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2020年高中数学新教材同步必修第二册 第9章 9.2 第4课时 总体离散程度的估计
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第4课时 总体离散程度的估计
学习目标 1.理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差.2.掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法.
知识点 方差、标准差
1.假设一组数据为x1，x2，…xn，则这组数据的平均数＝，方差为s2＝(xi－)2，标准差s＝.
2.如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝(Yi－)2为总体方差，S＝为总体标准差.
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝i(Yi－)2.
3.如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝(yi－)2为样本方差，s＝为样本标准差.
4.标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.
思考 方差、标准差有什么区别？
答案 在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但解决实际问题中，一般多采用标准差.
1.数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定.( √ )
2.数据的方差越大，样本数据分布越集中、稳定.( × )
3.数据的标准差越小，数据分布越集中、波动幅度越小.( √ )
4.在实际问题中要做出有效决策时，主要参照样本数据的平均数和标准差或方差.( √ )
一、方差、标准差的计算与应用
例1 某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：
甲组 60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；
乙组 85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.
(1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差；
(2)哪一组的成绩较稳定？
解 (1)甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，
平均数为甲＝×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，
方差为s＝×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119，
标准差为s甲＝＝≈10.91(分).
乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，
平均数为乙＝×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，
方差为s＝×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25，
标准差为s乙＝＝≈8.67(分).
(2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定.
从(1)中得到的极差也可看出乙组的成绩比较稳定.
反思感悟 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度.在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定.
跟踪训练1 从甲、乙两种玉米苗中各抽取10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：
甲 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙 27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
求：(1)哪种玉米苗长得高？
(2)哪种玉米苗长得齐？
解 (1)甲＝×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30，
同理可计算得乙＝31，
∴甲<乙，即乙种玉米苗长得高.
(2)s＝×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2，
同理可计算得s＝128.8，
∴s
例2 甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？
解 由题意可知甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为w甲＝＝，
乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为w乙＝＝，
则甲、乙两队全部队员的平均体重为
＝w甲甲＋w乙乙＝×60＋×70＝68(kg)，
甲、乙两队全部队员的体重的方差为
s2＝w甲[s＋(甲－)2]＋w乙[s＋(乙－)2]
＝[200＋(60－68)2]＋[300＋(70－68)2]＝296.
反思感悟 分层随机抽样的方差
设样本中不同层的平均数分别为1，2，…，n，方差分别为s，s，…，s，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝i[s＋(i－)2](为样本的平均数).
跟踪训练2 某培训机构在假期招收了A，B两个数学补习班，A班10人，B班30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A班的平均成绩为130分，方差为115，B班的平均成绩为110分，方差为215.求在这次测试中全体学生的平均成绩和方差.
解 依题意A＝130，s＝115，
B＝110，s＝215，
∴＝×130＋×110＝115，
∴全体学生的平均成绩为115分.
全体学生成绩的方差为
s2＝wA[s＋(A－)2]＋wB[s＋(B－)2]
＝×(115＋225)＋×(215＋25)
＝85＋180＝265.
1.下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是( )
A.极差 B.平均数 C.方差 D.标准差
答案 B
2.已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为( )
A.1 B. C. D.2
答案 B
解析 ＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
∴s＝＝
3.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为( )
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
A. B. C.3 D.
答案 B
解析 ∵＝＝＝3，
∴s2＝×[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(3－3)2＋30×(2－3)2＋10×(1－3)2]＝＝，
∴s＝，故选B.
4.已知甲、乙两地人口之比为2∶3，其中甲地人均年收入为8万元，乙地人均年收入为10万元，则甲乙两地的人均年收入为________万元.
答案 9.2
解析 ＝×8＋×10＝9.2(万元).
5.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是________.
答案 2
解析 由题意知＝4，x＋x＋…＋x＝200，
s＝
＝
＝＝2.
1.知识清单：
(1)方差、极差的计算与应用.
(2)分层随机抽样的方差.
