2020年高中数学新教材同步必修第二册 第9章 9.2 第2课时　总体取值规律的估计、总体百分位数的估计

第2课时　总体取值规律的估计、总体百分位数的估计

学习目标　1.掌握从常见统计图表中获取有用的信息，体会统计数学在实际生活中的应用.2.通过实例，理解百分位数的含义.

知识点一　常见统计图表的特点与区别

扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，条形图适用于描述离散型数据，直方图适用于描述连续型数据.折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势.

知识点二　百分位数

1.百分位数定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.

2.常用的百分位数

(1)四分位数：第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数.

(2)其它常用的百分位数：第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，第99百分位数.

3.计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤如下：

第1步，按从小到大排列原始数据；

第2步，计算i＝n×p%；

第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.

1.为了更清楚地反映学生在这学期多次考试中数学成绩情况，可以选用折线统计图(　√　)

2.50%分位数就是中位数.(　√　)

3.100个数据的80%分位数是85，那么这100个数据中一定有80个数小于或等于85.(　×　)

一、几种常见统计图表的特点

例1　(1)(多选)下列说法中，正确的是(　　)

A.可以很清楚地表示出各部分同总体之间关系的统计图是条形统计图

B.能清楚地反映出数量增减变化的统计图是折线统计图

C.为了清楚地知道你的各科成绩，你可以选择制作条形统计图

D.为了清楚地反映出全校人数同各年级人数之间的关系，应选择扇形统计图

答案　BCD

(2)给出如图所示的三幅统计图及四个命题：

①从折线统计图能看出世界人口的变化情况；

②2050年非洲人口将达到大约15亿；

③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多；

④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢.

其中命题正确的有(　　)

A.①②   B.①③

C.①④   D.②④

答案　B

解析　①从折线统计图能看出世界人口的变化情况，故①正确；②从条形统计图中可得：2050年非洲人口大约将达到18亿，故②错误；③从扇形统计图中能够明显地得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故③正确；④由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故④错误.因此正确的命题有①③.故选B.

反思感悟　扇形图、条形图、折线图的特点

(1)扇形图用扇形的面积表示部分在总体中所占百分比，易于显示每组数据相对于总数的大小.

(2)条形图能够显示每组中的具体数据，易于比较数据之间的差别.

(3)折线图易于显示数据的变化趋势.

跟踪训练1　(1)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)的柱形图.以下结论不正确的是(　　)

A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈增加趋势

答案　D

解析　从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A选项正确；

2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确；

虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，C选项正确，D选项错误，故选D.

(2)下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况，2011～2016年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图如图所示

(以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告(2017)》).

根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是(　　)

A.与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长

B.2011～2016年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长

C.2011～2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4 200亿美元

D.2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多

答案　B

二、几种常见的统计图表的应用

例2　为了解某地区机动车拥有量对道路通行的影响，学校九年级社会实践小组对2012年～2019年机动车拥有量、车辆经过人民路路口和学校门口的堵车次数进行调查统计，并绘制成如图统计图：

根据统计图，回答下列问题：

(1)写出2018年机动车的拥有量，分别计算2012年～2019年在人民路路口和学校门口堵车次数的平均数；

(2)根据统计数据，结合生活实际，对机动车拥有量与人民路路口和学校门口堵车次数，说说你的看法.

解　(1)2018年机动车的拥有量为3.4万辆.

人民路路口的堵车次数平均数为

(54＋82＋86＋98＋124＋156＋196＋164)÷8＝120(次)，

学校门口的堵车次数平均数为

(65＋85＋121＋144＋128＋108＋77＋72)÷8＝100(次)

(2)答案不唯一，如：2012年～2015年，随着机动车拥有量的增加，对道路的影响加大，年堵车次数也增加；尽管2019年机动车拥有量比2018年增加，由于进行了交通综合治理，人民路路口堵车次数反而降低明显.

反思感悟　利用统计图表解决实际生活中的问题，要认真观察、分析、研究统计图表，结合统计图表的各自特点，充分利用统计思想、数形结合的思想解决问题.

跟踪训练2　如图所示的是某粮店的大米、面粉、小米、玉米面的销售情况统计图，观察图形，你能从中得到哪些信息？如果你是这家粮店的老板，你会怎么做？

解　由扇形图可知

(1)面粉的销售量最大，需多进货；

(2)小米的销售量最小，需少进货；

(3)大米的销售量仅次于面粉的销售量，也应多进货.

