6×3＝72.

7.底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是________.

答案　8

解析　由题意知，直棱柱底面边长为1，

侧棱长为＝2，

所以S侧＝1×2×4＝8.

8.有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为________cm2.

答案　5

解析　该矩形直观图的面积为×5×4＝5.

9.盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？

解　设取出小球后，容器中水面下降h cm，

两个小球的体积为V球＝2＝(cm3)，

此体积即等于它们在容器中排开水的体积V＝π×52×h，所以＝π×52×h，

所以h＝，即若取出这两个小球，则水面将下降 cm.

10.如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积.

解　如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，

则SE⊥AB，SE＝h′.

∵S侧＝2S底，∴3×·a·h′＝a2×2.

∴a＝h′.

∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.

∴32＋2＝h′2.

∴h′＝2，a＝h′＝6.

∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.

∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.

11.用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为(　　)

A.  B.  C.20π  D.

答案　B

解析　用平面去截球所得截面的面积为π，所以截面圆的半径为1.

已知球心到该截面的距离为2，所以球的半径为

r＝＝，

所以球的体积为V＝π×()3＝.

12.长、宽、高分别为2，，的长方体的外接球的表面积为(　　)

A.4π  B.12π  C.24π  D.48π

答案　B

解析　长方体的体对角线即为外接球的直径2R，

∵长方体的长、宽、高分别为2，，，

∴(2R)2＝22＋()2＋()2＝12，R2＝3，

∴外接球的表面积为4πR2＝12π.

13.如图所示，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P－ABCDEF，则该正六棱锥的体积为________.

答案　4

解析　由题意知正六棱锥的底面边长和高都是2，故V＝××22×6×2＝4.

14.圆柱内有一个内接长方体AC1，长方体的体对角线长是10 cm，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是100π cm2，则圆柱的体积为________.

答案　250π

解析　设圆柱底面半径为r cm，高为h cm，如图所示，

则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，

则

解得

即圆柱的体积V＝πr2h＝π×52×10＝250π.

15.若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为(　　)

A.  B.2  C.  D.

答案　B

解析　所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的侧面积之和，

如图，四棱锥的侧棱长l＝＝1，

同理，四棱锥的底面边长为1，

则四棱锥的侧面是正三角形，

∴以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积

S＝8××12＝2.

16.若E，F是三棱柱ABC－A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A－BEFC的体积.

解　如图所示，连接AB1，AC1.

∵B1E＝CF，∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积.

又四棱锥A－BEFC的高与四棱锥A－B1EFC1的高相等，

∴VA－BEFC＝

＝.

又＝·h，

·h＝m，∴＝，

∴＝m，

∴VA－BEFC＝×m＝，

即四棱锥A－BEFC的体积是.