2.方法归纳：数据统计、数据分析.
1.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A.x1，x2，…，xn的平均数
B.x1，x2，…，xn的标准差
C.x1，x2，…，xn的最大值
D.x1，x2，…，xn的中位数
答案 B
解析 因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差.故选B.
2.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A.57.2,3.6 B.57.2,56.4
C.62.8,63.6 D.62.8,3.6
答案 D
解析 每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变.
3.样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为( )
A. B. C.2 D.
答案 D
解析 ∵样本a,0,1,2,3的平均数为1，
∴＝1，解得a＝－1.
则样本的方差s2＝×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，
故标准差为.故选D.
4.在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级
人数
平均数
方差
甲
20
甲
2
乙
30
乙
3
其中甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为( )
A.3 B.2 C.2.6 D.2.5
答案 C
解析 由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝甲＝乙，
则两个班数学成绩的方差为s2＝[2＋(甲－)2]＋[3＋(乙－)2]
＝×2＋×3＝2.6.
5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A.甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数
B.甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数
C.甲成绩的方差小于乙成绩的方差
D.甲成绩的极差小于乙成绩的极差
答案 C
解析 由图知甲＝6，乙＝6，s＝2，s＝2.4，故选C.
6.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
甲
乙
丙
丁
平均数
8.5
8.7
8.8
8.0
方差s2
3.5
3.5
2.1
8.7
则参加奥运会的最佳人选应为________.
答案 丙
解析 因为丙的平均数最大，方差最小，故应选丙.
7.样本101,98,102,100,99的标准差为________.
答案
解析 样本平均数＝100，方差为s2＝2，
∴标准差s＝.
8.已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数为________，方差为________.
答案 5
解析 ∵－1,0,4，x,7,14的中位数为5，
∴＝5，∴x＝6.
∴这组数据的平均数是＝5，
这组数据的方差是×(36＋25＋1＋1＋4＋81)＝.
9.某班40个学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示：
组别
平均数
标准差
第一组
90
4
第二组
80
6
求该班学生这次考试成绩的平均数和标准差.
解 根据题意，全班平均成绩为
＝90×＋80×＝85，
第一组的平均数为1＝90，
方差为s＝16.
第二组的平均数为2＝80，
方差为s＝36.
则该班学生的方差为
s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]
＝[16＋(90－85)2]＋[36＋(80－85)2]＝51.
∴s＝.
综上可得，该班学生这次考试成绩的平均数和标准差分别为85和.
10.甲、乙两名学生在5次英语测试中的成绩统计如下：
甲：74 85 86 90 93
乙：76 83 85 87 97
现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从统计学角度，你认为派哪位学生参加更合适？请说明理由.
解 甲＝＝85.6；
乙＝＝85.6.
s＝×[(74－85.6)2＋(85－85.6)2＋(86－85.6)2＋(90－85.6)2＋(93－85.6)2]＝×209.2＝41.84；
s＝×[(76－85.6)2＋(83－85.6)2＋(85－85.6)2＋(87－85.6)2＋(97－85.6)2]＝×231.2＝46.24.
因为甲＝乙，s
11.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为，方差为s2，则( )
A.＝5，s2<2 B.＝5，s2>2
C.>5，s2<2 D.>5，s2>2
答案 A
解析 ∵(x1＋x2＋…＋x8)＝5，
∴(x1＋x2＋…＋x8＋5)＝5，∴＝5.
由方差定义及意义可知加入新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强，
∴s2<2.
12.甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50,100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为( )
A.s1>s2>s3 B.s1>s3>s2
C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1
答案 B
解析 比较三个频率分布直方图知，甲为“双峰”直方图，两端数据最多，最分散，方差最大；乙为“单峰”直方图，数据最集中，方差最小；丙为“单峰”直方图，但数据分布相对均匀，方差介于甲、乙之间.综上可知s1>s3>s2.