三、百分位数

例3　从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量(单位：kg)如下：

7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0，

分别求出这组数据的25%,75%,95%分位数.

解　将所有数据从小到大排列，

得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，

因为共有12个数据，

所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4，

则25%分位数是＝8.15，

75%分位数是＝8.75，

95%分位数是第12个数据为9.9.

反思感悟　计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤：

第1步：按照从小到大排列原始数据；

第2步：计算i＝n×p%；

第3步：若i不是整数，大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据，若i是整数，则第p百分位数为第i项和第(i＋1)项数据的平均数.

跟踪训练3　某歌手电视大奖赛中，七位评委对某选手打出如下分数：7.9,8.1,8.4,8.5,8.5,8.7,9.9，则其50%分位数为________.

答案　8.5

解析　∵7×50%＝3.5，

∴其50%分位数是第4个数据为8.5.

1.需要清楚地表示每个项目的具体数目应选择(　　)

A.折线统计图   B.扇形统计图

C.条形统计图   D.以上三者均可以

答案　C

2.下列关于50%分位数的说法正确的是(　　)

A.50%分位数不是中位数

B.总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%

C.它是四分位数

D.它只适用于总体是离散型的数据

答案　C

解析　由百分位数的意义可知选项A，B，D错误.

3.二十四节气是中国劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关.当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长.根据下图，在下列选项中白昼时长低于11小时的节气是(　　)

A.惊蛰  B.小满  C.立秋  D.大寒

答案　D

解析　本题考查统计图，根据统计图易得大寒节气的白昼时长低于11小时，故选D.

4.下列一组数据的25%分位数是(　　)

2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6

A.3.2  B.3.0  C.4.4  D.2.5

答案　A

解析　把该组数据按照由小到大排列，可得

2.1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6，

由i＝10×25%＝2.5，不是整数，

则第3个数据3.2是25%分位数.

5.某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示.现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________小时.

答案　50　1 015

解析　由分层随机抽样可知，

第一分厂应抽取100×50%＝50(件).

由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命为1 020×50%＋980×20%＋1 030×30%＝1 015(小时).

1.知识清单：

(1)几种常见的统计图表.

(2)百分位数.

2.方法归纳：数据分析、数形结合.

3.常见误区：求第p百分位数时，应先将数据从小到大排列.

1.如果想用统计图来反映各数据的变化趋势，比较合适的统计图是(　　)

A.条形图   B.折线图

C.扇形图   D.其他图形

答案　B

解析　能反映各数据的变化趋势的统计图是折线图.

2.已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法正确的是(　　)

A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3

B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据

C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数

D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数

答案　C

解析　因为100×75%＝75为整数，

所以第75个数据和第76个数据的平均数为75%分位数，是9.3.

3.(多选)如图所示，是根据某市2015年至2019年工业生产总值绘制的折线统计图，观察统计图获得以下信息，其中信息判断正确的是(　　)

A.2015年至2019年间工业生产总值逐年增加

B.2019年的工业生产总值比前一年增加了40亿元

C.2017年与2018年每一年与前一年比，其增长额相同

D.从2016年至2019年，每一年与前一年比，2019年的增长率最大

答案　ABC

解析　由折线统计图可知：2015年至2019年间工业生产总值逐年增加，所以A正确；2019年的工业生产总值比前一年增加了100－60＝40(亿元)，所以B正确；2017年与2018年每一年与前一年比，其增长额相同都是20亿元，所以C正确；从2016年至2019年，每一年与前一年比，2017年的增长率最大，为100%，所以D错误.

4.数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的30%分位数为(　　)

A.8.4  B.8.5  C.8.6  D.8.3

答案　A

解析　因为8×30%＝2.4，故30%分位数是第三项数据8.4.

5.某市教育局卫生健康所对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们身高都处于A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图表，则从图表中不能得出的信息是(　　)

A.样本中男生人数少于女生人数

B.样本中B层次身高人数最多

C.样本中D层次身高的男生多于女生

D.样本中E层次身高的女生有3人

答案　C

解析　A.样本中男生人数为4＋12＋10＋8＋6＝40，女生人数为100－40＝60，所以样本中男生人数少于女生人数，所以该选项是正确的；

B.因为男生中B层次的比例最大，女生中B层次的比例最大，所以样本中B层次身高人数最多，所以该选项是正确的；

C.样本中D层次身高的男生有8人，女生D层次的有60×15%＝9(人)，所以样本中D层次身高的男生少于女生，所以该选项是错误的；

D.样本中E层次身高的女生有60×5%＝3(人)，所以该选项是正确的.