13.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则( )
A.A>B，sA>sB B.AsB
C.A>B，sA
解析 由题图知，A组的6个数分别为2.5,10,5,7.5，2.5，10；B组的6个数分别为15,10,12.5,10,12.5,10，
所以A＝＝，
B＝＝.
显然A
14.某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为＝3小时，方差为s2＝1.966，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为1＝2.7，2＝3.1，3＝3.3，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为s＝1，s＝2，则高三学生每天读书时间的方差s＝________.
答案 3
解析 由题意可得，1.966＝×[1＋(2.7－3)2]＋×[2＋(3.1－3)2]＋×[s＋(3.3－3)2]，
解得s＝3.
15.已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,21，且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则ab＝________.
答案 100
解析 由题意得a＋b＝10×2＝20，＝(2＋3＋3＋…＋21)＝10，
要使该总体的方差最小，方差化简后即满足(a－10)2＋(b－10)2最小，
故a＝b＝10，ab＝100.
16.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示.
(1)请填写下表：
平均数
方差
中位数
命中9环及9环以上的次数
甲
乙
(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看(谁的成绩更稳定)；
②从平均数和中位数相结合看(谁的成绩好些)；
③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(谁的成绩好些)；
④从折线统计图上两人射击命中环数的走势看(谁更有潜力).
解 (1)由图可知，甲打靶的成绩分别为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7，乙打靶的成绩分别为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.
甲的平均数为7，方差为1.2，中位数是7，命中9环及9环以上的次数为1；
乙的平均数为7，方差为5.4，中位数是7.5，命中9环及9环以上次数为3.
如下表：
平均数
方差
中位数
命中9环及9环以上的次数
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5.4
7.5
3
(2)①甲、乙的平均数相同，乙的方差较大，所以甲的成绩更稳定；
②甲、乙的平均数相同，乙的中位数较大，所以乙的成绩好些；
③甲、乙的平均数相同，乙命中9环及9环以上的次数比甲多，所以乙的成绩较好；
④从折线统计图上看，在后半部分，乙呈上升趋势，而甲起伏不定，且均未超过乙，故乙更有潜力.
学习目标 1.理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差.2.掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法.
知识点 方差、标准差
1.假设一组数据为x1，x2，…xn，则这组数据的平均数＝，方差为s2＝(xi－)2，标准差s＝.
2.如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝(Yi－)2为总体方差，S＝为总体标准差.
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝i(Yi－)2.
3.如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝(yi－)2为样本方差，s＝为样本标准差.
4.标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.
思考 方差、标准差有什么区别？
答案 在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但解决实际问题中，一般多采用标准差.
1.数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定.( √ )
2.数据的方差越大，样本数据分布越集中、稳定.( × )
3.数据的标准差越小，数据分布越集中、波动幅度越小.( √ )
4.在实际问题中要做出有效决策时，主要参照样本数据的平均数和标准差或方差.( √ )
一、方差、标准差的计算与应用
例1 某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：
甲组 60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；
乙组 85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.
(1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差；
(2)哪一组的成绩较稳定？
解 (1)甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，
平均数为甲＝×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，
方差为s＝×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119，
标准差为s甲＝＝≈10.91(分).
乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，
平均数为乙＝×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，
方差为s＝×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25，
标准差为s乙＝＝≈8.67(分).
(2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定.
从(1)中得到的极差也可看出乙组的成绩比较稳定.
反思感悟 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度.在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定.
跟踪训练1 从甲、乙两种玉米苗中各抽取10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：
甲 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙 27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
求：(1)哪种玉米苗长得高？
(2)哪种玉米苗长得齐？
解 (1)甲＝×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30，
同理可计算得乙＝31，
∴甲<乙，即乙种玉米苗长得高.
(2)s＝×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2，
同理可计算得s＝128.8，
∴s
例2 甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？
解 由题意可知甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为w甲＝＝，
乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为w乙＝＝，
则甲、乙两队全部队员的平均体重为
＝w甲甲＋w乙乙＝×60＋×70＝68(kg)，
甲、乙两队全部队员的体重的方差为
s2＝w甲[s＋(甲－)2]＋w乙[s＋(乙－)2]
＝[200＋(60－68)2]＋[300＋(70－68)2]＝296.
反思感悟 分层随机抽样的方差
设样本中不同层的平均数分别为1，2，…，n，方差分别为s，s，…，s，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝i[s＋(i－)2](为样本的平均数).
跟踪训练2 某培训机构在假期招收了A，B两个数学补习班，A班10人，B班30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A班的平均成绩为130分，方差为115，B班的平均成绩为110分，方差为215.求在这次测试中全体学生的平均成绩和方差.
解 依题意A＝130，s＝115，
B＝110，s＝215，
∴＝×130＋×110＝115，
∴全体学生的平均成绩为115分.
全体学生成绩的方差为
s2＝wA[s＋(A－)2]＋wB[s＋(B－)2]
＝×(115＋225)＋×(215＋25)
＝85＋180＝265.
1.下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是( )
A.极差 B.平均数 C.方差 D.标准差
答案 B
2.已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为( )
A.1 B. C. D.2
答案 B
解析 ＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
∴s＝＝
3.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为( )
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
A. B. C.3 D.
答案 B
解析 ∵＝＝＝3，
∴s2＝×[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(3－3)2＋30×(2－3)2＋10×(1－3)2]＝＝，
∴s＝，故选B.
4.已知甲、乙两地人口之比为2∶3，其中甲地人均年收入为8万元，乙地人均年收入为10万元，则甲乙两地的人均年收入为________万元.
答案 9.2
解析 ＝×8＋×10＝9.2(万元).
5.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是________.
答案 2
解析 由题意知＝4，x＋x＋…＋x＝200，
s＝
＝
＝＝2.
1.知识清单：
(1)方差、极差的计算与应用.
(2)分层随机抽样的方差.
2.方法归纳：数据统计、数据分析.
1.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A.x1，x2，…，xn的平均数
B.x1，x2，…，xn的标准差
C.x1，x2，…，xn的最大值
D.x1，x2，…，xn的中位数
答案 B
解析 因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差.故选B.
2.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A.57.2,3.6 B.57.2,56.4
C.62.8,63.6 D.62.8,3.6
答案 D
解析 每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变.
3.样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为( )
A. B. C.2 D.
答案 D
解析 ∵样本a,0,1,2,3的平均数为1，
∴＝1，解得a＝－1.
则样本的方差s2＝×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，
故标准差为.故选D.
4.在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级
人数
平均数
方差
甲
20
甲
2
乙
30
乙
3
其中甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为( )
A.3 B.2 C.2.6 D.2.5
答案 C
解析 由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝甲＝乙，
则两个班数学成绩的方差为s2＝[2＋(甲－)2]＋[3＋(乙－)2]
＝×2＋×3＝2.6.
5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A.甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数
B.甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数
C.甲成绩的方差小于乙成绩的方差
D.甲成绩的极差小于乙成绩的极差
答案 C
解析 由图知甲＝6，乙＝6，s＝2，s＝2.4，故选C.
6.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
甲
乙
丙
丁
平均数
8.5
8.7
8.8
8.0
方差s2
3.5
3.5
2.1
8.7
则参加奥运会的最佳人选应为________.
答案 丙
解析 因为丙的平均数最大，方差最小，故应选丙.
7.样本101,98,102,100,99的标准差为________.
答案
解析 样本平均数＝100，方差为s2＝2，
∴标准差s＝.
8.已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数为________，方差为________.
答案 5
解析 ∵－1,0,4，x,7,14的中位数为5，
∴＝5，∴x＝6.
∴这组数据的平均数是＝5，
这组数据的方差是×(36＋25＋1＋1＋4＋81)＝.
9.某班40个学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示：
组别
平均数
标准差
第一组
90
4
第二组
80
6
求该班学生这次考试成绩的平均数和标准差.