6.如图是某市连续7天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信息可知，这7天中最大的日温差是________℃.

答案　11

7.已知30个数据的60%分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是________.

答案　8.6

解析　由30×60%＝18，设第19个数据为x，则＝8.2，解得x＝8.6，即第19个数据是8.6.

8.某校高二年级有1 200名学生，在体育考试前随机抽取部分学生进行体能测试，成绩分别记为A，B，C，D共四个等级，其中A级和B级成绩为“优”，将测试结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图.

请根据图中信息，估计该校高二年级全体学生参加体能测试成绩为“优”的学生共有________人.

答案　870

解析　抽取的学生数为60÷30%＝200，

所以D级学生占×100%＝7.5%，

所以成绩为“优”的学生共有1 200×(1－20%－7.5%)＝870(人).

9.为使中华传统文化教育更具有实效性，某中学开展以“我最喜爱的传统文化种类”为主题的调查活动，围绕“在诗词、国画、对联、书法、戏曲五种传统文化中，你最喜爱哪一种？(必选且只选一种)”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：

(1)本次调查共抽取了多少名学生？

(2)通过计算补全条形统计图；

(3)若该中学共有960名学生，请你估计该中学最喜欢国画的学生有多少名.

解　(1)24÷20%＝120(名)，

∴本次调查共抽取了120名学生.

(2)120－24－40－16－8＝32(名)，∴最喜爱书法的学生有32名.

补全条形统计图，如图所示.

(3)960×＝320(名).

∴估计该中学最喜欢国画的学生有320名.

10.某学校对男、女学生进行有关“习惯与礼貌”的评分，记录如下：

男：54,70,57,46,90,58,63,46,85,73,55,66,38,44,56,75,35,58,94,58

女：77,55,69,58,76,70,77,89,51,52,63,63,69,83,83,65,100,74

分别求男生、女生得分的四分位数.

解　对男生得分由小到大排序为

35,38,44,46,46,54,55,56,57,58,58,58,63,66,70,73,75,85,90,94，共20个数据，

所以20×25%＝5,20×50%＝10,20×75%＝15，

则25%分位数为＝50,50%分位数为＝58，

75%分位数为＝71.5.

对女生得分由小到大排序为

51,52,55,58,63,63,65,69,69,70,74,76,77,77,83,83,89,100，共18个数据.

所以18×25%＝4.5,18×50%＝9,18×75%＝13.5，

则25%分位数为63,50%分位数为＝69.5，

75%分位数为77.

11.春节期间，山东某著名旅游景点成为热门景点，大量游客慕名前往，省旅游局统计了春节期间5天的游客数量，绘制了如图所示的折线统计图，则这五天游客数量的50%分位数为(　　)

A.22.9  B.24.1  C.22.4  D.23.4

答案　D

解析　将这五天的游客数量(单位：万人)按从小到大的顺序排列为21.8,22.4,23.4,24.8,25.4，

5×50%＝2.5，故50%分位数为23.4.

12.为了参加学校举行的传统文化知识竞赛，某班进行了四次模拟训练，将成绩优秀的人数和优秀率绘制成如下两幅统计图：

在统计过程中造成统计图表数据模糊不清.但可以清楚的是第四次比第三次的优秀人数多4人，则第二次优秀人数为________人.

答案　28

解析　设该班共有n人，则n×85%＝30＋4，

n＝40，

第二次优秀人数为40×70%＝28人.

13.某省30年来，各项事业取得令人瞩目的成就，以2016年为例，全省社会固定资产总投资约为3 730亿元，其中包括中央项目、省属项目、地(市)属项目、县(市)属项目和其他项目.图1，图2分别是这五个项目的投资额不完整的条形统计图和扇形统计图，请完成下列问题.

(1)地(市)属项目投资额为________亿元；

(2)在图2中，县(市)属项目部分所占百分比为m%、对应的圆心角为β，则m＝________，β＝________度(m，β均取整数).

答案　(1)830　(2)18　65