解 根据题意，全班平均成绩为
＝90×＋80×＝85，
第一组的平均数为1＝90，
方差为s＝16.
第二组的平均数为2＝80，
方差为s＝36.
则该班学生的方差为
s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]
＝[16＋(90－85)2]＋[36＋(80－85)2]＝51.
∴s＝.
综上可得，该班学生这次考试成绩的平均数和标准差分别为85和.
10.甲、乙两名学生在5次英语测试中的成绩统计如下：
甲：74 85 86 90 93
乙：76 83 85 87 97
现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从统计学角度，你认为派哪位学生参加更合适？请说明理由.
解 甲＝＝85.6；
乙＝＝85.6.
s＝×[(74－85.6)2＋(85－85.6)2＋(86－85.6)2＋(90－85.6)2＋(93－85.6)2]＝×209.2＝41.84；
s＝×[(76－85.6)2＋(83－85.6)2＋(85－85.6)2＋(87－85.6)2＋(97－85.6)2]＝×231.2＝46.24.
因为甲＝乙，s
11.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为，方差为s2，则( )
A.＝5，s2<2 B.＝5，s2>2
C.>5，s2<2 D.>5，s2>2
答案 A
解析 ∵(x1＋x2＋…＋x8)＝5，
∴(x1＋x2＋…＋x8＋5)＝5，∴＝5.
由方差定义及意义可知加入新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强，
∴s2<2.
12.甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50,100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为( )
A.s1>s2>s3 B.s1>s3>s2
C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1
答案 B
解析 比较三个频率分布直方图知，甲为“双峰”直方图，两端数据最多，最分散，方差最大；乙为“单峰”直方图，数据最集中，方差最小；丙为“单峰”直方图，但数据分布相对均匀，方差介于甲、乙之间.综上可知s1>s3>s2.
13.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则( )
A.A>B，sA>sB B.A
C.A>B，sA
解析 由题图知，A组的6个数分别为2.5,10,5,7.5，2.5，10；B组的6个数分别为15,10,12.5,10,12.5,10，
所以A＝＝，
B＝＝.
显然A
14.某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为＝3小时，方差为s2＝1.966，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为1＝2.7，2＝3.1，3＝3.3，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为s＝1，s＝2，则高三学生每天读书时间的方差s＝________.
答案 3
解析 由题意可得，1.966＝×[1＋(2.7－3)2]＋×[2＋(3.1－3)2]＋×[s＋(3.3－3)2]，
解得s＝3.
15.已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,21，且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则ab＝________.
答案 100
解析 由题意得a＋b＝10×2＝20，＝(2＋3＋3＋…＋21)＝10，
要使该总体的方差最小，方差化简后即满足(a－10)2＋(b－10)2最小，
故a＝b＝10，ab＝100.
16.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示.
(1)请填写下表：
平均数
方差
中位数
命中9环及9环以上的次数
甲
乙
(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看(谁的成绩更稳定)；
②从平均数和中位数相结合看(谁的成绩好些)；
③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(谁的成绩好些)；
④从折线统计图上两人射击命中环数的走势看(谁更有潜力).
解 (1)由图可知，甲打靶的成绩分别为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7，乙打靶的成绩分别为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.
甲的平均数为7，方差为1.2，中位数是7，命中9环及9环以上的次数为1；
乙的平均数为7，方差为5.4，中位数是7.5，命中9环及9环以上次数为3.
如下表：
平均数
方差
中位数
命中9环及9环以上的次数
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5.4
7.5
3
(2)①甲、乙的平均数相同，乙的方差较大，所以甲的成绩更稳定；
②甲、乙的平均数相同，乙的中位数较大，所以乙的成绩好些；
③甲、乙的平均数相同，乙命中9环及9环以上的次数比甲多，所以乙的成绩较好；
④从折线统计图上看，在后半部分，乙呈上升趋势，而甲起伏不定，且均未超过乙，故乙更有潜力.
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